Kurs:Körper- und Galoistheorie/16/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 0 0 2 0 0 0 0 4 0 0 0 6 0 18




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Teilen in einem kommutativen Ring .
  2. Die Ordnung eines Elements in einer Gruppe .
  3. Ein Algebraautomorphismus auf einer -Algebra .
  4. Der -te Kreisteilungskörper (über ).
  5. Ein auflösbares Polynom über einem Körper .
  6. Der rationale Funktionenkörper in Variablen.


Lösung

  1. Man sagt, dass das Element teilt, wenn es ein derart gibt, dass ist.
  2. Man nennt die kleinste positive Zahl mit die Ordnung von . Wenn alle positiven Potenzen von vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man .
  3. Ein bijektiver -Algebrahomomorphismus

    heißt -Algebraautomorphismus.

  4. Der -te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

    über .

  5. Man sagt, dass das Polynom auflösbar ist, wenn die Körpererweiterung auflösbar ist.
  6. Unter dem rationalen Funktionenkörper in Variablen versteht man den Quotientenkörper des Polynomringes über einem Körper .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).
  2. Das Eisensteinsche Irreduzibilitätskriterium (über bzw. ).
  3. Die Transzendenzgradformel.


Lösung

  1. Seien und [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|Gruppen]], es sei ein Gruppenhomomorphismus und ein [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|surjektiver]] Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
    ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
    derart, dass ist.
  2. Es sei ein Polynom. Es sei eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass den Leitkoeffizienten nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass nicht den konstanten Koeffizienten teilt. Dann ist irreduzibel in .
  3. Es sei eine Kette von [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|Körpererweiterungen]]. Dann ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Kern eines Gruppenhomomorphismus ein Normalteiler ist.


Lösung

Wir verwenden Fakt (2). Sei also beliebig und . Dann ist

also gehört ebenfalls zum Kern.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Galoisgruppe zu endlichen Körpern.


Lösung

Es sei

der Frobeniushomomorphismus, der nach Lemma 16.8 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ein -Automorphismus ist. Daher sind auch die Iterationen Automorphismen, und zwar gilt

Bei ist nach Korollar 4.17 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) für alle , also ist . Für kann nicht die Identität sein, da dies sofort Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) widersprechen würde. Also gibt es verschiedene Potenzen des Frobeniusautomorphismus. Nach Satz 14.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) kann es keine weiteren Automorphismen geben und die Körpererweiterung ist galoissch mit der vom Frobenius erzeugten Gruppe als Galoisgruppe.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.


Lösung

Es sei die Primfaktorzerlegung von mit den verschiedenen ungeraden Primzahlen , , und positiven Exponenten (und ). Nach Satz 27.3 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) muss die eulersche Funktion eine Zweierpotenz sein, also

Andererseits gilt nach Lemma 19.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) die Beziehung

(bei ist der Ausdruck zu streichen). Da dies eine Zweierpotenz sein muss, dürfen die ungeraden Primzahlen nur mit einem Exponenten (oder ) auftreten. Ferner muss jede beteiligte Primzahl die Gestalt haben, also eine Fermatsche Primzahl sein.
Für die andere Richtung muss man aufgrund von Lemma 27.2 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) lediglich zeigen, dass für eine Fermatsche Primzahl das regelmäßige -Eck konstruierbar ist. Der -te Kreisteilungskörper besitzt nach Lemma 19.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) den Grad , und dieser ist der Zerfällungskörper des -ten Kreisteilungspolynoms und wird von der -ten primitiven Einheitswurzel erzeugt. Aufgrund von Satz 26.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist somit konstruierbar.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung