Kurs:Lineare Algebra/Teil I/3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	3	5	5	4	7	8	1	5	6	6	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$.
2. Die Summe von Untervektorräumen ${}U_{1},\ldots ,U_{n}\subseteq V$ in einem Vektorraum ${}V$.
3. Ähnliche Matrizen ${}M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.
4. Die duale Abbildung zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen ${}K$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

5. Ein Fehlstand zu einer Permutation

   $\pi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow {\{1,\ldots ,n\}}.$

6. Eine nilpotente ${}d\times d$- Matrix über ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper ${}K$.
2. Die Dimensionsabschätzung für den Durchschnitt von Untervektorräumen.
3. Der Satz über die Charakterisierungen von trigonalisierbaren Abbildungen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}2-{\mathrm {i} }&-1-3{\mathrm {i} }&-1\\{\mathrm {i} }&0&4-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }\\1-{\mathrm {i} }\\2+5{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und es seien ${}v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ Vektoren. Zeige, dass ${}v_{1},v_{2},v_{3}$ genau dann linear unabhängig sind, wenn ${}v_{1},v_{1}+v_{2},v_{1}+v_{2}+v_{3}$ linear unabhängig sind.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume gleicher Dimension. Zeige, dass ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ ein gemeinsames direktes Komplement besitzen.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme eine Basis des Urbildes von

${}T=\mathbb {Q} {\begin{pmatrix}25\\11\\1\end{pmatrix}}\subseteq \mathbb {Q} ^{3}\,$

zur linearen Abbildung

$\mathbb {Q} ^{4}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}2&-1&5&6\\3&5&2&-1\\2&-1&-2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass es einen ${}K$-Vektorraum ${}W$ und eine surjektive ${}K$-lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

derart gibt, dass ${}U=\operatorname {kern} \varphi$ ist.

Aufgabe * (8 (5+3) Punkte)

a) Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume und

$L_{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$

lineare Abbildungen. Zeige, dass für die Produktabbildung

$L_{1}\times \cdots \times L_{n}\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\times \cdots \times V_{n}$

die Gleichheit

${}\det \left(L_{1}\times \cdots \times L_{n}\right)=\det L_{1}\cdots \det L_{n}\,$

gilt.

b) Es seien ${}V$ und ${}T$ endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume und

$L\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei

$\varphi \colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(T,V\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(T,V\right)},\,f\longmapsto L\circ f,$

die induzierte Abbildung. Zeige

${}\det \varphi ={\left(\det L\right)}^{\dim _{K}{\left(T\right)}}\,.$

Aufgabe * (1 Punkt)

Schreibe das Polynom

$X^{4}-1$

als Produkt von Linearfaktoren in ${}{\mathbb {C} }[X]$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ und sei ${}a\in K$ ein Eigenwert zu ${}\varphi$. Zeige, dass ${}a$ auch ein Eigenwert der dualen Abbildung

${\varphi }^{*}\colon {V}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$

ist.

Aufgabe * (6 (1+2+3) Punkte)

a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine ${}n\times n$-Matrix.

b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix

${\begin{pmatrix}2&1\\3&-4\end{pmatrix}}.$

c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige ${}2\times 2$-Matrix.

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei der Zykel ${}1\mapsto 2\mapsto 3\mapsto \ldots \mapsto n\mapsto 1$ gegeben und sei ${}M$ die zugehörige ${}n\times n$- Permutationsmatrix über einem Körper ${}K$.

a) Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom vom Grad ${}<n$. Erstelle eine Formel für ${}(P(M))(e_{1})$.

b) Bestimme das Minimalpolynom von ${}M$.

c) Man gebe ein Beispiel für einen Endomorphismus ${}\varphi$ auf einem reellen Vektorraum ${}V$ mit untereinander verschiedenen Vektoren ${}v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ derart, dass ${}\varphi (v_{1})=v_{2}$, ${}\varphi (v_{2})=v_{3}$ und ${}\varphi (v_{3})=v_{1}$ gilt und dass das Minimalpolynom von ${}\varphi$ nicht ${}X^{3}-1$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe die affine Gerade

${}G={\left\{{\begin{pmatrix}6\\2\\3\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}-2\\5\\4\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,$

als Urbild über ${}(1,0)$ einer affinen Abbildung ${}\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$.