Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 19/kontrolle

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Formuliere die zweite binomische Formel für einen kommutativen Ring und führe sie auf die erste binomische Formel zurück.




Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Formuliere und beweise die dritte binomische Formel für einen kommutativen Ring .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein kommutativer Ring und seien und Elemente in . Berechne


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein kommutativer Ring, und . Zeige die Gleichheit


Aufgabe Aufgabe 19.5 ändern

Zeige, dass mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation ein kommutativer Ring ist. Gilt in diesem Ring die Eigenschaft, dass aus folgt, dass oder gleich ist?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Lucy Sonnenschein befindet sich in Position , wobei sich im Folgenden die erste Komponente auf links/rechts und die zweite Komponente auf vorne/hinten bezieht. Sie geht vier Schritte nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, dann einen Schritt nach links, einen (etwas größeren) Diagonalschritt nach links hinten und schließlich zwei Schritte nach vorne. In welcher Position befindet sie sich zum Schluss? Durch welche möglichst einfache Bewegung kann sie die Gesamtbewegung rückgängig machen?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge mit dem Durchschnitt als Multiplikation und der symmetrischen Differenz

als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Multiplikation mit , also die Abbildung

bijektiv ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Diskutiere, welche Bedeutungen die Begriffe positiv und negativ in einem kommutativen Ring besitzen. Wie sieht es in aus? Welche Bedeutung ist relativ, welche absolut?


Aufgabe Aufgabe 20.10 ändern

Es sei ein kommutativer Ring und es seien ganze Zahlen und . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Zu ist (also die -fache Summe von mit sich selbst) gleich , wobei links die -fache Summe der mit sich selbst steht.
  2. Zu ist (also die -fache Summe des Negativen von mit sich selbst) gleich dem Negativen (in ) von .
  3. Es ist
  4. Es ist
  5. Es ist


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ein kommutativer Ring. Zu jedem sei

die Multiplikation mit . Zeige, dass genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.


Aufgabe * Aufgabe 19.12 ändern

Sei eine Gruppe. Zeige, dass

für alle ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine Menge und es sei die Menge aller bijektiven Abbildungen von nach . Zeige, dass mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist. Was ist das neutrale Element, was ist das inverse Element zu ?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei eine Gruppe und sei ein Element und sei

die Verknüpfung mit . Zeige, dass bijektiv ist. In welcher Beziehung steht diese Aussage zu Lemma 19.8?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Person wird Jahre alt und Person wird Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.

  1. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.
  2. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Ring. Zeige, dass für jedes die Beziehung gilt.


Aufgabe Aufgabe 19.17 ändern

Zeige, dass in einem angeordneten Ring aus und die Beziehung folgt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Ring und . Zeige, dass dann ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Ring und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen.

a) ,


b) ,


c) .

Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche Teilerbeziehung besteht zwischen und einer beliebigen ganzen Zahl und welche Teilerbeziehung besteht zwischen und einer beliebigen ganzen Zahl ?


Aufgabe Aufgabe 19.22 ändern

Beweise die Teilbarkeitsregeln für ganze Zahlen, die in Lemma 19.15 aufgelistet sind.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass für je zwei ganze Zahlen aus

die Beziehung folgt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass für jede ungerade Zahl die Zahl ein Vielfaches von ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Rechne im Dezimalsystem


Aufgabe Referenznummer erstellen

Rechne im Dezimalsystem


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Darstellung der ganzen Zahl

im Zehnersystem.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Darstellung der ganzen Zahl

im Zehnersystem.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es liegen zwei ganze Zahlen und im Dezimalsystem vor. Lässt sich die letzte Ziffer der Summe allein aus den beiden letzten Ziffern der beiden Zahlen bestimmen?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein Ring und seien und Elemente in . Berechne das Produkt

Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring kommutativ ist?


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für ganze Zahlen genau dann das „umgekehrte Distributivgesetz“

gilt, wenn

oder

ist.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen.

a) ,


b) ,


c) .

Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet?


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Rechne im Dezimalsystem


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Darstellung der ganzen Zahl

im Zehnersystem.


Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es für jede ganze Zahl eine eindeutige Darstellung

mit

für alle gibt.


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