Kurs:Körper- und Galoistheorie/11/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 3 3 1 7 6 8 2 4 3 3 3 3 2 2 3 4 63



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe .
  2. Ein endlicher Körper.
  3. Ein Algebrahomomorphismus zwischen -Algebren und .
  4. Die Charaktergruppe zu einer kommutativen Gruppe mit Werten in einem Körper .
  5. Eine Fermat-Zahl.
  6. Algebraisch unabhängige Elemente in einer -Algebra .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen und .
  2. Der Satz über den Einsetzungshomomorphismus zu einer -Algebra und einem Element .
  3. Der Satz über die Einheitengruppe eines endlichen Körpers.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper mit einer Charakteristik und es sei eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein , , mit gibt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

ein Ideal in ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei eine endliche Körpererweiterung und seien konjugierte Elemente. Zeige, dass dann und gilt.


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ein Körper und seien und endliche Körpererweiterungen. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung gibt, die sowohl als auch als Zwischenkörper enthält.


Aufgabe * (6 (1+2+1+2) Punkte)

Es seien verschiedene Primzahlen und

die zugehörige Körpererweiterung vom Grad . Bestimme, ob die folgenden Elemente die -Algebra erzeugen oder nicht.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz vom primitiven Element.


Aufgabe * (2 Punkte)

Sei eine endliche Körpererweiterung und es sei ein -Automorphismus. Zeige, dass für die Multiplikationsabbildungen zu die Beziehung

gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein endlicher Körper (mit Elementen). Bestimme die Anzahl der Elemente in


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein irreduzibles Polynom vom Grad und es sei eine Körpererweiterung, in der in Linearfaktoren zerfällt. Zeige, dass die Nullstellen von in nicht die Form mit rationalen Zahlen haben können.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine graduierte Körpererweiterung mit graduierender Gruppe . Bestimme die Matrizen in Diagonalgestalt, die die -Automorphismen von beschreiben.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei der -te Kreisteilungskörper über und

Zeige, dass bei die Körpererweiterung den Grad besitzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine Primzahl und eine endliche Gruppe mit Elementen. Zeige, dass auflösbar ist.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

  1. Zeige, dass eine transitive Untergruppe zumindest Elemente besitzt.
  2. Zeige, dass es eine transitive Untergruppe mit genau Elementen gibt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass man zu einer Geraden und zwei Punkten die zu senkrechte Gerade zeichnen kann, die die Strecke zwischen und halbiert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass man aus dem Einheitsintervall als Startmenge den gesamten mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper. Zeige, dass in einer Körpererweiterung der Form

algebraisch abgeschlossen ist, also mit seinem algebraischen Abschluss in übereinstimmt.