Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 7/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper .
Berechne in .
Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .
![{\displaystyle {}F_{5}[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5690ae4c463962518ee0457eaa0a7514903ad3)
Bestimme die fünf kleinsten Primzahlen mit der Eigenschaft, dass das Polynom über in Linearfaktoren zerfällt.
Betrachte den Körper . Führe im Polynomring die Polynomdivision
![{\displaystyle {}K=\mathbb {F} _{4}=\mathbb {Z} /(2)[U]/(U^{2}+U+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e7ad0ca6361d0d4be6f48feeacdba1513be362)
![{\displaystyle {}K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7861df9df3d7463835d927c4d0d4c27f5e2f8416)
aus, wobei die Restklasse von in bezeichnet.
a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms in .
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8417bf0026e1cf0d3d1f733285575b7a0ef7181)
b) Zeige, dass durch
![{\displaystyle K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d83a1fba568cce7e790501fcfac3255dc55e2b)
ein Körper mit Elementen gegeben ist.
c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von über .
![{\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3ce846020da4fbc890c7926d1f9f292ec869e4)
Bestimme sämtliche Primkörper.
Es sei eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ein Vielfaches von für jede ganze Zahl ist.
Es sei ein kommutativer Ring und , . Zeige, dass genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.
Es sei ein topologischer Raum und der Ring der stetigen Funktionen auf . Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge
ein Ideal in ist. Definiere einen Ringhomomorphismus
Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?
Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen und nicht isomorph sind.
![{\displaystyle \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Q} _{+},1,\cdot ),\,z=x+{\mathrm {i} }y\longmapsto \vert {z}\vert ^{2}=x^{2}+y^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f65f5521708a7def9852bfd7e8301130944397c)
![{\displaystyle {}S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c9b2890538247dd1fcfb553bd2be802e46ab73)
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db1ddb8b0fea8305b8d43d2701b675d1d57c5a8)
Es sei
der rationale Einheitskreis mit der aus ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von .
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36198aba3e62c672bd69bf49b057527d3135c59)
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper .
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .
![{\displaystyle {}F_{3}[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d9f3b721645b99685183afff96525fc670215f)
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Primzahl und sei ein Polynom mit Koeffizienten in vom Grad . Zeige, dass es ein Polynom mit einem Grad derart gibt, dass für alle Elemente die Gleichheit
gilt.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
der rationale Einheitskreis mit der aus ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen und nicht isomorph sind.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
![{\displaystyle \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Q} _{+},1,\cdot ),\,x+{\mathrm {i} }y\longmapsto x^{2}+y^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0214d22015707176654094b5e078fb4be6aedf4a)
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