Kurs:Körper- und Galoistheorie/16/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	0	2	0	0	0	0	4	0	0	0	6	0	18

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Teilen in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Die Ordnung eines Elements ${}g\in G$ in einer Gruppe ${}G$.
3. Ein Algebraautomorphismus auf einer ${}K$- Algebra ${}A$.
4. Der ${}n$-te Kreisteilungskörper (über ${}\mathbb {Q}$).
5. Ein auflösbares Polynom ${}F\in K[X]$ über einem Körper ${}K$.
6. Der rationale Funktionenkörper in ${}n$ Variablen.

Lösung

1. Man sagt, dass ${}a$ das Element ${}b$ teilt, wenn es ein ${}c\in R$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist.
2. Man nennt die kleinste positive Zahl ${}n$ mit ${}g^{n}=e_{G}$ die Ordnung von ${}g$. Wenn alle positiven Potenzen von ${}g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man ${}\operatorname {ord} \,(g)=\infty$.
3. Ein bijektiver ${}K$- Algebrahomomorphismus

   $\varphi \colon A\longrightarrow A$

   heißt ${}K$-Algebraautomorphismus.

4. Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

   $X^{n}-1$

   über ${}\mathbb {Q}$.

5. Man sagt, dass das Polynom ${}F$ auflösbar ist, wenn die Körpererweiterung ${}K\subseteq Z(F)$ auflösbar ist.
6. Unter dem rationalen Funktionenkörper in ${}n$ Variablen versteht man den Quotientenkörper des Polynomringes ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper ${}K$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).
2. Das Eisensteinsche Irreduzibilitätskriterium (über ${}\mathbb {Z}$ bzw. ${}\mathbb {Q}$).
3. Die Transzendenzgradformel.

Lösung

1. Seien ${}G,Q$ und ${}H$ Gruppen, es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und ${}\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

   $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$

   ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

   ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow H$

   derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.
2. Es sei ${}F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in \mathbb {Z} [X]$ ein Polynom. Es sei ${}p\in \mathbb {Z}$ eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass ${}p$ den Leitkoeffizienten ${}c_{n}$ nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass ${}p^{2}$ nicht den konstanten Koeffizienten ${}c_{0}$ teilt. Dann ist ${}F$ irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$.
3. Es sei ${}K\subseteq L\subseteq M$ eine Kette von Körpererweiterungen. Dann ist

   ${}\operatorname {trdeg} {\left(M/K\right)}=\operatorname {trdeg} {\left(L/K\right)}+\operatorname {trdeg} {\left(M/L\right)}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Kern eines Gruppenhomomorphismus ein Normalteiler ist.

Lösung

Wir verwenden Fakt (2). Es sei also ${}x\in G$ beliebig und ${}k\in \operatorname {kern} \varphi$. Dann ist

${}\varphi {\left(xhx^{-1}\right)}=\varphi (x)\varphi (h)\varphi {\left(x^{-1}\right)}=\varphi (x)e_{H}\varphi {\left(x^{-1}\right)}=\varphi (x)\varphi (x)^{-1}=e_{H}\,,$

also gehört ${}xhx^{-1}$ ebenfalls zum Kern.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Galoisgruppe zu endlichen Körpern.

Lösung

Es sei

$\Phi \colon {\mathbb {F} }_{q}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q}$

der Frobeniushomomorphismus, der nach Lemma 16.8 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ein ${}{\mathbb {F} }_{p}$-Automorphismus ist. Daher sind auch die Iterationen ${}\Phi ^{k}$ Automorphismen, und zwar gilt

${}\Phi ^{k}(x)=x^{p^{k}}\,.$

Bei ${}k=m$ ist nach Korollar 4.17 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ${}x^{p^{m}}=x$ für alle ${}x\in {\mathbb {F} }_{q}$, also ist ${}\Phi ^{m}=\operatorname {Id}$. Für ${}k<m$ kann ${}\Phi ^{k}$ nicht die Identität sein, da dies sofort Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) widersprechen würde. Also gibt es ${}m$ verschiedene Potenzen des Frobeniusautomorphismus. Nach Satz 14.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) kann es keine weiteren Automorphismen geben und die Körpererweiterung ist galoissch mit der vom Frobenius erzeugten Gruppe als Galoisgruppe.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.

Lösung

Es sei ${}n=2^{\alpha }p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$ die Primfaktorzerlegung von ${}n$ mit den verschiedenen ungeraden Primzahlen ${}p_{i}$, ${}i=1,\ldots ,k$, und positiven Exponenten ${}r_{i}\geq 1$ (und ${}\alpha \geq 0$). Nach Satz 27.3 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) muss die eulersche Funktion eine Zweierpotenz sein, also

${}{\varphi (n)}=2^{t}\,.$

Andererseits gilt nach Lemma 19.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) die Beziehung

${}{\varphi (n)}=2^{\alpha -1}(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1}\cdots (p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1}\,$

(bei ${}\alpha =0$ ist der Ausdruck ${}2^{\alpha -1}$ zu streichen). Da dies eine Zweierpotenz sein muss, dürfen die ungeraden Primzahlen nur mit einem Exponenten ${}1$ (oder ${}0$) auftreten. Ferner muss jede beteiligte Primzahl ${}p$ die Gestalt ${}p=2^{s}+1$ haben, also eine Fermatsche Primzahl sein.
Für die andere Richtung muss man aufgrund von Lemma 27.2 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) lediglich zeigen, dass für eine Fermatsche Primzahl ${}p=2^{s}+1$ das regelmäßige ${}p$-Eck konstruierbar ist. Der ${}p$-te Kreisteilungskörper besitzt nach Lemma 19.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) den Grad ${}p-1=2^{s}$, und dieser ist der Zerfällungskörper des ${}p$-ten Kreisteilungspolynoms und wird von der ${}p$-ten primitiven Einheitswurzel ${}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ erzeugt. Aufgrund von Satz 26.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist somit ${}\zeta$ konstruierbar.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung