Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 21/kontrolle

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von und .




Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ganze Zahlen. Zeige für den größten gemeinsamen Teiler die Gleichung


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von und .


Gurru springt 8 Meter

Aufgabe Referenznummer erstellen

Das Riesenkänguru Gurru und das Zwergkänguru Gurinu leben entlang des australischen Highways, ihr Schlafplatz liegt am Beginn des Highways ( Meter). Gurru legt bei jedem Sprung Meter zurück, Gurinu nur Meter. Charakterisiere die Streckenmeter, an denen sie sich begegnen können.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine natürliche Zahl. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von und .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien natürliche Zahlen mit .

  1. Bestimme .
  2. Bestimme .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Die beiden Flöhe Carlo und Fredo sitzen im Nullpunkt eines beidseitig unendlich langen Zentimeterbandes. Carlo kann Sprünge der Weite und (in Zentimeter) machen, Fredo kann Sprünge der Weite und machen. Auf welchen Zentimeterpositionen können sich die beiden Flöhe begegnen?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei . Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im -System (ohne die Nuller- und die Zehnerreihe), ob eine Primzahl ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine natürliche Zahl mit der folgenden Eigenschaft: Sobald ein Produkt teilt, teilt bereits einen Faktor. Zeige, dass eine Primzahl ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine Primzahl. Zeige durch Induktion nach , dass wenn ein Produkt von Zahlen teilt, dass dann schon eine der Zahlen teilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und natürliche Zahlen, deren Produkt von einer natürlichen Zahl geteilt werde. Die Zahlen und seien teilerfremd. Zeige, dass von geteilt wird.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Seien und teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede Lösung der Gleichung

die Gestalt mit einer eindeutig bestimmten Zahl besitzt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:

  1. ist negativ.
  2. ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
  3. ist kein Vielfaches von .
  4. ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
  5. In der Primfaktorzerlegung von gibt es keine Primzahl, die größer als ist.

Was ist ?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme den Exponenten zu von .


Aufgabe Aufgabe 21.15 ändern

Es sei eine Primzahl und

der zugehörige -Exponent. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Zahl ist die größte Potenz von , die teilt.
  2. Es ist
  3. Es ist

    (es sei vorausgesetzt).


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstablelle, in der alle Produkte mit stehen. Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zu einer positiven natürlichen Zahl sei das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen .

  1. Bestimme für .
  2. Was ist die kleinste Zahl mit
  3. Was ist die kleinste Zahl mit


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zu einer natürlichen Zahl bezeiche die Anzahl der positiven Teiler von . Zeige die folgenden Aussagen über .

a) Sei die Primfaktorzerlegung von . Dann ist

b) Für teilerfremde Zahlen und gilt .

c) Bestimme die Anzahl der Teiler von .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde unter den Zahlen diejenigen Zahlen mit der maximalen Anzahl an Teilern. Wie groß ist diese Anzahl?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Finde unter den Zahlen diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .

b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien . Zeige, dass

genau dann gilt, wenn

ist oder wenn und ist (oder umgekehrt).


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch den Rest besitzen, also . Zeige, dass man innerhalb von auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in nicht weiter zerlegbar sind.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:


Aufgabe Aufgabe 21.25 ändern

Es sei eine Gruppe und es seien und Untergruppen von . Zeige, dass der Durchschnitt

ebenfalls eine Untergruppe von ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von und .


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei eine Primzahl. Zeige, dass den Binomialkoeffizienten für alle teilt.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Seien , und positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit die Teilbarkeit impliziert.


Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde unter den Zahlen diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.



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