Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 53/kontrolle

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne

bis auf einen Fehler von .




Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine positive reelle Zahl und . Zeige, dass die durch

definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Aufgabe * Aufgabe 53.5 ändern

Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

stetig ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

stetig ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der einzige Gruppenhomomorphismus

die konstante Abbildung auf ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine monotone Funktion und es sei

die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass auf nicht unbedingt mit übereinstimmen muss.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine monotone Funktion und es sei

die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass ebenfalls monoton ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine stetige monotone Funktion und es sei

die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass auf mit übereinstimmt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Vergleiche die beiden Zahlen


Aufgabe Referenznummer erstellen

Vergleiche die drei Zahlen


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Aufgabe Aufgabe 53.16 ändern

Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

folgende Eigenschaften besitzt.

  1. Es ist für alle .
  2. Es ist .
  3. Für und ist .
  4. Für und ist .
  5. Für ist streng wachsend.
  6. Für ist streng fallend.
  7. Es ist für alle .
  8. Für ist .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

eine stetige Funktion , die die Gleichung

für alle erfüllt. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein mit gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine Exponentialfunktion

aus einem arithmetischen Mittel ein geometrisches Mittel macht.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

eine Exponentialfunktion mit . Zu jedem definiert die Gerade durch die beiden Punkte und einen Schnittpunkt mit der -Achse, den wir mit bezeichnen. Zeige

Skizziere die Situation.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei eine positive reelle Zahl und

die zugehörige Exponentialfunktion. Zeige

für alle unter Bezug auf die entsprechende Gleichung für rationale Argumente.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Graphen zu den Funktionen

für auf .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Ordne die Zahlen

gemäß ihrer Größe.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Exponentialreihe

Zeige, dass die Ableitung von mit übereinstimmt. Verwende dabei, dass in diesem Fall die Ableitung einer unendlichen Summe von Polynomen gleich der Summe der einzelnen Ableitungen ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion

mit und mit für alle , die von verschieden ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich . Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man bastle einen Rechenschieber, der die Multiplikation von positiven reellen Zahlen ausführt.


Aufgabe Aufgabe 53.27 ändern

Zeige, dass die Logarithmen zur Basis die folgenden Rechenregeln erfüllen.

  1. Es gilt .
  2. Es gilt für .
  3. Es gilt


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

stetig ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Vergleiche


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde eine rationale Zahl zwischen den beiden Zahlen und folgere daraus, welche größer ist.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion

mit der Eigenschaft, dass es keine stetige Funktion

gibt, die auf mit übereinstimmt.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein reelles mit für alle gibt.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne mit Hilfe der Exponentialreihe bis auf einen Fehler von .



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