Lösung
- Eine
-
Matrix
der Form
-
nennt man Diagonalmatrix.
- Der
Kern
von ist
-
- Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine
Relation,
die die folgenden drei Eigenschaften besitzt
(für beliebige ).
- .
- Aus folgt .
- Aus und folgt .
- Eine
Folge
in heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Zu jedem
, ,
gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung
-
gilt.
- Man sagt, dass
stetig
im Punkt ist,wenn es zu jedem
ein
derart gibt, dass für alle mit
die Abschätzung
gilt.
- Unter einem
endlichen Wahrscheinlichkeitsraum
versteht man eine endliche Menge zusammen mit einer fixierten
diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte
.
Lösung
- Es seien Vektoren im . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
- Die Vektoren bilden eine Basis des .
- Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des , und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der ist die triviale Darstellung
-
- Für jedes besitzt das lineare Gleichungssystem
-
eine eindeutige Lösung.
- Eine Folge in einem angeordneten Körper besitzt maximal einen Limes.
- Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Dann gibt es ein Polynom vom Grad derart, dass für alle ist.
- Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
- Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
- Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
- Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.
Lösung
-
-
-
-
Lösung /Aufgabe/Lösung
Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen
-
Lösung
Die Karte zeigt Österreich mit seinen Bundesländern und den zugehörigen Hauptstädten
(die Hauptstadt des Bundeslandes Wien ist Wien, Tirol ist ein Bundesland).
Es sei die Menge der Bundesländer und sei die Relation auf , die die Angrenzungsbeziehung
(Nachbarschaftsbeziehung)
beschreibt. Dabei legen wir fest, dass ein Land auch zu sich selbst benachbart ist.
- Welche Eigenschaften einer
Äquivalenzrelation
erfüllt diese Relation?
- Bestimme die
Faser
zu Kärnten.
- Gibt es eine Kette in mit für alle , bei der jedes Bundesland genau einmal vorkommt?
Lösung
- Die Relation ist offenbar symmetrisch und aufgrund der Festlegung auch reflexiv. Sie ist nicht transitiv, da beispielsweise Kärnten und Steiermark und Steiermark und Niederösterreich benachbart sind, aber nicht Kärnten und Niederösterreich.
- Die Faser zu Kärnten besteht aus Kärnten, Steiermark, Salzburg, Tirol.
- Das ist möglich: Wien, Niederösterreich, Burgenland, Steiermark, Oberösterreich, Salzburg, Kärnten, Tirol, Vorarlberg.
- Finde den kleinsten Exponenten
derart, dass die Potenzierung
-
die Identität ist.
- Was bedeutet dies für die Endziffer im Zehnersystem beim Potenzieren von natürlichen Zahlen?
Lösung
- Wir gehen die Exponenten
-
durch und schauen, ob die Abbildung
-
die Identität ist oder nicht. Alle Rechnungen werden in durchgeführt.
-
Wegen
-
ist dies nicht die Identität.
-
Wegen
-
ist dies nicht die Identität.
-
Wegen
-
ist dies nicht die Identität.
-
Es ist
-
-
-
-
Für zwischen
und
gehört zum bereits untersuchten Bereich und es ist
-
Daher ist die fünfte Potenzierung die Identität. Der minimale Exponent ist somit .
- Die Endziffer im Zehnersystem ist einfach der Rest modulo . Daher bedeutet das Ergebnis, dass die Endziffer der fünften Potenz einer natürlichen Zahl stets mit deren Endziffer übereinstimmt, und dass dies nicht für die zweite, dritte oder vierte Potenz gilt.
Zeige, dass die reelle Zahl eine Nullstelle des Polynoms
ist.
Lösung
Es ist
und
Somit ist
Lösung
In sei eine Folge gegeben, deren Anfangsglieder durch
,
,
,
gegeben sind. Muss die Folge in konvergieren? Muss die Folge in konvergieren? Kann die Folge in konvergieren? Kann die Folge in konvergieren?
Lösung
Man finde ein
Polynom
-
mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
-
Lösung
Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
-
-
-
führt auf
-
also
-
In eingesetzt ergibt sich
-
Das gesuchte Polynom ist also
-
Zeige, dass die Gleichung
-
eine reelle Lösung im Intervall besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.
Lösung
Die Gleichung ist
(für
)
äquivalent zu
-
Für
ist
-
und für
ist
-
Nach
dem Zwischenwertsatz
gibt es also ein
mit
-
Um ein solches anzunähern, verwenden wir die Intervallhalbierungsmethode. Die Intervallmitte ist und es ist
Eine Nullstelle liegt also im Intervall . Die nächste Intervallmitte ist . Es ist
Eine Nullstelle liegt also im Intervall . Die nächste Intervallmitte ist . Es ist
Eine Nullstelle liegt also in , die Intervalllänge ist ein Achtel.
Lösung
Sei
.
Wir zeigen zuerst die Stetigkeit im Nullpunkt. Da nach
Aufgabe 48.22 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
die Folge
, ,
gegen konvergiert, und da die Exponentialfunktion wachsend ist, gibt es zu jedem positiven ein positives mit der Eigenschaft, dass aus
-
die Abschätzung
-
folgt. Es sei nun beliebig und vorgegeben. Wir betrachten ein , das zu
-
die Stetigkeit im Nullpunkt sichert. Dann gilt unter Verwendung von
Satz 53.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (1)
für mit
-
die Abschätzung
-
Lösung
Die Kreisgleichung ist
-
Wir lösen die Geradengleichung nach auf und erhalten
-
Dies setzen wir in die Kreisgleichung ein und erhalten
-
also
-
bzw.
-
Somit ist
-
Bei
-
ist
-
der erste Schnittpunkt ist also
-
Bei
-
ist
-
der zweite Schnittpunkt ist also
-
Wir betrachten, analog zum Pascalschen Dreieck, die folgende Rekursionsvorschrift und das dadurch erzeugte Dreieck. Rekursionsanfang: In der nullten Zeile steht an der mittleren Stelle eine
(alle Zeilen kann man sich durch beliebig viele Nullen nach links und nach rechts aufgefüllt denken).
Rekursionsschritt: Aus einer Zeile ergibt sich die nächste Zeile, indem man aus zwei benachbarten Zahlen der Zeile das
arithmetische Mittel
bildet und dieses in der nächsten Zeile unterhalb der beiden Zahlen hinschreibt.
- Bestimme die ersten fünf Zeilen
(also Zeile bis Zeile ).
- Begründe induktiv, dass in jeder Zeile die Summe aller Einträge gleich ist.
- Zeige, dass in der -ten Zeile die Zahlen ,
,
der
Binomialverteilung
stehen.
Lösung
- Es ergibt sich das folgende Schema.
-
- Der Induktionsanfang ist klar, da in der nullten Zeile eine einzige steht. Zum Beweis des Induktionsschrittes sei bereits bewiesen, dass die Summe in der -ten Zeile gleich ist. Jeder Eintrag der -ten Zeile geht zweifach in die nächste Zeile ein, nämlich einmal als Teil des arithmetischen Mittels mit dem linken Nachbarn und einmal als Teil des arithmetischen Mittels mit dem rechten Nachbarn. Beides mal wird dabei die Hälfte des Eintrages verwendet. Die Gesamtsumme ist also wieder gleich .
- Es ist
-
Für
ist
-
was mit der nullten Zeile übereinstimmt. Es gilt nach
[[Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Faktreferenznummer (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))]]
d.h. ist das arithmetische Mittel von
und .
Die Zahlen in der Binomialverteilung erfüllen also die rekursive Bedingungen aus Teil (1). Daher stehen in der -ten Zeile des Dreiecks die Zahlen der Binomialverteilung.
Man beschreibe eine typische Situation, in der Wahrscheinlichkeiten addiert werden, und eine typische Situation, in der Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden.
Lösung Wahrscheinlichkeitstheorie/Addition und Multiplikation/Beispiele/Aufgabe/Lösung