Kurs:Körper- und Galoistheorie/11/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	1	7	6	8	2	4	3	3	3	3	2	2	3	4	63

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe ${}H\subseteq G$.
2. Ein endlicher Körper.
3. Ein Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ zwischen ${}K$- Algebren ${}R$ und ${}S$.
4. Die Charaktergruppe zu einer kommutativen Gruppe ${}D$ mit Werten in einem Körper ${}K$.
5. Eine Fermat-Zahl.
6. Algebraisch unabhängige Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ in einer ${}R$-Algebra ${}A$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen ${}K\subseteq L$ und ${}L\subseteq M$.
2. Der Satz über den Einsetzungshomomorphismus zu einer ${}R$-Algebra ${}A$ und einem Element ${}f\in A$.
3. Der Satz über die Einheitengruppe eines endlichen Körpers.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer Charakteristik ${}\neq 2$ und es sei ${}K\subset L$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein ${}x\in L$, ${}x\notin K$, mit ${}x^{2}\in K$ gibt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ideal in ${}R$ ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und seien ${}f,g\in L$ konjugierte Elemente. Zeige, dass dann ${}N(f)=N(g)$ und ${}S(f)=S(g)$ gilt.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}K\subseteq L_{1}$ und ${}K\subseteq L_{2}$ endliche Körpererweiterungen. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq M$ gibt, die sowohl ${}L_{1}$ als auch ${}L_{2}$ als Zwischenkörper enthält.

Aufgabe * (6 (1+2+1+2) Punkte)

Es seien ${}p,q\in \mathbb {Z}$ verschiedene Primzahlen und

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]=L\,$

die zugehörige Körpererweiterung vom Grad ${}4$. Bestimme, ob die folgenden Elemente die ${}\mathbb {Q}$- Algebra ${}L$ erzeugen oder nicht.

1. ${}{\sqrt {p}}$,
2. ${}{\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}$,
3. ${}{\sqrt {pq}}$,
4. ${}{\sqrt {p}}+{\sqrt {pq}}$.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz vom primitiven Element.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und es sei ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ein ${}K$- Automorphismus. Zeige, dass für die Multiplikationsabbildungen zu ${}f\in L$ die Beziehung

${}\mu _{\varphi (f)}=\varphi \circ \mu _{f}\circ \varphi ^{-1}\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper (mit ${}q$ Elementen). Bestimme die Anzahl der Elemente in

$\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {F} }_{q}\right)}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad ${}3$ und es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine Körpererweiterung, in der ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt. Zeige, dass die Nullstellen von ${}F$ in ${}L$ nicht die Form ${}\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +\gamma$ mit rationalen Zahlen ${}\beta ,\gamma$ haben können.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\subseteq L$ eine graduierte Körpererweiterung mit graduierender Gruppe ${}\mathbb {Z} /(4)$. Bestimme die Matrizen in Diagonalgestalt, die die ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$- Automorphismen von ${}L$ beschreiben.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K_{n}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$ und

${}L_{n}=K_{n}\cap \mathbb {R} \,.$

Zeige, dass bei ${}n\geq 3$ die Körpererweiterung ${}L_{n}\subseteq K_{n}$ den Grad ${}2$ besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}G$ eine endliche Gruppe mit ${}p^{r}$ Elementen. Zeige, dass ${}G$ auflösbar ist.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

1. Zeige, dass eine transitive Untergruppe ${}G\subseteq S_{n}$ zumindest ${}n$ Elemente besitzt.
2. Zeige, dass es eine transitive Untergruppe ${}G\subseteq S_{n}$ mit genau ${}n$ Elementen gibt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass man zu einer Geraden ${}G$ und zwei Punkten ${}Q_{1},Q_{2}\in G$ die zu ${}G$ senkrechte Gerade zeichnen kann, die die Strecke zwischen ${}Q_{1}$ und ${}Q_{2}$ halbiert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass man aus dem Einheitsintervall ${}[0,1]$ als Startmenge den gesamten ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass ${}K$ in einer Körpererweiterung der Form

${}K\subseteq K(X_{1},\ldots ,X_{n})\,$

algebraisch abgeschlossen ist, also mit seinem algebraischen Abschluss in ${}K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ übereinstimmt.