Lösung
- Die Abbildung
-
heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
und
.
- Ein Isomorphismus zwischen
und
ist eine bijektive lineare Abbildung
-
- Man nennt die
Dimension
des von den Spalten
erzeugten Untervektorraums
von
den (Spalten-)Rang der Matrix
.
- Unter dem Dualraum zu
versteht man den
Homomorphismenraum
-
![{\displaystyle {}{V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24689c42eea926f50e43d2c7acc050a4feb00be7)
- Die Matrix
-
wobei
die Restmatrix zur
-ten Zeile und zur
-ten Spalte ist, heißt die adjungierte Matrix von
.
- Eine Kette von
Untervektorräumen
-
heißt eine Fahne in
.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
- Der Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
- Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.
Lösung
- Es sei
ein Körper und
ein
-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von
die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
- Sei
und sei
eine Permutation auf
. Es sei
die Anzahl der Fehlstände von
. Dann ist das Signum von
gleich
-
![{\displaystyle {}\operatorname {sgn} (\pi )=(-1)^{k}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d6d0ab6bd89b7e8e80f3103caa6e5a6edb7880d)
- Sei
-
ein trigonalisierbarer
-Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen
-Vektorraum
. Dann gibt es eine Zerlegung
-
![{\displaystyle {}\varphi =\varphi _{\rm {diag}}+\varphi _{\rm {nil}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/488ae54e8c789c49739d1920dddaf809efc753e6)
wobei
diagonalisierbar,
nilpotent und zusätzlich
-
![{\displaystyle {}\varphi _{\rm {diag}}\circ \varphi _{\rm {nil}}=\varphi _{\rm {nil}}\circ \varphi _{\rm {diag}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f98a125c201b43d50a17ef64433f77170a0e742b)
gilt.
Folgende Aussagen seien bekannt.
- Der frühe Vogel fängt den Wurm.
- Doro wird nicht von Lilly gefangen.
- Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
- Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
- Doro ist ein Wurm.
- Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
- Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.
Beantworte folgende Fragen.
- Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
- Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
- Fängt der späte Igel den Wurm?
Lösung
- Lilly ist ein Igel. Beweis durch Widerspruch. Nehmen wir an, dass Lilly kein Igel ist. Dann ist sie nach (3) ein Vogel. Da Lilly nach (7) um
Uhr schon unterwegs ist, ist nach (6) Lilly ein früher Vogel. Nach (1) fängt Lilly also den Wurm.
Da nach (5) Doro ein Wurm ist, wird er von Lilly gefangen im Widerspruch zu (2).
- Nach dem ersten Teil ist Lilly ein Igel, und nach (7) steht sie um 5 Uhr auf. Dies ist nach (4) für Igel spät, Lilly ist also ein später Igel und somit ein spätes Tier.
- Da nach dem zweiten Teil Lilly ein später Igel ist und sie nach (2) Doro, die nach (5) ein Wurm ist, nicht fängt, fängt der späte Igel im Allgemeinen nicht den Wurm.
Lösung
Lösung
Wir zeigen die beiden Inklusionen. Es sei zunächst
-
![{\displaystyle {}(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb9f0c6c6c0f1ef45d5de041edd4e136bfd1114)
Dies bedeutet
-
![{\displaystyle {}(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/538a3064e866191bfa6fdc3dc10a1da8c2342a63)
und
-
![{\displaystyle {}(x,y)\in {\left(M\times B\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4d2ec83bf3ff2b643fb3b4570df4b28d3c13b0)
Dies bedeutet einerseits
und andererseits
. Also ist
.
Wenn umgekehrt
gilt, so ist
und
. Wegen der Teilmengenbeziehungen
und
ist
-
![{\displaystyle {}(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/538a3064e866191bfa6fdc3dc10a1da8c2342a63)
und
-
![{\displaystyle {}(x,y)\in {\left(M\times B\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571168e35668fa040ca71f10777065d8bf471f68)
und damit auch
-
![{\displaystyle {}(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb9f0c6c6c0f1ef45d5de041edd4e136bfd1114)
In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt „Bitte nicht gleichzeitig sprechen“. Bringe diese Aussage mit dem Konzept von
disjunkten Mengen
in Verbindung.
Lösung
Die Forderung von Frau Maier-Sengupta bedeutet, das die Sprechzeiten der Kinder paarweise disjunkt sein sollen.
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
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gegebene Abbildung
-
a) Bestimme das Bild von
unter
.
b) Bestimme das Urbild von
unter
.
c) Erstelle eine Wertetabelle für
-
![{\displaystyle {}\varphi ^{3}=\varphi \circ \varphi \circ \varphi \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378a77d4b4555dd43204173fe9c0e9181be8a3eb)
Lösung
a) Das Bild von
ist
.
b) Das Urbild von
ist
.
c)
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Lösung
Es sei
-
![{\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dffd2fee0025bb36e9e6155d297ca4543a7bc0a)
Dann ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}1+\det \left(M\right)-\det \left(E_{2}-M\right)&=1+\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}-\det {\begin{pmatrix}1-a&-b\\-c&1-d\end{pmatrix}}\\&=1+ad-bc-((1-a)(1-d)-bc)\\&=1+ad-bc-(1-a-d+ad-bc)\\&=a+d\\&=\operatorname {Spur} {\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc4ff4b1986ff67d0b8dc54140b06e8c48579c79)
Lösung
Lösung
- Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\begin{pmatrix}X+1&-1&0&0\\0&X+1&-1&0\\0&0&X+1&-1\\1&0&0&X-1\end{pmatrix}}\\&=(X+1)^{3}(X-1)+1\\&=(X^{2}+2X+1)(X^{2}-1)+1\\&=X^{4}+2X^{3}+X^{2}-X^{2}-2X-1+1\\&=X^{4}+2X^{3}-2X.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/304f3aee6a833657cb72788f18756e5650dffada)
- Es ist
eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und es ist
-
![{\displaystyle {}X^{4}+2X^{3}-2X=X(X^{3}+2X^{2}-2)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2003a8f3362c726890e8d8788b4c38d7c7cb784d)
- Die Nullstelle
haben wir bereits gefunden. Wir betrachten den zweiten Faktor
. Da es sich um ein Polynom ungeraden Grades handelt, muss es eine reelle Nullstelle besitzen. Da
keine Nullstelle davon ist, gibt es also eine weitere reelle Nullstelle.
Lösung
- Die angegebenen Polynome haben die gewünschte Eigenschaft über jedem Körper nach
Fakt *****.
Aus
folgt zunächst
und daraus
.
- Es sei
ein Polynom mit der angegebenen Nullstelleneigenschaft. Wenn
konstant ist, so besitzt
bei
jedes Element als Nullstelle und bei
überhaupt keine Nullstelle. Der Grad von
muss also zumindest
sein. Nach
dem Fundamentalsatz der Algebra
besitzt
eine Faktorzerlegung
-
![{\displaystyle {}F=a(X-b_{1})\cdots (X-b_{n})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd5f8a862e52eb49720ac26315e8c24f5d82ad7c)
mit
. Die
sind die Nullstellen von
. Da diese alle
sein sollen, ist
-
![{\displaystyle {}F=aX^{n}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567fc8224f1e2b5978fae4805416ba1d46d8fd7f)
- Wir betrachten
-
![{\displaystyle {}F=X^{3}+X=X{\left(X^{2}+1\right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44feb8f0f6bd2a34299cf5e30b43a9cffd3875cc)
das nicht die Form aus Teil (1) besitzt. Eine Nullstelle dieses Polynoms ist die Nullstelle eines Faktors. Das Polynom
ist reell immer positiv und somit nullstellenfrei, also ist
die einzige Nullstelle von
.
Zeige, dass
-
eine Nullstelle des Polynoms
-
ist.
Lösung
Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(-2+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}\right)}^{3}&=-8+19+3{\sqrt {33}}+19+3{\sqrt {33}}+etc.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1fd95674f1bc9b3ecb01dcbb2d56591a5a033f0)
Es sei
eine Nullstelle des Polynoms
-
Zeige, dass
-
ein
Eigenvektor
der Matrix
-
zum
Eigenwert
ist.
Lösung
Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\\-1&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )}}\\1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}+{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\-{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}+{\frac {1}{(1+\lambda )}}\\-{\frac {1}{(1+\lambda )}}+1\\-{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}+1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {-1+1+\lambda }{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {-1+1+\lambda }{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {-1+1+\lambda }{1+\lambda }}\\{\frac {-1+(1+\lambda )^{3}}{(1+\lambda )^{3}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {\lambda }{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {\lambda }{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {\lambda }{1+\lambda }}\\{\frac {\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+3\lambda }{(1+\lambda )^{3}}}\end{pmatrix}}\\&=\lambda {\begin{pmatrix}{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {1}{1+\lambda }}\\{\frac {\lambda ^{2}+3\lambda +3}{(1+\lambda )^{3}}}\end{pmatrix}}\\&=\lambda {\begin{pmatrix}{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {1}{1+\lambda }}\\{\frac {\lambda ^{2}+3\lambda +3}{\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+3\lambda +1}}\end{pmatrix}}\\&=\lambda {\begin{pmatrix}{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {1}{1+\lambda }}\\{\frac {\lambda ^{2}+3\lambda +3}{\lambda ^{2}+3\lambda +3}}\end{pmatrix}}\\&=\lambda {\begin{pmatrix}{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {1}{1+\lambda }}\\1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d4abea120a2046ec329479e7323b5207f730ef)
Lösung
- Es ist
-
![{\displaystyle {}P+{\overrightarrow {PP}}=P+0=P\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0975c5569b72c5e5b849da5f3f3e94d0956653)
- Es ist
-
![{\displaystyle {}P+{\overrightarrow {PP}}+{\overrightarrow {PQ}}-{\overrightarrow {PQ}}=P+0=P\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6a9b620e76abd7befe2ab2a70ab4555b25ec21)
- Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}P+{\overrightarrow {P,P+v}}-{\overrightarrow {P,Q+v}}+{\overrightarrow {PQ}}&=P+v+{\overrightarrow {Q+v,P}}+{\overrightarrow {PQ}}\\&=P+v+{\overrightarrow {Q+v,Q}}\\&=P+v-v\\&=P.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f80ed2ae9917cf9760ceb2845cdfcf619e4138)
Lösung
Es sei
ein Punkt, von dem aus wir die baryzentrischen Kombinationen interpretieren. Dann ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}P-Q+\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}&=R+{\overrightarrow {RP}}-{\overrightarrow {RQ}}+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {RP_{i}}}\\&=R+{\overrightarrow {RP}}+{\overrightarrow {QR}}+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {RP_{i}}}\\&=R+{\overrightarrow {QP}}+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {RP_{i}}}\\&={\overrightarrow {QP}}+{\left(R+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {RP_{i}}}\right)}\\&={\overrightarrow {QP}}+{\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dedb4e380203c868fc48bb5409eaa246ada69d18)
Lösung
Lösung
Es sei
eine baryzentrische Kombination der Punkte
, also mit
-
![{\displaystyle {}\sum _{i\in I}c_{i}=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3442068df7b388b0c0def17007b5e092a7ef77a0)
Der dadurch gegebene Punkt ist einfach durch die reelle Addition gegeben. Es ist daher
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\psi {\left(\sum _{i\in I}c_{i}x_{i}\right)}&=a{\left(\sum _{i\in I}c_{i}x_{i}\right)}+b\\&=\sum _{i\in I}ac_{i}x_{i}+b\\&=\sum _{i\in I}ac_{i}x_{i}+{\left(\sum _{i\in I}c_{i}\right)}b\\&=\sum _{i\in I}c_{i}{\left(ax_{i}+b\right)}\\&=\sum _{i\in I}c_{i}\psi (x_{i}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff931ae08a93d9e2177eec0e5c2e9f7efc3573f5)
was die Verträglichkeit mit den baryzentrischen Kombinationen bedeutet.
Formuliere und beweise einen Festlegungssatz für
affin-lineare
Abbildungen.
Lösung
Es seien
und
affine Räume,
es sei
eine
affine Basis
von
und seien
Punkte.
Dann gibt es genau eine
affin-lineare
Abbildung
-
mit
für
.
Es seien
bzw.
die den affinen Räumen zugrunde liegenden Vektorräume. Nach Voraussetzung ist
eine
Basis
von
. Es gibt somit
nach dem Festlegungssatz für lineare Abbildungen
eine eindeutig bestimmte
lineare Abbildung
-
mit
-
![{\displaystyle {}\varphi {\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}={\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f963d07215a3015bfb0c2ff0807944c91627689)
für alle
.
Jeder Punkt
besitzt eine eindeutige Darstellung
-
![{\displaystyle {}P=P_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a107b2bc8e2fbf7788d64edb2ae17daa1d3e2b6e)
Somit ist
-
![{\displaystyle {}\psi (P):=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}\varphi {\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ec6096d473495e439b59fe38f355b69533db01)
eine wohldefinierte Abbildung von
nach
gegeben. Wegen
-
![{\displaystyle {}P_{i}=P_{1}+{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15eb93316090c701ac167ea86f5dd4647997d753)
ist
-
![{\displaystyle {}\psi {\left(P_{i}\right)}=Q_{1}+{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}=Q_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8523679bd2a1c57027ea683ff9e288ec305948fe)
(auch für
).
Wegen
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\psi (P+v)&=\psi {\left(P_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}\\&=\psi {\left(P_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(b_{i}+c_{i}\right)}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}\\&=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(b_{i}+c_{i}\right)}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\\&=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\\&=\psi (P)+\varphi (v)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af304bea8e6ef9e42e46b5fbe9999f15d85bb22d)
liegt in der Tat eine affine Abbildung vor. Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass aus
-
![{\displaystyle {}\psi (P_{i})=Q_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47521bc9381c7d4686970bada84189cde73af00b)
für den linearen Anteil
-
![{\displaystyle {}\psi _{0}{\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}={\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9cf2a5d20802b53f99c85ad503fe03a9142968d)
gelten muss und eine affine Abbildung durch den linearen Anteil und den Bildpunkt eines Punktes eindeutig festgelegt ist.
Beschreibe typische Problemstellungen, die unter den Begriff Dreisatz fallen, durch geeignete Beispiele.
Lösung Dreisatz/Problemstellung/Aufgabe/Lösung