Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 13

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung, deren Grad eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine einfache Körpererweiterung vorliegt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der Quotientenkörper des Polynomrings . Zeige, dass eine einfache, aber keine endliche Körpererweiterung ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein separables Polynom. Zeige, dass ein Teiler von ebenfalls separabel ist.


Aufgabe

Sei ein Körper. Ist ein konstantes Polynom separabel?


Aufgabe *

Es sei eine endliche separable Körpererweiterung und , , ein Zwischenkörper. Zeige, das auch eine separable Körpererweiterung ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper der Charakteristik und sei ein irreduzibles Polynom, dessen Grad kein Vielfaches von sei. Zeige, dass separabel ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper der Charakteristik und sei , , ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass die Körpererweiterung

nicht separabel ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper der Charakteristik und sei , , ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass die Körpererweiterung

separabel ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper der Charakteristik und sei eine Körpererweiterung, dessen Grad kein Vielfaches von sei. Zeige, dass diese Körpererweiterung separabel ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper der Charakteristik und sei eine -graduierte Körpererweiterung. Zeige, dass diese Erweiterung genau dann separabel ist, wenn die Ordnung von kein Vielfaches von ist.


Aufgabe

Bestimme die Anzahl der -Algebrahomomorphismen von nach .


Aufgabe

Es sei eine primitive -te komplexe Einheitswurzel. Bestimme die Anzahl der -Algebrahomomorphismen von nach .


Aufgabe *

Sei eine endliche Körpererweiterung und ein Element. Es seien

die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei die Menge der verschiedenen Werte . Zeige, dass dann für das Minimalpolynom von die Gleichung

gilt.


Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und seien die verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei und , . Zeige, dass dann

gilt.


Aufgabe

Diskutiere Lemma 13.12 für die Extremfälle und .


Aufgabe

Diskutiere Lemma 13.12 für die Körpererweiterung und den Zwischenkörper .


Aufgabe *

Wir betrachten die Körpererweiterung

mit . Bestimme die Minimalpolynome zu über den folgenden Zwischenkörpern , .

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .


In den nächsten Aufgaben verwenden wir die folgende Definition.


Ein Körper heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom separabel ist.


Aufgabe

Es sei ein vollkommener Körper und eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass eine separable Körpererweiterung ist.


Aufgabe

Zeige, dass jeder Körper der Charakteristik vollkommen ist.


Aufgabe


Aufgabe

Zeige, dass ein endlicher Körper vollkommen ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper der Charakteristik . Zeige, dass genau dann vollkommen ist, wenn der Frobeniushomomorphismus auf surjektiv ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Körper der rationalen Funktionen nicht vollkommen ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine endliche einfache Körpererweiterung , die nicht separabel ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine graduierte Körpererweiterung, die nicht einfach ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein unendlicher Körper und sei ein von verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die zugehörige Polynomfunktion

nicht die Nullfunktion ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und der Quotientenkörper des Polynomrings . Zeige, dass es unendlich viele Zwischenkörper zwischen und gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und der Quotientenkörper des Polynomrings . Es sei , , , ein Zwischenkörper. Zeige, dass eine endliche Körpererweiterung ist.


Mit wird der Quotientenkörper des Polynomrings bezeichnet.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Körper der positiven Charakteristik . Wir betrachten die Körpererweiterung

Zeige, dass dies keine einfache Körpererweiterung ist.



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