Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Aufgaben A/Referenzsuche

Zeige, dass man das Multiplizieren von natürlichen Zahlen durch das Quadrieren, Addieren, Subtrahieren und durch das Halbieren ausdrücken kann.

Berechne

Welches mathematische Wissen geht ein, um das Bild rechts als eine einleuchtende Begründung für die erste binomische Formel akzeptieren zu können?

Gelten die binomischen Formeln für Polynome? Gelten sie für beliebige Terme? Kann man für auch komplexere Ausdrücke wie oder einsetzen?

Berechne in

Veranschauliche das Distributivgesetz für reelle Zahlen mit der Hilfe von Rechtecken.

Man leite die dritte binomische Formel aus der ersten binomischen Formel her, indem man

distributiv ausrechnet.

Berechne

mit Hilfe der ersten binomischen Formel.

Berechne

mit Hilfe der ersten binomischen Formel und des Distributivgesetzes.

Berechne

Man begründe anschaulich und mit der ersten binomischen Formel, dass die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen stets ungerade ist.

Welche Rechengesetze für Brüche wurden in der Vorlesung verwendet, um die erste binomische Formel für rationale Zahlen auf die binomische Formel für ganze Zahlen zurückzuführen?

Führe die zweite binomische Formel für rationale Zahlen auf die zweite binomische Formel für ganze Zahlen zurück.

Die Addition und die Multiplikation von Matrizen kennen Sie aus der Schule.

Gilt für quadratische Matrizen die erste binomische Formel?

In welcher Reihenfolge haben Sie die verschiedenen Zugänge zur Addition und zur Multiplikation der natürlichen Zahlen (kennen)gelernt? In welcher Reihenfolge würden Sie sie lehren?

Berechne mit Hilfe der ersten binomischen Formel.

Berechne

Zeige

Führe die dritte binomische Formel für rationale Zahlen auf die dritte binomische Formel für ganze Zahlen zurück.

Zeige, dass man das Multiplizieren von natürlichen Zahlen durch das maximal zweifache Quadrieren, das Addieren, Subtrahieren und durch das Halbieren ausdrücken kann.

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Wie viele ganzzahlige Geldbeträge zwischen

Euro kann man mit maximal zwei Euromünzen bzw. Scheinen (ohne Rückgeld) begleichen?

Sie wollen im Unterricht in der Grundschule vermitteln, dass man nicht durch teilen darf. Wie argumentieren Sie, wenn folgende Erfolgsquoten feststehen.

Mit einem stichhaltigen mathematischen Argument bewirkt man, dass Prozent der Schüler und Schülerinnen nicht durch teilen.
Mit dem Argument, dass die ganz ganz traurig wird, wenn durch sie geteilt wird, bewirkt man, dass Prozent der Schüler und Schülerinnen nicht durch teilen.
Mit dem Argument, dass die Schüler Gummibärchen bekommen, wenn sie nicht durch teilen, bewirkt man, dass Prozent der Schüler und Schülerinnen nicht durch teilen.

Aus der Schule ist bekannt, dass man nicht durch dividieren darf. Warum eigentlich nicht?

Gabi Hochster hat Mathematikunterricht (vierte Klasse), der von Frau Doris Maier-Sengupta (mit den Fächern Deutsch und buddhistische Philosophie) gehalten wird. Gummibärchen hin oder her, Gabi Hochster möchte sich nicht damit abfinden, dass man anscheinend nicht durch teilen darf. Die Zahlen u.s.w. würde es geben, ihr Gehalt sei nur etwas mysteriös, und sie möchte sich damit weiter beschäftigen. Man könne für diese Zahlen die Bruchrechenregeln nicht naiv anwenden, beispielsweise gelte nicht die Kürzungsregel

Ansonsten könne man aber mit diesen neuen Zahlen ziemlich gut rechnen, es gelten die Kommutativgesetze, die Assoziativgesetze und das Distributivgesetz, und es gelte nach wie vor

für alle Zahlen auch für die neuen.

Frau Maier-Sengupta weiß nicht so recht, wie sie darauf reagieren soll und wendet sich an Sie, da Sie die Fachleiter/In Mathematik an der Schule sind. Wie beurteilen Sie die Situation? Hat Gabi recht? Was ist Ihr Rat an die Kollegin?
Gabi hat mittlerweile Spaß an ihren neuen Zahlen gefunden und bringt die ganze Klasse durcheinander, weil sie ständig sagt Frau Maier-Sengupta befürchtet, dass dies die anderen Schüler zu Fehlschlüssen verleitet und ermahnt Gabi, nicht mehr davon zu sprechen, das sei halt so, dass man nicht durch teilen darf. Daraufhin sagt Gabi: Dies vermerkt Frau Maier-Sengupta im Klassenbuch als eine Beleidigung. Wie hätten Sie reagiert?
Da es der dritte Vermerk war, kommt es zu einem Elterngespräch, zu dem neben Frau Maier-Sengupta, den Eltern, Melissa und Melvin Hochster, und der Schulleitung auch Sie als Fachleiter/In teilnehmen sollen. Die Eltern beschweren sich, dass Frau Maier-Sengupta die kreativen Ansätze ihrer Tochter nicht positiv aufnehmen würde, sondern abblocke. Sie befürchten, dass ihre Tochter in der Schule geistig verarme. Was ist Ihre Position?

Berechne den Geldbetrag, wenn man von jeder Cent-Münze und von jeder Euro-Münze genau ein Exemplar besitzt.

Mit den üblichen Eurozahlen soll ein Betrag von Euro beglichen werden. Mit welcher Anzahl von Münzen/Scheinen ist dies möglich?

Es sei vorausgesetzt, dass man einen konkreten Eurobetrag mit Eurozahlen begleichen kann. Zeige, dass man dann den Eurobetrag mit Eurozahlen begleichen kann.

Wie viele volle Geldbeträge zwischen

Euro kann man mit genau Euromünzen bzw. Scheinen (ohne Rückgeld) begleichen? Was ergibt die Summe dieser Zahlen?

Wie viele volle Geldbeträge zwischen

Euro kann man mit genau Euromünzen bzw. Scheinen (ohne Rückgeld) minimal begleichen.

Mit den Eurozahlen kann man zählen, indem man für jede natürliche Zahl die minimale Darstellung angibt, also: Ein Einer, ein Zweier, ein Einer und ein Zweier, zwei Zweier, ein Fünfer, ein Einer und ein Fünfer, ein Zweier und ein Fünfer, ein Einer und ein Zweier und ein Fünfer, etc. Zähle in dieser Weise bis ohne auf die übliche Zählweise im Dezimalsystem Bezug zu nehmen.
Die Koeffizienten in der minimalen Darstellung einer Zahl mit den Eurozahlen schreiben wir als Tupel, also in der Form wobei sich die auf die te Münze (bzw. Geldschein) in aufsteigender Reihenfolge bezieht. Das Tupel bedeutet also Berechne (das Ergebnis soll wieder in minimaler Darstellung sein).

Zu

sei der minimale Eurobetrag, für den man mindestens Münzen/Scheine braucht, um diesen Betrag zu begleichen.

Erstelle eine Tabelle, aus der die Werte für ablesbar sind?
Was ist

Die Schüler und Schülerinnen sollen sich überlegen, auf wie viele Arten man den Betrag mit den Euro-Scheinen begleichen kann. Gabi Hochster überlegt stattdessen, wie man den Betrag mit den Zahlen darstellen kann. Wie kam sie auf diese Fragestellung?

Wie kann man das Dezimalsystem für natürliche Zahlen mit einem Bargeldsystem wie in Satz 2.1 in Verbindung bringen? Wie beweist man in diesem Fall die Eindeutigkeit der Darstellung? Was ist die Koeffizientenbedingung zu formulieren? Wäre das Dezimalsystem für den Geldverkehr sinnvoll?

An welcher Stelle bricht der Eindeutigkeitsbeweis zu Satz 2.1 zusammen, wenn man mit den Zahlen u.s.w. statt mit den Eurozahlen rechnet.

Ein Münzsystem bestehe aus , und Taler-Münzen. Ist die minimale Darstellung eines jeden Betrages eindeutig?
Ein Münzsystem bestehe aus , und Taler-Münzen. Ist die minimale Darstellung eines jeden Betrages eindeutig?

Auf wie viele Arten kann man mit den üblichen Münzen einen Betrag von Cent begleichen?

Auf Ruggetong heißt die Währung Riggating und es gibt nur zwei Münzen (mit vollen Riggatingbeträgen). Es kann jeder volle Geldbetrag damit bezahlt werden. Zeige, dass dann die minimale Darstellung eines jedes Geldbetrages eindeutig ist. Wie kann man sie berechnen?

Auf Riggatong gibt es Münzen mit den Werten Ist die minimale Darstellung eines jedes Geldbetrages eindeutig? Ist die Darstellung, die so viele Münzen wie möglich verwendet und den Rest mit einer der anderen Münzen auffüllt, minimal?

Ein Geldfälscher stellt und Euro-Scheine her.

Zeige, dass es nur endlich viele Beträge gibt, die er nicht (exakt) begleichen kann. Was ist der höchste Betrag, den er nicht begleichen kann?
Was ist der kleinste Betrag, den er auf zwei verschiedene Weisen begleichen kann?
Beschreibe die Menge der vollen Eurobeträge, die er mit seinen Scheinen begleichen kann.

Wir erlauben, dass Geldbeträge auch mit Hilfe von Rückgeld (mit den üblichen Eurozahlen) beglichen werden. Eine Darstellung eines Betrages heißt minimal, wenn die Gesamtzahl der bewegten Münzen bzw. Scheine minimal ist.

Für welche Geldbeträge verringert sich die minimale Anzahl an Bargeldmitteln, die bewegt werden müssen (im Vergleich zur Situation, in der kein Rückgeld erlaubt ist)?
Für welche Geldbeträge ist die minimale Darstellung eindeutig?

Professor Knopfloch möchte mit Dr. Eisenbeis essen gehen und hebt daher beim Bankautomat Euro in Scheinen ab.

Was ist die minimale Anzahl von Scheinen und was ist die maximale Anzahl von Scheinen, die er bekommen kann?
Ist es möglich, dass er Scheine bekommt?
Welche Anzahlen von Scheinen sind möglich?
Was ist die kleinste Anzahl von Scheinen, für die es zumindest zwei verschiedene Scheinverteilungen gibt?

Welche der folgenden Aussagen sind wissenschaftliche Fakten? Zu welcher Wissenschaft gehören sie? Worauf beruht ihre Gültigkeit bzw. Nichtgültigkeit?

Rauchen ist gesundheitsschädlich.
Die Dinosaurier sind vor ca. 65 Millionen Jahren ausgestorben.
Die Dinosaurier sind gar nicht ausgestorben.
So etwas wie Dinosaurier hat es nie gegeben.
Die Evangelien wurden nicht von Augenzeugen geschrieben.
Die Vermutung ist inzwischen ein Satz.
Die Vermutung ist immer noch eine Vermutung.
Die Relativitätstheorie ist bestätigt.
Es ist nicht möglich, Gold aus anderen Stoffen herzustellen.
Die Welt wird bald untergehen.

In der Vorlesung wurde ein vergleichsweise positives Bild von Wissenschaft angedeutet. Es gibt auch völlig andere Einschätzungen, wie in den folgenden Formulierungen zum Ausdruck kommt. Was ist Ihre Meinung?

Wissenschaft ist in erster Linie ein Herrschaftsinstrument.
Wissenschaft dient hauptsächlich zur abgedrehten Selbstbeschäftigung einer kleinen Elite.
Wissenschaft ist ein modernes Märchen, ein sprachliches Konstrukt, ein diskursives Narrativ, das man ebenso dekonstruieren kann.
Wissenschaft dient allein der Aufrechterhaltung des Patriarchats.
Wissenschaft ist gegen Gott.
Wissenschaft besteht aus einer willkürlichen Ansammlung von Aussagen, das Gegenteil ist stets genauso wahr.
Die sogenannte Wissenschaft liefert nur ein sehr oberflächliches Bild. Wahre Erkenntnis erfordert das Einswerden mit der Welt.

Auf wie viele Arten kann man mit den üblichen Münzen einen Betrag von Cent begleichen?

Ein Land besitze Münzen im Nennwert von und Talern. Zeige, dass es nicht unbedingt zu einer minimalen Anzahl von Münzen führt, wenn man einen Betrag sukzessive mit der größtmöglichen Münze begleicht.

Zu den Eurozahlen soll eine zusätzliche Münze mit dem ganzzahligen Wert

eingeführt werden. Für welche ist die minimale Darstellung aller Geldbeträge eindeutig, für welche nicht?

Auf den quadratischen Inseln, die wegen der annähernd quadratischen Gestalt der Inseln so heißen, sind die Nennwerte der Münzen und Geldscheine die Quadratzahlen

Bestimme für die minimale(n) Darstellung(en) von
Ist die minimale Darstellung für alle (!) eindeutig?

Ein Geldfälscher stellt und Euro-Scheine her.

Zeige, dass es nur endlich viele Beträge gibt, die er nicht (exakt) begleichen kann. Was ist der höchste Betrag, den er nicht begleichen kann?
Was ist der kleinste Betrag, den er auf zwei verschiedene Weisen begleichen kann?
Beschreibe explizit die Menge der vollen Eurobeträge, die er mit seinen Scheinen begleichen kann.

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Folgende Implikationen stehen fest.

Wenn Mustafa Müller lustige Grimassen macht, dann muss sich Heinz Ngolo den Bauch halten.
Wenn er zu viele Gummibärchen isst, dann muss sich Heinz Ngolo den Bauch halten.
Wenn er einen Ball gegen den Bauch bekommt, dann muss sich Heinz Ngolo den Bauch halten.

Im Moment muss sich Heinz Ngolo nicht den Bauch halten. Was kann man daraus schließen?

Warum ist Mathematik schwierig, obwohl darin doch alles logisch ist?

Die Implikation sei bereits bewiesen. Die Aussage hört sich ähnlich an wie die Aussage Kann man daraus die Implikation beweisen?

Paraphrasiere die folgenden Aussagen als Wenn-dann-Aussagen.

Was Hänschen nicht lernt, lernt Hans nimmermehr.
Was der Bauer nicht kennt frisst er nicht.
Sobald die Sonne scheint geht Lucy nach draußen.
Ab Punkten bekommt man eine
Mit dieser Einstellung sollten Sie nicht Lehrer werden.
Was uns nicht umbringt macht uns härter.
Früh übt sich, wer ein Meister werden will.
Wer sagt muss auch sagen.
Wer nicht kommt zur rechten Zeit, der muss sehn, was übrig bleibt.
Wer selber ohne Sünde ist werfe den ersten Stein.

Erstelle die Kontrapositionen zu den in Aufgabe 3.4 formulierten Aussagen. Vermeide dabei Doppelnegationen.

Negiere eine Implikationsaussage durch eine logische Konjunktion.

Die folgenden Implikationen stehen fest.

Genau dann freuen sich die Regenwürmer, wenn es regnet oder schneit.
Genau dann freuen sich die Kinder, wenn die Sonne scheint oder es schneit.

Welche Schlussfolgerung kann man in den folgenden Fällen ziehen.

a) Die Kinder und die Regenwürmer freuen sich.

b) Die Kinder freuen sich und die Regenwürmer freuen sich nicht.

c) Die Kinder freuen sich nicht und die Regenwürmer freuen sich.

Immer wenn es schneit, dann unternimmt Mustafa Müller (mindestens) eine der folgenden Tätigkeiten.

Er fährt Schlitten.
Er baut einen Schneemann.
Er macht mit Heinz, Gabi und Lucy eine Schneeballschlacht.
Er schippt für seine Oma den Schnee weg und trinkt mit ihr Tee.

Nun schneit es, und Mustafa trinkt keinen Tee, er fährt nicht Schlitten und er baut keinen Schneemann.

a) Welche Tätigkeit führt er aus?

b) Kann man eine Aussage darüber treffen, ob er Schnee schippt?

c) Kann man eine Aussage darüber treffen, ob er für seine Oma Schnee schippt?

Folgende Aussagen seien bekannt.

Der frühe Vogel fängt den Wurm.
Doro wird nicht von Lilly gefangen.
Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
Doro ist ein Wurm.
Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
Fängt der späte Igel den Wurm?

Beurteile die Snookerweisheit vom logischen Standpunkt aus.

Im Pokal spielt Bayern München gegen den TSV Wildberg. Der Trainer vom TSV Wildberg, Herr Tor Acker, sagt Die Logiklehrerin von Wildberg, Frau Loki Schummele, sagt Der Trainer von Bayern München, Herr Roland Rollrasen, sagt

Ist die Aussage von Frau Schummele logisch korrekt?
Es sei vorausgesetzt, dass die Aussage des Bayerntrainers wahr ist. Welche Folgerung kann man dann für die Aussage von Herrn Acker ziehen?

Die Mama sagt: Am Abend stellt man fest, dass die Kinder heute nicht lieb waren. Der Papa sagt: Besteht ein logischer Widerspruch zwischen den Aussagen der Eltern?

Die Lehrerin fragt Gabi Hochster Darauf antwortet Gabi mit den Worten Wie beurteilen Sie die Antwort von Gabi? Gelten aussagenlogische Gesetze im Fragekontext?

Die Klasse 6b hat an jedem Wochentag eine Stunde Mathematik. Die Lehrerin, Frau Maier-Sengupta, sagt am Freitag: Daraufhin sagt Gabi Hochster: An welche Argumentation denkt Gabi?

Beweise mittels Wahrheitstabellen, dass die folgenden Aussagen Tautologien sind.

Man beweise mittels Wahrheitstabellen die nämlich dass

und

Tautologien sind.

Zeige, dass der aussagenlogische Ausdruck

allgemeingültig ist

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.


w	w	f
w	f	f
f	w	w
f	f	f

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.


w	w	w
w	f	w
f	w	f
f	f	w

Es sei eine natürliche Zahl. Zeige mittels einer Fallunterscheidung, dass stets gerade ist.

Löse das folgende Minisudoku
Begründe, dass das Minisudoku aus (1) nur eine Lösung besitzt.
Welche mathematischen Beweisverfahren finden sich als typische Argumentationsschemata beim Lösen eines Sudokus wieder?

Es gilt: Wenn keine Ferien sind und kein Wochenende ist und er nicht krank ist, dann muss Heinz Ngolo in die Schule. Heute muss Heinz Ngolo nicht in die Schule. Was kann man daraus schließen?

Folgende Aussagen stehen fest.

In den Sommerferien fahren wir nach Italien.
In den Winterferien fahren wir nach Österreich.
Wenn wir in Österreich sind, besuchen wir auch die Oma.
Wenn wir nach Italien fahren, fahren wir durch die Schweiz oder durch Österreich.

Beantworte die folgenden Fragen.

a) Wir fahren nach Italien, aber nicht durch die Schweiz. Besuchen wir die Oma?

b) Es sind Sommerferien und wir fahren nicht durch die Schweiz. Besuchen wir die Oma?

c) Kann man die Aussage aus den Voraussetzungen erschließen?

d) Kann man die Aussage aus den Voraussetzungen erschließen?

Bestimme den Wahrheitswert der Aussage

wenn

falsch sind und wahr ist.

Beweise mittels Wahrheitstabellen, dass die folgenden Aussagen Tautologien sind.

Man beweise mittels Wahrheitstabellen die (verallgemeinerten)

nämlich dass

und

Tautologien sind.

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.


w	w	f
w	f	w
f	w	w
f	f	f

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Negiere die Aussage durch eine Existenzaussage.

Wir betrachten den Satz Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

Man formalisiere die folgenden Aussagen, indem man geeignete Prädikate erklärt. Man gebe die Negation der Aussagen (umgangssprachlich und formal) an.

Alle Vögel sind schon da.
Alle Wege führen nach Rom.
Faulheit ist aller Laster Anfang.
Alle Menschen werden Brüder, wo dein sanfter Flügel weilt.

Formuliere die folgenden einstelligen Prädikate innerhalb der natürlichen Zahlen

allein mittels Gleichheit, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren.

ist ein Vielfaches von
ist größer als
ist kleiner als
ist eine Quadratzahl.
ist keine Quadratzahl.
ist eine Primzahl.
ist keine Primzahl.
ist das Produkt von genau zwei verschiedenen Primzahlen.

Es sei die Menge der Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, die Menge der Großbuchstaben des griechischen Alphabets und die Menge der Großbuchstaben des russischen Alphabets. Bestimme die folgenden Mengen.

In der Pause isst Mustafa Müller einen Apfel und einen Schokoriegel, Heinz Ngolo isst einen Apfel und ein Butterbrot, Lucy Sonnenschein isst einen Apfel, Gabi Hochster isst ein Butterbrot und einen Schokoriegel und Frau Doris Maier-Sengupta isst einen Apfel, ein Butterbrot und einen Schokoriegel.

Die Mengen der Apfel- Butterbrot und Schokoriegelesser seien mit bezeichnet. Erstelle mengentheoretische Ausdrücke für die folgenden Beschreibungen und liste die Elemente der Mengen auf (die Grundmenge bestehe aus den fünf Personen).

Isst einen Apfel.
Isst keinen Apfel.
Isst ein Butterbrot oder einen Schokoriegel.
Isst einen Apfel aber keinen Schokoriegel.
Isst einen Apfel und einen Schokoriegel aber kein Butterbrot.
Isst ein Butterbrot, aber weder einen Apfel noch einen Schokoriegel.
Isst nichts.

Skizziere ein Mengendiagramm zum Thema Stoff in der (Grund)-Schule, das die folgenden (oder ähnliche) Mengen und ihre Beziehungen abbildet.

Was habe ich in der Schule gelernt.

Was kam in meiner Schule dran.

Was wird an manchen Schulen gelehrt.

Was könnte an einer Schule gelehrt werden.

Was steht in den Schulbüchern.

An was kann ich mich erinnern.

An was können sich andere erinnern.

Was stand im Lehrplan.

Was haben die Lehrer verstanden.

Welche Inklusionen gelten, wie sehen Durchschnitte, Vereinigungen, Restmengen aus?

Skizziere ein Mengendiagramm, das zu vier Mengen alle möglichen Schnittmengen darstellt.

Die Hochschule bietet lediglich Fächer an, nämlich Hethitologie, Assyriologie, Ägyptologie und Semitistik. Sie bietet lediglich Fächer-Bachelor an in beliebiger Fächerkombination. Wie viele Fächerkombinationen gibt es (es wird nicht zwischen Erst- und Zweitfach unterschieden)? Skizziere ein Mengendiagramm, das die Studentenschaft mit ihren Fächern widergibt. Die zu einem Fach gehörenden Studenten und Studentinnen sollen dabei durch ein zusammenhängendes Gebiet dargestellt werden.

Es seien und Mengen. Beweise die Identität

Es seien und Mengen. Man beweise die folgenden Identitäten.

Man gebe für die folgenden Teilmengen der natürlichen Zahlen quantorenlogische Beschreibungen.

Die Menge der geraden Zahlen,
Die Menge der Zahlen, die durch vier teilbar sind,
Die Menge der ungeraden Zahlen,
Die Menge der Quadratzahlen,
Die Menge der Primzahlen,
Die Menge der Zahlen, die als Summe von drei Quadratzahlen geschrieben werden können.

Es seien

Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.

Es gibt eine Menge mit
Es gibt eine Menge mit

Es seien

disjunkte Mengen und Zeige, dass auch

disjunkt sind und dass

gilt.

Finde Parallelen zwischen Aussagen- und Quantorenlogik einerseits und Mengentheorie andererseits.

Wir verstehen die Aussage als Welche der folgenden Aussagen sind äquivalent zur Negation dieser Aussage.

Es gibt keinen Igel, der keine Stacheln besitzt.
Alle Igel haben keine Stacheln.
Es gibt einen Igel, der keinen Stachel besitzt.
Es gibt einen Stachel, der zu keinem Igel gehört.
Es gibt einen Igel ohne Stacheln.
Es gibt viele Igel ohne Stacheln.
Es existiert mindestens ein Igel, der mindestens einen Stachel besitzt.
Es existiert mindestens ein Igel, der höchstens einen Stachel besitzt.
Nicht jeder Igel hat mindestens einen Stachel.
Stachelschweine haben auch Stacheln.

Formuliere die folgenden einstelligen Prädikate innerhalb der natürlichen Zahlen allein mittels Gleichheit, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren.

ist ein Vielfaches von
ist eine ungerade Zahl.
ist eine Kubikzahl.
ist ein Vielfaches von und ein Vielfaches von
ist ein Vielfaches von oder ein Vielfaches von
besitzt bei Division durch den Rest
ist die Summe von zwei Quadratzahlen.
ist die Summe von vier Quadratzahlen.

Bestimme für die Mengen

die Mengen

Die Grundmenge sei die links abgebildete Menge an Vierecken. Beschreibe die folgenden Mengen durch Auflistung ihrer Elemente.

Mindestens zwei Seiten sind parallel zueinander.
Alle Seiten sind gleichlang.
Je zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel zueinander.
Die Diagonalen schneiden sich senkrecht.
An jedem Eck liegt ein rechter Winkel an.

Beweise die mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen. Dabei bezeichnen Mengen.

Modus Barbara: Aus und folgt
Modus Celarent: Aus und folgt
Modus Darii: Aus und folgt
Modus Ferio: Aus und folgt
Modus Baroco: Aus und folgt

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Wir zählen, indem wir in die Hände klatschen. Die nächste Zahl ist also durch ein zusätzliches Klatschen bestimmt. Zählen Sie in diesem Klatschsystem, ohne sich durch ein anderes Zählsystem zu kontrollieren. Es empfiehlt sich, mit einem Rhythmus zu arbeiten.

Zähle im Zweiersystem bis

Bauer Ernst war in der Dorfkneipe und hat zu viel Bier getrunken. Er kann sich zwar an alles erinnern, aber nicht mehr, wie man im Dezimalsystem zählt. Seine Frau fragt ihn, wie viele Bier er getrunken hat. Er antwortet: Wie viele Bier hat er im Dezimalsystem getrunken?

Warum macht der Kellner Striche auf den Bierdeckel, statt Zahlen drauf zu schreiben?

Bestimme die Anzahl der Silben in der Formulierung Warum ist es schwierig, dies ohne Fingerzählen durchzuführen?

Erstelle das

Wir zählen

Was ist überübermorgen von morgen?
Was ist morgen von morgen von morgen von übermorgen?
Was ist heute von überüberübermorgen?
Welche Tage sind ein morgen eines Tages der Zählliste?

Wir zählen

Was ist die Mama der Urururoma?
Was ist die Uroma der Uroma?
Was ist die Oma der Oma der Oma?
Was ist die Ururoma der Uroma?

Der Alleinherrscher herrscht mit großer Willkür und möchte im Alltag des Volkes präsent sein. Deshalb schafft er das übliche Zählen ab und ersetzt es durch die Namen seiner Söhne gemäß der Geburtsreihenfolge. Es soll also hinfort (nach der Null) mit

gezählt werden, danach soll es mit Überpeter, Überheinz, ... , Überkarl, Überüberpeter, ..., Überüberkarl, Überüberüberpeter, ... weitergehen. Ist dies ein mathematisch sinnvolles Zählen? Benenne die Dezimalzahl in diesem Sohnsystem. Welche Dezimalzahl verbirgt sich hinter Überüberüberüberüberüberüberalbrecht?

Intelligente zählbegabte Lebewesen aus einer fernen Galaxie besuchen die Erde. Sie besitzen nur ein Auge, dass immer nach links schaut. Sie lernen somit das menschliche Zählen anhand der linken Straßenseiten (bei wechselseitiger Nummerierung) kennen und berichten zuhause:

Kann man mit diesem Straßenseitensystem zählen?
Welche Hausnummer bekommt das te Haus auf der linken (ungeraden) Straßenseite, welche Hausnummer bekommt das te Haus auf der rechten (geraden) Straßenseite?
Welche Zahlen im Fünfersystem stimmen inhaltlich mit den Straßenseitenzahlen überein?
Was ist der Nachteil des Straßenseitensystems gegenüber dem Fünfersystem?
Wäre es für das Zählen ein Nachteil, wenn wir zählen würden? Hat es andere Nachteile?

Im Euromünzensystem wird so gezählt, dass die Koeffizienten (also) der minimalen Darstellung einer Zahl im Sinne von Satz 2.1 in absteigender Wertreihenfolge angegeben werden. Bestimme die zehn Nachfolger von

Die folgende Aufgabe sollte man nicht bearbeiten, sondern zum Anlass nehmen, sich über unser Ziffernsystem zu freuen.

Man definiere, welche endlichen Zeichenketten aus im römischen Zahlsystem (mit oder ohne Subtraktionsregel) erlaubt sind und welche nicht. Man erstelle einen Algorithmus, der zu jeder erlaubten römischen Zahl den Nachfolger berechnet.

Es sei

die Menge aller Telefonnummern in einer Stadt. Besitzt die Nachfolgerfunktion auf dieser Menge eine sinnvolle Interpretation?

Bestimme die Anzahl der Menge in den in der Vorlesung gegebenen Zählsystemen.

Zeige, dass die Menge endlich mit Elementen ist.

Es sei eine endliche Menge mit Elementen und sei ein Element, das nicht zu gehöre. Zeige, dass dann die Vereinigung genau Elemente besitzt.

Beschreibe möglichst viele Alltagsphänome mit dem Konzept Abbildung.

Bemerkung: Um alltägliche Vorgänge als Abbildungen aufzufassen, muss man häufig gewisse naheliegende Annahmen machen.

Es sei die Menge der Personen, die zur Vorlesung kommen, und die Menge der Sitzplätze im Raum. Es sei

die Abbildung, die jeder Person ihren Sitzplatz zuordnet.

Warum handelt es sich um eine Abbildung? Welche impliziten Annahmen gehen dabei ein? Wann wäre es doch keine Abbildung?
Ist die Abbildung injektiv? Welche impliziten Annahmen gehen dabei ein? Wann wäre die Abbildung doch nicht injektiv?
Ist die Abbildung surjektiv?

Erstelle eine Wertetabelle, die für jede natürliche Zahl von bis ausgibt, mit wie vielen Eurozahlen die Zahl minimal darstellbar ist.

Beschreibe mit Quantoren die Eigenschaft einer Abbildung

injektiv bzw. surjektiv zu sein.

Stifte eine möglichst natürliche bijektive Abbildung zwischen den folgenden Mengen

und

Es sollen möglichst viele bijektive Abbildungen zwischen den Fingerspitzen der linken Hand und den Fingerspitzen der rechten Hand dadurch realisiert werden, dass sich jeweils die zugehörigen (aufeinander abgebildeten) Fingerspitzen berühren.

Realisiere die Bijektion.
Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen zwei benachbarte Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber vertauscht berühren und die drei anderen Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren (benachbarte Transposition).
Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen zwei Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber vertauscht berühren und die drei anderen Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren (Transposition).
Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen genau zwei Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren.
Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen genau eine Fingerspitze ihr natürliches Gegenüber berührt.
Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen keine Fingerspitze ihr natürliches Gegenüber berührt.

Es sei die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Mütter und die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung die jeder Mutter ihr erstgeborenes Kind zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.
Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, die Menge aber durch die Menge der mütterlicherseits erstgeborenen Kinder ersetzt?
Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, die Menge aber durch die Menge der mütterlicher- oder väterlicherseits erstgeborenen Kinder ersetzt?

Bestimme die Anzahl der Punkte im Bild nebenan.

Bestimme die Anzahl der folgenden Mengen.

Die Absetzmulde ist voll mit Schutt und soll durch eine leere Mulde ersetzt werden, die das Absetzkipperfahrzeug bringt, das auch die volle Mulde mitnehmen soll. Auf dem Fahrzeug und auf dem Garagenvorplatz, wo die volle Mulde steht, ist nur Platz für eine Mulde. Dafür kann die Straße als Zwischenablage genutzt werden. Wie viele Ladevorgänge sind vor Ort nötig, bis der Gesamtaustausch vollständig abgeschlossen ist?

Welche der folgenden Vokabeln passen zu einer Abbildung, welche zu einer bijektiven Abbildung? Entsprechung, Wertzuweisung, Korrespondenz, Umkehrbarkeit, Zuordnung, Eineindeutigkeit, Wechselseitigkeit.

Zwei Personen wollen ihre Körpergröße vergleichen. Sie können sich direkt vergleichen, indem sie sich Rücken an Rücken hinstellen, oder, indem sie ein Maßband (Zollstock) nehmen und ihre Größe damit jeweils messen. Welche Analogien zu diesen Methoden gibt es, wenn man zwei endliche Mengen vergleichen möchte?

Man beschreibe eine Bijektion zwischen

Eine Funktion

heißt wenn für alle mit auch gilt. Zeige, dass eine streng wachsende Funktion injektiv ist.

Im Euromünzensystem wird so gezählt, dass die Koeffizienten (also) der minimalen Darstellung einer Zahl im Sinne von Satz 2.1 in absteigender Wertreihenfolge angegeben werden. Bestimme die zehn Nachfolger von

Wir betrachten eine digitale Uhr, die Stunden, Minuten und Sekunden anzeigt. Definiere die Nachfolgerabbildung, die zu jeder Zeitangabe die Zeitangabe der nächsten Sekunde berechnet.

Ein Teil der Schüler und Schülerinnen der Klasse 4c sind auf einer Wattwanderung, und zwar

Sie werden von Wattführer Heino und Frau Maier-Sengupta begleitet. Nach einer scharfen Wende um eine unübersichtliche Düne herum zählen die beiden Aufsichtspersonen die Gruppe durch. Heino zählt

und Frau Maier-Sengupta zählt

Es sind also alle Kinder da.

Welche Nummer gibt Heino demjenigen Kind, das von Frau Maier-Sengupta die Nummer bekommt?
Welche(s) Kind(er) bekommen von beiden die gleiche Nummer?
Welche(s) Kind(er) bekommen von Heino eine höhere Nummer als von Frau Maier-Sengupta?
Gabi (G) denkt sich das folgende Spiel aus: Jedes Kind muss demjenigen Kind, dessen Heino-Nummer gleich seiner (des ersten Kindes) Maier-Sengupta-Nummer ist, eine Muschel schenken. Welche Schenkzykel (oder Schenkperioden) entstehen dabei?
Ist die durch gegebene Abbildung eine Nummerierung der Schülermenge?

Mustafa Müller und Heinz Ngolo waren beim Spiel Borussia Dortmund gegen Bayern München. Zum Glück hat Dortmund zu gewonnen, daher ist gute Stimmung im Fanbus auf der Heimreise. Die Torfolge war

Die beiden überlegen sich die folgenden Fragen.

Wie viele mögliche Torreihenfolgen gibt es bei einem Sieg?
Wie viele mögliche Torreihenfolgen gibt es bei einem Sieg, wenn man noch die Halbzeit mitberücksichtigt?

Bestimme, wie viele echte Potenzen (also Zahlen der Form mit) es zwischen

gibt.

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Auf der linken Tafel ist eine gewisse Anzahl von Äpfeln angemalt. Diese Anzahl soll durch eine Menschenkette in eine Strichfolge auf die rechte Tafel übertragen werden, wobei nur eine Person die Äpfel sehen darf. Es darf nicht gesprochen werden und niemand darf sich von der Stelle bewegen. Ebensowenig darf auf Zählkenntnisse Bezug genommen werden.

Man mache sich klar, in welcher Weise die in der Vorlesung angeführten Diagramme Abbildungen darstellen.

Es sei die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.
Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung
Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge aller Einzelkinder und auf die Menge aller Mütter einschränkt?
Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.

Wir betrachten die Mengen

und die Abbildungen

und

die durch die Wertetabellen

und

gegeben sind.

Erstelle eine Wertetabelle für
Sind die Abbildungen injektiv?
Sind die Abbildungen surjektiv?

Betrachte auf der Menge die Abbildung

die durch die Wertetabelle

gegeben ist. Berechne also die te Hintereinanderschaltung (oder) von mit sich selbst.

Der Pferdepfleger hat einen Korb voller Äpfel und geht auf die Weide, um die Äpfel an die Pferde zu verteilen. Danach geht jedes Pferd in seine Lieblingskuhle und macht dort einen großen Pferdeapfel. Modelliere den Vorgang mit geeigneten Mengen und Abbildungen. Man mache sich die Begriffe injektiv und surjektiv an diesem Beispiel klar. Kann die Gesamtabbildung surjektiv sein, wenn es 10 Äpfel, 6 Pferde und 8 Kuhlen gibt?

Es sei eine endliche Menge und

eine Abbildung. Es sei die fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen mit

gibt.

Welche Funktionsvorschriften kennen Sie aus der Schule?

Welche bijektiven Funktionen

(oder zwischen Teilmengen von) kennen Sie aus der Schule? Wie heißen die Umkehrabbildungen?

Bestimme die Hintereinanderschaltungen

für die Abbildungen

die durch

definiert sind.

Es seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.

In der Planung für einen Laufwettbewerb wurden die folgenden Bahnen vergeben.

Leider wurden

des Dopings überführt und dürfen nicht teilnehmen. In dieser Situation möchte man auf die Außenbahnen

verzichten. Erstelle aus der Nummerierung eine möglichst einfache neue Nummerierung (also eine bijektive Abbildung) für die neue Situation.

Nach dem Mittagessen wollen Frau Maier-Sengupta und Herr Referendar Lutz mit den Kindern eine Bootsfahrt machen, wozu jedes Kind eine Nummer zwischen

braucht. Frau Maier-Sengupta ist vor dem Mittagessen mit einem Teil der Kinder auf dem Spielplatz und verteilt dabei schon mal die Nummern

Beim Abräumdienst nach dem Mittagessen legt Herr Lutz (ohne Rücksprache) folgende Nummern fest

Lucy (L) wollte zwar sagen, dass sie schon eine Nummer hat, doch das wurde von Gabi (G) verhindert. Am Boot entscheidet dann Frau Maier-Sengupta, dass die Spielplatzkinder ihre Spielplatznummern behalten und dass die übrigen Kinder die hinteren Nummern in der von Herrn Lutz vergebenen Reihenfolge bekommen.

Erstelle eine Wertetabelle für die Bootsnummerierung.
Definiere die Bootsnummerierung als Abbildung durch eine geeignete Fallunterscheidung.

Es seien

Mengen und es sei

eine bijektive Abbildung. Zeige: Wenn endlich mit Elementen ist, so ist auch endlich mit Elementen.

Es seien

endliche Teilmengen einer Menge Zeige, dass dann auch die Vereinigung endlich ist.

Mustafa Müller und Heinz Ngolo haben jeweils mit einer Strichliste ihre Fußballbildchen gezählt. Sie wollen wissen, wer mehr Bildchen hat, die Listen sind aber ziemlich lang und beim Zählen kommen sie durcheinander. Mustafa macht den Vorschlag, in der Liste immer vier Striche durch einen Querstrich zusammenzufassen und dann diese Blöcke zu zählen. Heinz sagt, dass das nicht geht, da so Fünferblöcke entstehen und dadurch das Ergebnis verfälscht wird. Was sagt Gabi Hochster?

In der folgenden Aufgabe bezeichnet die Menge und die Menge Bestimme diese Mengen für die Heinonummierung aus Beispiel 6.7 für die Menge

und

Es seien

zwei Mengen und

eine bijektive Abbildung zwischen diesen Mengen. Zeige, dass für jede Teilmenge eine Bijektion

vorliegt, und dass ebenso für jede Teilmenge eine Bijektion

vorliegt.

Man gebe Beispiele für Abbildungen

derart, dass injektiv, aber nicht surjektiv ist, und dass surjektiv, aber nicht injektiv ist.

Betrachte die Abbildung

Ist injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?

Wir betrachten die Mengen

und die Abbildungen

und

die durch die Wertetabellen

und

gegeben sind.

Erstelle eine Wertetabelle für
Sind die Abbildungen injektiv?
Sind die Abbildungen surjektiv?

Kann eine konstante Abbildung bijektiv sein?
Ist die Hintereinanderschaltung einer konstanten Abbildung mit einer beliebigen Abbildung (also die konstante Abbildung zuerst) konstant?
Ist die Hintereinanderschaltung einer beliebigen Abbildung mit einer konstanten Abbildung (also die konstante Abbildung zuletzt) konstant?

Es seien die reellen Zahlen und die nichtnegativen reellen Zahlen. Bestimme für die folgenden Abbildungen, ob sie injektiv und ob sie surjektiv sind.

Es seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn surjektiv ist, so ist auch surjektiv.

Lösungen zu der folgenden Aufgabe direkt an den Dozenten (Postkasten). Bis Weihnachten. Die Konzepte Tupel, Betrag, Abbildung, Iteration werden bald eingeführt, sind aber vermutlich schon bekannt.

Wir betrachten die Abbildung

die einem Vierertupel das Vierertupel

zuordnet. Man gebe ein Beispiel für ein Vierertupel mit der Eigenschaft an, dass sämliche Iterationen für

nicht das Nulltupel liefern. Überprüfe das Ergebnis auf http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .

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Partnerarbeit: Denken Sie sich ein (kreatives, fieses, kontraintuitives, verrücktes) Modell für die Dedekind-Peano-Axiome aus und lassen Sie Ihren Partner darin zählen. Sie dürfen eine Startzahl vorgeben. Dann umgekehrt.

Um Frau Maier-Sengupta und die gesamte Klasse verrückt zu machen, und um ihren persönlichen Charakter zu unterstreichen, entscheiden sich Gabi, Heinz, Lucy und Mustafa, in jeweils eigenen Zählsystemen zu zählen und Mengenangaben grundsätzlich in ihren individuellen Systemen anzugeben. Alle belassen es bei der als Startsymbol, ansonsten zählen sie folgendermaßen:

Gabi zählt mit den Primzahlen, also

Heinz zählt ohne Schnappszahlen, überspringt also alle mehrstelligen Zahlen, in denen nur eine Ziffer vorkommt.

Lucy zählt einfach negativ, also

Mustafa zählt mit den Zehnerpotenzen, also

Frau Maier-Sengupta fragt die Kinder, wie viele Muscheln sie jeweils vom Schullandheim auf Juist mitgebracht haben. Die Kinder antworten wahrheitsgemäß, allerdings in ihren jeweiligen Systemen,

Ist die Abbildung injektiv?

Wie sieht diese Wertetabelle aus, wenn sie vollständig in den jeweiligen Systemen (einschließlich des Systems der Lehrerin) ausgedrückt wird? Welche Umrechnungsstrategie ist dabei geschickt?

Man gebe Beispiele für Mengen mit einem ausgezeichneten Element und einer Abbildung

an, die je zwei der Dedekind-Peano-Axiome erfüllen, aber nicht das dritte.

Es sei die Menge der natürlichen Zahlen und Zeige, dass die Menge

ebenfalls die Dedekind-Peano-Axiome (mit welchem ausgezeichneten Element und mit welcher Nachfolgerabbildung?) erfüllt.

Es sei

eine unendliche Teilmenge der natürlichen Zahlen. Zeige, dass ebenfalls die Dedekind-Peano-Axiome (mit welchem ausgezeichneten Element und mit welcher Nachfolgerabbildung?) erfüllt.

Wir betrachten die Menge

mit als Startsymbol und wobei die übliche Nachfolgerabbildung durch

ergänzt wird. Welche der Dedekind-Peano-Axiome erfüllt diese Menge, welche nicht?

Es sei

und es sei die rechts angegebene Menge mit dem Startsymbol oben links und der durch die Pfeile ausgedrückten Nachfolgerabbildung. An welcher Stelle bricht der Beweis von Satz 7.2 in dieser Situation zusammen?

Es sei die rechts angegebene Menge mit dem Startsymbol oben links und der durch die Pfeile ausgedrückten Nachfolgerabbildung und

An welcher Stelle bricht der Beweis von Satz 7.2 in dieser Situation zusammen?

Es sei ein Modell für die natürlichen Zahlen und es sei die Menge der Wochentage mit dem Montag als Starttag und dem Nachfolgetag als Nachfolgerabbildung.

Zeige, dass der Beweis zu Satz 7.2 eine wohldefinierte Abbildung festlegt, die auf Montag abbildet und die Nachfolgerabbildung respektiert. Ist diese Abbildung surjektiv, ist sie injektiv? Wenn nicht, an welcher Stelle bricht der Beweis zusammen?
Zeige, dass der Beweis zu Satz 7.2 keine wohldefinierte Abbildung festlegt, die die Nachfolgerabbildung respektiert und den Montag auf abbildet. An welcher Stelle bricht der Beweis zusammen?

Zeige ausgehend von den Dedekind-Peano-Axiomen, dass jedes Element einen Vorgänger besitzt.

Begründe aus den Dedekind-Peano-Axiomen die folgenden Eigenschaften.

Für die Nachfolgerabbildung gilt für alle
Es sei fixiert und sei die fache Hintereinanderschaltung der Nachfolgerabbildung. Zeige für alle

Die folgende Aufgabe gibt ein Beispiel, wie man Konzepte induktiv definieren kann.

Wir treffen die folgenden induktiven Festlegungen.

Die ist gerade (und nicht ungerade).
Wenn eine natürliche Zahl gerade ist, dann ist der Nachfolger ungerade.
Wenn eine natürliche Zahl ungerade ist, dann ist der Nachfolger gerade.

Zeige, dass dadurch für jede natürliche Zahl eindeutig die Eigenschaft gerade bzw. ungerade festgelegt ist.

Für

sei

Berechne

Wir betrachten die Wertetabelle

Berechne
Berechne
Berechne
Berechne

Beweise durch Induktion die folgenden Formeln.

Man bringe den Ausdruck aus Aufgabe 7.15 mit den sogenannten in Verbindung.

Beweise die Formel

ohne Induktion durch Betrachten der folgenden Tabelle.

Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.

Zeige durch vollständige Induktion, dass für jedes

die Zahl

ein Vielfaches von ist.

Zeige mittels vollständiger Induktion für die Formel

Beweise durch Induktion für alle

die Formel

Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei) stets eine Quadratzahl ist.

Wir behaupten, dass die Summe von vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen durch teilbar ist.

Beweise diese Aussage mit vollständiger Induktion.
Beweise diese Aussage ohne vollständige Induktion.

Es sei eine reelle Zahl,

Beweise für

durch Induktion die Beziehung

Analysiere den Beweis zu Satz 6.10 als Induktionsbeweis.

Die beiden folgenden Aufgaben sind intuitiv klar. Es geht darum, die Endlichkeit durch Angabe einer bijektiven Abbildung zwischen der Menge und einer Menge der Form zu begründen. Für die folgende Aufgabe ist Lemma 6.9 hilfreich.

Zeige durch Induktion nach dass jede Teilmenge von endlich ist.

Es sei eine endliche Menge und

eine Teilmenge. Zeige, dass ebenfalls endlich ist.

Die Schüler und Schülerinnen der Klasse 4c machen auf der Insel Juist eine Wattwanderung mit Wattführer Heino. Heino sagt, dass die Sandklaffmuschel, die eingegraben im Sand lebt, besonders schwer zu finden ist und er deshalb an der Stelle immer einen Pfeil in den Sand zeichnet, um sie das nächste Mal wiederzufinden. Die aufmerksamen Schüler und Schülerinnen fallen da natürlich nicht drauf rein und sagen, dass das nicht sein kann, da ja dann immer die Flut kommt und den Pfeil wegwischt. Gabi Hochster hingegen kommt mit dem Einwand, wie er denn dann zum ersten Mal überhaupt die Muschel gefunden hat.

Bringe die Einwände der Klasse mit dem Begriff der vollständigen Induktion in Zusammenhang.

In der folgenden Argumentation wird durch Induktion bewiesen, dass alle Pferde die gleiche Farbe haben.

Analysiere diese Argumentation.

Eine natürliche Zahl heißt wenn sie eine für sie spezifische, benennbare Eigenschaft erfüllt. Die ist als neutrales Element der Addition und die ist als neutrales Element der Multiplikation besonders. Die ist die erste Primzahl, die ist die kleinste ungerade Primzahl, die ist die erste echte Quadratzahl, die ist die Anzahl der Finger einer Hand, die ist die kleinste aus verschiedenen Faktoren zusammengesetzte Zahl, die ist die Anzahl der Zwerge im Märchen, u.s.w., diese Zahlen sind also alle besonders. Gibt es eine Zahl, die nicht besonders ist? Gibt es eine kleinste Zahl, die nicht besonders ist?

Franziska möchte mit ihrem Freund Heinz Schluss machen. Sie erwägt die folgenden drei Begründungen.

Welche mathematischen Beweisprinzipien spiegeln sich in den drei Begründungen wieder?

Für

sei

Berechne

Für jedes

sei

Berechne

Die Städte seien untereinander durch Straßen verbunden und zwischen zwei Städten gibt es immer genau eine Straße. Wegen Bauarbeiten sind zur Zeit alle Straßen nur in eine Richtung befahrbar. Zeige, dass es trotzdem mindestens eine Stadt gibt, von der aus alle anderen Städte erreichbar sind.

Eine Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch Längsrillen und Querrillen in

() mundgerechte kleinere Rechtecke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten (an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade), deren Endprodukt aus den einzelnen Mundgerechtecken besteht. Zeige durch Induktion, dass jede vollständige Aufteilung einer Schokolade aus genau Teilungsschritten besteht.

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Skizziere die Produktmenge

als Teilmenge von

Es sei

und

Aus welchen Elementen besteht Kann man die Paarschreibweise hier umgehen?

Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen die Produktmengen.

Ein Geradenstück
Eine Kreislinie
Eine Kreisscheibe
Eine Parabel

Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?

Es empfiehlt sich, die in den folgenden Aufgaben formulierten Mengenidentitäten zu veranschaulichen.

Es seien

disjunkte Mengen und eine weitere Menge. Zeige die Gleichheit

Es seien

Mengen und seien

und

Teilmengen. Zeige die Gleichheit

Es seien

Mengen und seien

und

Teilmengen. Zeige die Gleichheit

Es seien

disjunkte Mengen. Zeige die Gleichheit

Es seien

Mengen. Zeige, dass die Abbildung

eine bijektive Abbildung zwischen den Produktmengen

festlegt.

Es sei eine Menge von Personen und die Menge der Vornamen von diesen Personen und die Menge der Nachnamen von diesen Personen. Definiere natürliche Abbildungen von nach nach und nach und untersuche sie in Hinblick auf die relevanten Abbildungsbegriffe.

Skizziere die folgenden Teilmengen im

Erstelle eine Wertetabelle und skizziere den Graphen für das Nachfolgernehmen in den natürlichen Zahlen.

Wie sehen die Graphen der Funktionen

aus, die Sie in der Schule kennengelernt haben?

Woran erkennt man am Graphen einer Abbildung

ob injektiv bzw. surjektiv ist?

Es sei die Menge aller Farben und die Verknüpfung, die aus zwei Farben ihre Mischfarbe bestimmt, in der die beiden Farben mit gleichen Anteilen eingehen. Ist diese Verknüpfung assoziativ?

Es sei die Menge aller Vornamen. Wir betrachten die Verknüpfung

die einem Vornamenpaar den Bindestrichvornamen zuordnet.

Was ist der Wert von unter dieser Verknüpfung?
In welchem Sinne muss man hier Vornamen verstehen, damit diese Verknüpfung wohldefiniert ist?
Ist die Verknüpfung kommutativ?
Ist die Verknüpfung assoziativ?
Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element? Bzw. wie muss man und die Verknüpfung abändern, damit sie ein neutrales Element besitzt?
Ist die Verknüpfung surjektiv?
Ist die Verknüpfung injektiv?

Es sei die Menge aller weiblichen Doppelvornamen (Bindestrichvornamen, wobei die einzelnen Teile einfache Vornamen sind, und jede Kombination erlaubt ist). Wir betrachten die Verknüpfung

die einem Doppelvornamenpaar den Doppelvornamen zuordnet.

Was ist der Wert von unter dieser Verknüpfung?
Ist die Verknüpfung kommutativ?
Ist die Verknüpfung assoziativ?
Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?
Ist die Verknüpfung surjektiv?
Ist die Verknüpfung injektiv?

Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung darauf, die wir als Produkt schreiben.

Wie viele sinnvollen Klammerungen gibt es für die Verknüpfung von vier Elementen?
Die Verknüpfung sei nun assoziativ. Zeige, dass das Produkt von vier Elementen nicht von irgendeiner Klammerung abhängt.

Wir zählen im Zehnersystem. Erstelle im Kopf (und mit Fingern) das entlang der Definition, man berechne also für

indem man jeweils von ausgehend fach den Nachfolger nimmt. Ist es geschickter, die Zahl im Kopf und die Zahl mit den Fingern abzuspeichern oder umgekehrt?

Wir zählen im Strichsystem und addieren gemäß der Definition über das Nachfolgernehmen. Was ist einfacher zu berechnen,

Was bedeutet im Strichsystem das Umlegeprinzip?

Wir zählen

und wollen mit diesen Zahlen addieren.

Welche alltagssprachliche Formulierung besitzt die Addition in diesem Zählmodell?
Welche sprachlichen Formulierungen drücken aus, das heute das neutrale Element der Addition ist.
Was ist morgen plus morgen?
Was ist übermorgen plus übermorgen?
Was ist überübermorgen plus überüberübermorgen?

Es seien

natürliche Zahlen. Zeige, dass die (Nachfolger-)Abbildung

bijektiv ist.

Bestimme in den jeweiligen Modellen der natürlichen Zahlen die Anzahl der folgenden Abschnitte von

(im Dreiersystem).

Es sei

fixiert. Ist die Abbildung

injektiv, surjektiv, bijektiv?

Die Kinder haben erfolgreich das gelernt (einschließlich der Null) und auch das Kommutativgesetz verstanden. Wie viele Additionen beherrschen sie, wenn man

als gleiche Addition ansieht?

Es sei eine natürliche Zahl. Auf wie viele Arten kann als eine Summe von zwei natürlichen Zahlen dargestellt werden? Inwiefern muss man diese Fragestellung präzisieren?

Auf wie viele Arten kann man die als Summe von positiven natürlichen Zahlen darstellen (Darstellungen, die man durch Vertauschen der Reihenfolge ineinander überführen kann, gelten dabei als gleich; ist eine Darstellung)?

Wir betrachten die naürliche Additionstabelle bis zu einer bestimmten Zahl also

Zeige durch Induktion, dass die Gesamtsumme aller in der Tabelle auftretenden Summen gleich ist, also

Ist die Addition injektiv? Ist sie surjektiv?
Ist die Multiplikation injektiv? Ist sie surjektiv?
Ist die Multiplikation auf den natürlichen Zahlen injektiv? Ist sie surjektiv?
Kennen Sie eine bijektive Verknüpfung?
Gibt es eine ob eine Verknüpfung eher injektiv (surjektiv) oder nicht ist?

Man mache sich klar, dass die beiden in der Vorlesung besprochenen Zugänge zur Addition (also über das Nachfolgernehmen und über die disjunkte Vereinigung) nicht tragfähig sind für die Addition in in und in

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Skizziere die folgenden Teilmengen im

Es sei eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung darauf, die wir als schreiben. Zeige, dass

für beliebige gilt.

Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung

Zeige, dass es maximal ein

neutrales Element für die Verknüpfung gibt.

Es seien natürliche Zahlen. Zeige, dass die Abbildung

bijektiv ist.

Anleitung: Führe Induktion nach unter Verwendung von Aufgabe 8.21.

Es seien

zwei

endliche Teilmengen einer Menge Zeige, dass die Formel

gilt.

Gilt für die Vereinigung von Mengen die d.h. kann man aus

auf

schließen?

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Erstelle eine Liste der Quadratzahlen bis

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe und deren Produkt ist.

Wie oft sagt man wenn man dreimal sagt.

Bauer Ernst legt einen Kartoffelacker mit Reihen an. Pro Reihe setzt er Setzkartoffeln der Sorte Sieglinde. Diese Sorte ergibt pro Setzkartoffel einen Ertrag von Kilogramm. Wie hoch wird seine Ernte ausfallen?

Berechne

ohne auf andere Darstellungsformen der natürlichen Zahlen Bezug zu nehmen. Insbesondere soll das Ergebnis als Strichfolge vorliegen.

Berechne

ohne auf andere Darstellungsformen der natürlichen Zahlen Bezug zu nehmen. Insbesondere soll das Ergebnis als Strichfolge vorliegen.

Berechne allein mit den in Satz 9.3 und Satz 8.12 fixierten Rechenregeln.

In der Klasse gibt es vier Reihen mit je acht Sitzplätzen, die alle besetzt sind. Vorne stehen Frau Maier-Sengupta und Herr Lutz. Frau Maier Sengupta zählt die Kinder durch, wobei sie reihenweise von (zuerst) links nach rechts und (dann) von vorne nach hinten durchzählt. Herr Lutz zählt die Kinder von rechts hinten nach links vorne, wobei er zuerst die ganz rechts sitzenden Kinder durchzählt u.s.w.

Welche Nummer bekommt dasjenige Kind, das von Frau Maier-Sengupta die Nummer bekommt, von Herrn Lutz?
Welche Nummer bekommt dasjenige Kind, das von Herrn Lutz die Nummer bekommt, von Frau Maier-Sengupta?
Welche Nummer bekommt das Kind, das in der dritten Reihe von vorne auf dem sechsten Stuhl von links sitzt, von den beiden Lehrkräften?

Erstelle das kleine Einmaleins im Zweiersystem.

Erstelle das kleine Einmaleins im Dreiersystem.

Erstelle das kleine Einmaleins im Vierersystem.

Man kann Satz 9.3 auch mit vertauschten Rollen formulieren.

Beweise den Satz, dass es auf den natürlichen Zahlen genau eine Verknüpfung

gibt, die

erfüllt.

Wir besprechen eine Variante des zweiten Beweises zu Satz 9.3. Es seien positive natürliche Zahlen.

Zeige, dass eine bijektive Abbildung ist.
Bringe diese Überlegung mit Aufgabe 2.17 in Verbindung.
Bringe diese Überlegung mit dem Stellenwertsystem zur Basis in Verbindung.

Welches Problem ergibt sich, wenn man Lemma 9.5 durch Induktion über beweisen möchte?

Angenommen, wir würden für die Multiplikation die Anzahl der Produktmenge als Ausgangspunkt (also als Definition) nehmen. Wie wären bei dieser Vorgehensweise die Aussagen Lemma 9.2, Lemma 9.4 und Lemma 9.5 zu beweisen?

Man mache sich klar, dass die in der Vorlesung besprochenen Zugänge zur Multiplikation (also über das mehrfache addieren und über die Anzahl der Produktmenge) nicht tragfähig sind für die Multiplikation in in und in

Berechne das Matrizenprodukt

Welche Ziffern treten im Dezimalsystem als Endziffern von Quadratzahlen auf?

Bestimme die folgenden Potenzen.

Die dritte Potenz der Vier.
Die vierte Potenz der Drei.
Die siebte Potenz der Fünf.
Die neunte Potenz der Zehn.

Erstelle das Kann man das allgemeine Potenzieren darauf irgendwie zurückführen?

Es sei Zeige, wie man mit vier Multiplikationen berechnen kann.

Zeige, dass für das Potenzieren die folgenden Rechenregeln gelten (dabei seien und).

Berechne

ohne auf andere Darstellungformen der natürlichen Zahlen Bezug zu nehmen. Insbesondere soll das Ergebnis als Strichfolge vorliegen.

In der Schule wird Potenzrechnung durchgenommen und es geht um die Frage, ob

ist. Als Gründe, dass dies gelten müsste, werden angeführt:

Es gilt ja auch und warum sollte das jetzt plötzlich nicht mehr gelten?
Das wäre gut, wenn das gelten würde, dann könnte man die kleinere Zahl immer oben hinschreiben und es wäre einfacher auszurechnen.
Wenn man beispielsweise und nimmt, so ist warum sollte das für andere Zahlen nicht auch gelten?

Zeige, dass das Potenzieren auf den positiven natürlichen Zahlen, also die Zuordnung

weder kommutativ noch assoziativ ist. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element?

Erstelle eine rekursive Beziehung für das Potenzieren

wobei  den Nachfolger von  bezeichnet. Gibt es auch eine rekursive Beziehung für

Zeige, dass für positive natürliche Zahlen die Beziehung

gilt.

Bestätige die folgenden Identitäten.

Ist die Abbildung

injektiv oder nicht?

Die folgende Aufgabe liefert eine Anzahlinterpretation für Potenzen.

Es sei eine endliche Menge mit und eine Menge mit Elementen. Zeige, dass die Menge aller Abbildungen von nach genau Elemente besitzt.

Es sei eine elementige Menge. Wie viele Verknüpfungen gibt es auf

Gabi Hochster überlegt sich:

Berechne ... .
Berechne ... .
Berechne
Berechne
Berechne
Was ist für jedes

Berechne allein mit den in Satz 9.3 und Satz 8.12 fixierten Rechenregeln.

Erstelle das kleine Einmaleins im Fünfersystem.

Betrachte die Abbildung

Ist injektiv?
Ist surjektiv?
Was ist das minimale mit der Eigenschaft, dass unter der Abbildung alle Zahlen zwischen im Bild liegen (also erreicht werden).

Es sei

Zeige durch Induktion die Gleichheit

Die modische Winterjacke wird in den Größen und in den Farben pink, türkis, lavendel, anthrazit, weinrot, ochsenblut, luisenblau und tschitscheringrün angeboten. Ferner gibt es die Ausführung mit Reißverschluss, mit einfachen Knöpfen und mit einer Doppelknopfreihe, sowie mit und ohne Kapuze.

Beschreibe die Menge der möglichen Nungiduluxe-Jacken als eine Produktmenge.
Wie viele Nungiduluxe-Jacken gibt es?
Der Grundpreis der Jacke beträgt Euro, für die Größen wird ein Aufschlag von Euro, für die Doppelknopfreihe wird ein Aufschlag von Euro und für die Kapuze wird ein Aufschlag von Euro verlangt. Wie viele Jacken gibt es, die mindestens Euro kosten?
Lucy Sonnenschein möchte sich eine Nungiduluxe-Jacke kaufen. Sie hat Größe und möchte maximal Euro ausgeben. Anthrazit und weinrot kommt für sie nicht in Frage, und sie findet, dass Reißverschlüsse meistens klemmen. Da sie zufällig eine luisenblaue und eine tschitscheringrüne Mütze hat, wäre bei diesen Farbe die Kapuze unsinnig. Alle verbleibenden Möglichkeiten möchte sie gerne anprobieren. Wie viele Jacken bestellt sie?
Die Bestellung von Lucy trifft auf folgende Schwierigkeiten: In der Größe sind die Farben pink und lavendel in jeder Ausführung ausverkauft und ochsenblut gibt es nur noch mit Reißverschluss. Türkis gibt es nur gleichzeitig mit Doppelknopfreihe und Kapuze und luisenblau nur mit der einfachen Knopfreihe. Wie viele Jacken werden geliefert?

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Ordne die folgenden natürlichen Zahlen gemäß ihrer Größe.

Erstelle das

Skizziere die Menge der Paare die

erfüllen, als Teilmenge der Produktmenge

Es seien

natürliche Zahlen. Zeige

Es seien natürliche Zahlen. Zeige, dass

genau dann gilt, wenn

gilt.

Es seien natürliche Zahlen mit

Zeige, dass

oder

gilt.

Für natürliche Zahlen gelte

und

Zeige

Zeige, dass für jede natürliche Zahl

die Abschätzung

gilt.

Bestimme die minimale Potenzzahl echt oberhalb von und die maximale Potenzzahl echt unterhalb von

Beweise Lemma 9.4 mit Hilfe von Lemma 10.6 und Satz 10.8.

Beweise Lemma 9.5 mit Hilfe von Satz 10.8.

Es sei eine endliche total geordnete Menge. Es sei eine endliche Indexmenge. Definiere auf der Produktmenge

die „lexikographische Ordnung“, und zeige, dass es sich dabei ebenfalls um eine totale Ordnung handelt.

Modelliere Aussagen wie mit Hilfe von Abbildungen und der Größergleich-Relation auf den natürlichen Zahlen. Besteht eine Ordnungsrelation auf der Personenmenge?

Es sei eine nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen. Zeige, dass genau dann endlich ist, wenn ein Maximum besitzt.

Es sei eine endliche Menge mit Elementen und es sei

eine Teilmenge. Zeige, dass ebenfalls eine endliche Menge ist, und dass für ihre Anzahl die Abschätzung

gilt. Zeige ferner, dass genau dann eine echte Teilmenge ist, wenn

ist.

In die Klasse kommt ein neues Kind. Es stellt sich heraus, dass es auf die Frage, ob oder ob größer ist, keine Antwort weiß. Die Lehrkraft möchte genauer wissen, was das Kind über die Ordnung weiß oder nicht weiß, um es besser fördern zu können. Betrachte die folgenden möglichen Nachfragen der Lehrkraft.

(nachdem die Lehrkraft zwei Mengen mit unterschiedlich vielen Plättchen hingelegt hat)

An welchem mathematischen Sachverhalt orientiert sich vermutlich die Lehrkraft bei den einzelnen Nachfragen?

Es seien

endliche Mengen. Zeige, dass es genau dann eine injektive Abbildung

gibt, wenn

gilt.

Es seien

endliche Mengen. Es gebe zwei injektive Abbildungen

und

Zeige, dass dann die beiden Mengen die gleiche Anzahl besitzen.

Winnetou und Old Shatterhand liegen nachts am Strand des Rio Pecos und halten ihre vom harten Tagesritt müden Füße in den Fluss. Dabei schauen sie in den Himmel und zählen Sternschnuppen. Winnetou sieht und Old Shatterhand sieht Sternschnuppen. Old Shatterhand sieht von den von Winnetou gesichteten Sternschnuppen nicht. Wie viele der Sternschnuppen, die von Old Shatterhand gesichtet wurden, sieht Winnetou nicht?

Professor Knopfloch kommt gelegentlich mit verschiedenen Socken und/oder mit verschiedenen Schuhen in die Universität. Er legt folgende Definitionen fest.

Ein Tag heißt wenn er verschiedene Socken anhat.
Ein Tag heißt wenn er verschiedene Schuhe anhat.
Ein Tag heißt wenn er sockenzerstreut oder schuhzerstreut ist.
Ein Tag heißt wenn er sowohl sockenzerstreut als auch schuhzerstreut ist.

a) Vom Jahr weiß man, dass Tage sockenzerstreut und Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal zerstreut? Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal total zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?

b) Vom Jahr weiß man, dass Tage sockenzerstreut und Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?

c) Erstelle eine Formel, die die Anzahl der sockenzerstreuten, der schuhzerstreuten, der zerstreuten und der total zerstreuten Tage in einem Jahr miteinander in Verbindung bringt.

Es seien

natürliche Zahlen. Begründe, dass der te Vorgänger von ist.

Es sei eine natürlich Zahl. Zeige

Es seien

natürliche Zahlen. Zeige, dass dann auch

und dass

gilt.

Berechne die Differenz mit Aufgabe 10.23

Beweise die folgenden Eigenschaft für die Differenz zwischen natürlichen Zahlen.

Für natürliche Zahlen mit ist Insbesondere ist und
Für natürliche Zahlen mit und ist Insbesondere ist bei stets
Bei ist und es ist