Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 13/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung, deren Grad eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine einfache Körpererweiterung vorliegt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}L=K(X)$ der Quotientenkörper des Polynomrings ${}K[X]$ . Zeige, dass ${}K\subset L$ eine einfache, aber keine endliche Körpererweiterung ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}P\in K[X]$ ein separables Polynom. Zeige, dass ein Teiler ${}F\in K[X]$ von ${}P$ ebenfalls separabel ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Ist ein konstantes Polynom ${}P\in K[X]$ separabel?

Aufgabe * Aufgabe 13.5 ändern

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung und ${}M$ , ${}K\subseteq M\subseteq L$ , ein Zwischenkörper. Zeige, das auch ${}M\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$ und sei ${}F\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom, dessen Grad kein Vielfaches von ${}p$ sei. Zeige, dass ${}F$ separabel ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$ und sei ${}X^{p}-a$ , ${}a\in K$ , ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass die Körpererweiterung

{}K\subseteq K[x]=K[X]/(X^{p}-a)\,

nicht separabel ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$ und sei ${}X^{p}-X-a$ , ${}a\in K$ , ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass die Körpererweiterung

{}K\subseteq K[x]=K[X]/(X^{p}-X-a)\,

separabel ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$ und sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, dessen Grad kein Vielfaches von ${}p$ sei. Zeige, dass diese Körpererweiterung separabel ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$ und sei ${}K\subseteq L$ eine ${}D$ - graduierte Körpererweiterung. Zeige, dass diese Erweiterung genau dann separabel ist, wenn die Ordnung von ${}D$ kein Vielfaches von ${}p$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Anzahl der ${}\mathbb {Q}$ - Algebrahomomorphismen von ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\sqrt {7}}]$ nach ${}{\mathbb {C} }$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\zeta$ eine primitive ${}n$ -te komplexe Einheitswurzel. Bestimme die Anzahl der ${}\mathbb {Q}$ - Algebrahomomorphismen von ${}\mathbb {Q} [\zeta ]$ nach ${}{\mathbb {C} }$ .

Aufgabe * Aufgabe 13.13 ändern

Sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und ${}z\in L$ ein Element. Es seien

\rho _{1},\ldots ,\rho _{n}\colon L\longrightarrow {\mathbb {C} }

die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei ${}M=\{z_{1},\ldots ,z_{k}\}$ die Menge der verschiedenen Werte ${}\rho _{i}(z)$ . Zeige, dass dann für das Minimalpolynom ${}G$ von ${}z$ die Gleichung

{}G=(X-z_{1})(X-z_{2})\cdots (X-z_{k})\,

gilt.

Aufgabe * Aufgabe 13.14 ändern

Sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}\rho _{i}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }$ die ${}n$ verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei ${}z\in L$ und ${}z_{i}=\rho _{i}(z)$ , ${}i=1,\ldots ,n$ . Zeige, dass dann

N(z)=z_{1}\cdots z_{n}{\text{ und }}S(z)=z_{1}+\cdots +z_{n}

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Diskutiere Lemma 13.12 für die Extremfälle ${}M=K$ und ${}M=L$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Diskutiere Lemma 13.12 für die Körpererweiterung ${}\mathbb {Z} /(5)\subseteq {\mathbb {F} }_{625}\cong \mathbb {Z} /(5)[X]/{\left(X^{4}-2\right)}$ und den Zwischenkörper ${}{\mathbb {F} }_{25}$ .

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Körpererweiterung

{}\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]=\mathbb {Q} [\zeta _{8}]\,

mit ${}\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}$ . Bestimme die Minimalpolynome zu ${}\zeta _{8}$ über den folgenden Zwischenkörpern ${}M$ , ${}\mathbb {Q} \subseteq M\subseteq L$ .

${}M=\mathbb {Q}$ .
${}M=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ .
${}M=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$ .
${}M=L$ .

In den nächsten Aufgaben verwenden wir die folgende Definition.

Ein Körper ${}K$ heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom ${}P\in K[X]$ separabel ist.

Aufgabe (5 Punkte)Aufgabe 13.26 ändern

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die zugehörige Polynomfunktion

F\colon K^{n}\longrightarrow K,\,(a_{1},\ldots ,a_{n})\longmapsto F(a_{1},\ldots ,a_{n}),

nicht die Nullfunktion ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}L=K(X)$ der Quotientenkörper des Polynomrings ${}K[X]$ . Zeige, dass es unendlich viele Zwischenkörper zwischen ${}K$ und ${}L$ gibt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}L=K(X)$ der Quotientenkörper des Polynomrings ${}K[X]$ . Es sei ${}M$ , ${}K\subseteq M\subseteq L$ , ${}M\neq K$ , ein Zwischenkörper. Zeige, dass ${}M\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung ist.

Mit ${}K(X,Y)$ wird der Quotientenkörper des Polynomrings ${}K[X,Y]$ bezeichnet.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p$ . Wir betrachten die Körpererweiterung

{}K(X^{p},Y^{p})\subseteq K(X,Y)\,.

Zeige, dass dies keine einfache Körpererweiterung ist.