Kurs:Lineare Algebra/Teil I/25/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 2 2 8 1 4 8 5 6 1 2 3 4 3 4 2 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Bild einer Abbildung
  2. Ein Vektorraum über einem Körper .
  3. Der Spaltenrang einer -Matrix über einem Körper .
  4. Der Dualraum zu einem -Vektorraum .
  5. Der Hauptraum zu einer linearen Abbildung auf einem -Vektorraum und einem Eigenwert .
  6. Eine Jordanmatrix zu einem Eigenwert .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Superpositionsprinzip für ein inhomogenes (und das zugehörige homogene) Gleichungssystem über einem Körper .
  2. Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
  3. Der Satz über Eigenwerte zu einem Endomorphismus und einer Matrix.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bei der Onlinepartnervermittlung „e-Tarzan meets e-Jane“ verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange (in gerundeten Jahren) dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland (ca. ) verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.


Aufgabe * (2 Punkte)

Gilt für quadratische Matrizen die erste binomische Formel?


Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ein Vektorraum und

eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Familie genau dann eine Basis von bildet, wenn es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt (d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor).


Aufgabe * (1 Punkt)

Wie lautet die Matrix, die bezüglich der Standardbasis die Vierteldrehung im gegen den Uhrzeigensinn beschreibt?


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum . Sei . Zeige, dass es genau dann eine direkte Summenzerlegung in invariante Untervektorräume der Dimension bzw. gibt, wenn es eine Basis von gibt, bezüglich der die beschreibende Matrix von die Gestalt

besitzt.


Aufgabe * (6 (4+1+1) Punkte)

Es sei

und

a) Beschreibe den Untervektorraum der -Matrizen, die den Untervektorraum in den Untervektorraum abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

b) Beschreibe durch ein eliminiertes Gleichungssystem.

c) Bestimme die Dimension von .


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Determinante zur Matrix


Aufgabe * (2 Punkte)

Definiere eine Gruppe mit Elementen, in der jedes Element zu sich selbst invers ist.


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

  1. Berechne das Produkt

    im Polynomring .

  2. Berechne das Produkt

    in auf zwei verschiedene Arten.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom und . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar und ob sie diagonalisierbar ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und seien lineare Abbildungen, von denen die charakteristischen Polynome bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von bestimmen?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine nilpotente Abbildung mit . Beschreibe die Umkehrabbildung von .


Aufgabe * (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.