Kurs:Lineare Algebra/Teil I/3/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 3 2 3 5 5 4 7 8 1 5 6 6 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Die Summe von Untervektorräumen in einem Vektorraum .
  3. Ähnliche Matrizen .
  4. Die duale Abbildung zu einer linearen Abbildung

    zwischen -Vektorräumen und .

  5. Ein Fehlstand zu einer Permutation
  6. Eine nilpotente -Matrix über .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper .
  2. Die Dimensionsabschätzung für den Durchschnitt von Untervektorräumen.
  3. Der Satz über die Charakterisierungen von trigonalisierbaren Abbildungen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum und es seien Vektoren. Zeige, dass genau dann linear unabhängig sind, wenn linear unabhängig sind.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und Untervektorräume gleicher Dimension. Zeige, dass und ein gemeinsames direktes Komplement besitzen.


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme eine Basis des Urbildes von

zur linearen Abbildung


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei ein Untervektorraum. Zeige, dass es einen -Vektorraum und eine surjektive -lineare Abbildung

derart gibt, dass ist.


Aufgabe * (8 (5+3) Punkte)

a) Es seien endlichdimensionale -Vektorräume und

lineare Abbildungen. Zeige, dass für die Produktabbildung

die Gleichheit

gilt.

b) Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume und

eine lineare Abbildung. Es sei

die induzierte Abbildung. Zeige


Aufgabe * (1 Punkt)

Schreibe das Polynom

als Produkt von Linearfaktoren in .


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum und sei ein Eigenwert zu . Zeige, dass auch ein Eigenwert der dualen Abbildung

ist.


Aufgabe * (6 (1+2+3) Punkte)

a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine -Matrix.

b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix

c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige -Matrix.


Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei der Zykel gegeben und sei die zugehörige -Permutationsmatrix über einem Körper .

a) Es sei ein Polynom vom Grad . Erstelle eine Formel für .

b) Bestimme das Minimalpolynom von .

c) Man gebe ein Beispiel für einen Endomorphismus auf einem reellen Vektorraum mit untereinander verschiedenen Vektoren derart, dass , und gilt und dass das Minimalpolynom von nicht ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe die affine Gerade

als Urbild über einer affinen Abbildung .