Kurs:Lineare Algebra/Teil I/31/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	4	1	3	3	1	3	2	0	5	0	5	4	0	2	3	0	8	50

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die leere Menge.
2. Eine injektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

3. Der Spaltenrang einer ${}m\times n$- Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
4. Der Polynomring über einem Körper ${}K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
5. Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert ${}\lambda$ zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

6. Eine Fahne in einem ${}n$- dimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

1. Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
2. Die Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,y\in L$ auch ${}f(x)$ und ${}f(y)$ verschieden sind.

3. Man nennt die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von ${}K^{m}$ den (Spalten-)Rang der Matrix ${}M$.
4. Der Polynomring über einem Körper ${}K$ besteht aus allen Polynomen

   ${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

   mit ${}a_{i}\in K$, ${}n\in \mathbb {N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

   ${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

   definiert ist.

5. Man nennt

   $\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$

   die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts.

6. Eine Kette von Untervektorräumen

   $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V$

   heißt eine Fahne in ${}V$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
2. Der Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
3. Der Satz über die Charakterisierung einer diagonalisierbaren Abbildung.

Lösung

1. Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems

   ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

   über einem Körper ${}K$ ist ein Untervektorraum des ${}K^{n}$

   (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
2. Sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$. Es sei ${}k={\#\left(F\right)}$ die Anzahl der Fehlstände von ${}\pi$. Dann ist das Signum von ${}\pi$ gleich

   ${}\operatorname {sgn} (\pi )=(-1)^{k}\,.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

   1. ${}\varphi$ ist diagonalisierbar.
   2. Es gibt eine Basis ${}{\mathfrak {v}}$ von ${}V$ derart, dass die beschreibende Matrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ eine Diagonalmatrix ist.
   3. Für jede beschreibende Matrix ${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {w}}(\varphi )$ bezüglich einer Basis ${}{\mathfrak {w}}$ gibt es eine invertierbare Matrix ${}B$ derart, dass

      $BMB^{-1}$

      eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Folgende Aussagen seien bekannt.

1. Der frühe Vogel fängt den Wurm.
2. Doro wird nicht von Lilly gefangen.
3. Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
4. Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
5. Doro ist ein Wurm.
6. Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
7. Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

1. Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
2. Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
3. Fängt der späte Igel den Wurm?

Lösung

1. Lilly ist ein Igel. Beweis durch Widerspruch. Nehmen wir an, dass Lilly kein Igel ist. Dann ist sie nach (3) ein Vogel. Da Lilly nach (7) um ${}5$ Uhr schon unterwegs ist, ist nach (6) Lilly ein früher Vogel. Nach (1) fängt Lilly also den Wurm. Da nach (5) Doro ein Wurm ist, wird er von Lilly gefangen im Widerspruch zu (2).
2. Nach dem ersten Teil ist Lilly ein Igel, und nach (7) steht sie um 5 Uhr auf. Dies ist nach (4) für Igel spät, Lilly ist also ein später Igel und somit ein spätes Tier.
3. Da nach dem zweiten Teil Lilly ein später Igel ist und sie nach (2) Doro, die nach (5) ein Wurm ist, nicht fängt, fängt der späte Igel im Allgemeinen nicht den Wurm.

Aufgabe (1 Punkt)

In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt „Bitte nicht gleichzeitig sprechen“. Bringe diese Aussage mit dem Konzept von disjunkten Mengen in Verbindung.

Lösung

Die Forderung von Frau Maier-Sengupta bedeutet, das die Sprechzeiten der Kinder paarweise disjunkt sein sollen.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
${}\varphi (x)$	${}1$	${}5$	${}2$	${}5$	${}4$	${}7$	${}4$

gegebene Abbildung

$\varphi \colon \{1,2,3,4,5,6,7\}\longrightarrow \{1,2,3,4,5,6,7\}.$

a) Bestimme das Bild von ${}\{5,6,7\}$ unter ${}\varphi$.

b) Bestimme das Urbild von ${}\{1,2,3,4\}$ unter ${}\varphi$.

c) Erstelle eine Wertetabelle für

${}\varphi ^{3}=\varphi \circ \varphi \circ \varphi \,.$

Lösung

a) Das Bild von ${}\{5,6,7\}$ ist ${}\{4,7\}$.

b) Das Urbild von ${}\{1,2,3,4\}$ ist ${}\{1,3,5,7\}$.

c)

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
${}\varphi (x)$	${}1$	${}5$	${}4$	${}5$	${}4$	${}5$	${}4$

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper ${}K$.

Lösung

 Nehmen wir an, dass ${}a$ und ${}b$ beide von ${}0$ verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente ${}a^{-1}$ und ${}b^{-1}$ und daher ist ${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=1$. Andererseits ist aber nach Voraussetzung ${}ab=0$ und daher ist nach Lemma 3.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (1)

${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0{\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0\,,$

 sodass sich der Widerspruch

${}0=1$ ergibt.

Aufgabe (1 Punkt)

Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.

Lösung

Die Standardbasis ${}e_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, besteht aus ${}n$ Vektoren, also ist die Dimension ${}n$.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe typische Problemstellungen, die unter den Begriff Dreisatz fallen, durch geeignete Beispiele.

Lösung Dreisatz/Problemstellung/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi \colon U\rightarrow V{\text{ und }}\psi \colon V\rightarrow W$

lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung

$\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung ist.

Lösung

Für ${}u_{1},u_{2}\in U$ ist

${}{\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(u_{1}+u_{2})&=\psi (\varphi (u_{1}+u_{2}))\\&=\psi (\varphi (u_{1})+\varphi (u_{2}))\\&=\psi (\varphi (u_{1}))+\psi (\varphi (u_{2}))\\&=(\psi \circ \varphi )(u_{1})+(\psi \circ \varphi )(u_{2})\end{aligned}}$

und für ${}u\in U$, ${}s\in K$ ist

${}{\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(su)&=\psi (\varphi (su))\\&=\psi (s\varphi (u))\\&=s\psi (\varphi (u))\\&=s(\psi \circ \varphi )(u),\end{aligned}}$

was insgesamt die Linearität der Hintereinanderschaltung bedeutet.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Cramersche Regel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.

Lösung

Für eine invertierbare Matrix ${}M$ ergibt sich die Lösung für das lineare Gleichungssystem ${}Mx=c$, indem man ${}M^{-1}$ anwendet, d.h. es ist ${}x=M^{-1}c$. Unter Verwendung von Satz 17.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) bedeutet dies ${}x={\frac {1}{\det M}}(M^{\operatorname {adj} })c$. Für die ${}j$-te Komponente bedeutet dies

${}x_{j}={\frac {1}{\det M}}{\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+j}(\det M_{kj})\cdot c_{k}\right)}\,.$

Der rechte Faktor ist dabei die Entwicklung der Determinante der Matrix im Zähler nach der ${}j$-ten Spalte.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

1. Es sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom über einem Körper ${}K$ der Form

   ${}F=aX^{n}\,$

   mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}a\neq 0$. Zeige, dass ${}F$ die ${}0$ als einzige Nullstelle besitzt.

2. Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom mit der Eigenschaft, dass ${}0$ die einzige komplexe Nullstelle von ${}F$ ist. Zeige, dass ${}F$ die Form

   ${}F=aX^{n}\,$

   mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}a\neq 0$ hat.

3. Man gebe ein Beispiel für ein reelles Polynom ${}F\in \mathbb {R} [X]$ mit der Eigenschaft, dass ${}0$ die einzige reelle Nullstelle von ${}F$ ist, dass ${}F$ aber nicht die Gestalt aus Teil (1) besitzt.

Lösung

1. Die angegebenen Polynome haben die gewünschte Eigenschaft über jedem Körper nach Fakt *****. Aus ${}ax^{n}=0$ folgt zunächst ${}x^{n}=0$ und daraus ${}x=0$.
2. Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom mit der angegebenen Nullstelleneigenschaft. Wenn ${}F$ konstant ist, so besitzt ${}F$ bei ${}F=0$ jedes Element als Nullstelle und bei ${}F=c\neq 0$ überhaupt keine Nullstelle. Der Grad von ${}F$ muss also zumindest ${}1$ sein. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt ${}F$ eine Faktorzerlegung

   ${}F=a(X-b_{1})\cdots (X-b_{n})\,$

   mit ${}a,b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathbb {C} },\,a\neq 0$. Die ${}b_{i}$ sind die Nullstellen von ${}F$. Da diese alle ${}0$ sein sollen, ist

   ${}F=aX^{n}\,.$

3. Wir betrachten

   ${}F=X^{3}+X=X{\left(X^{2}+1\right)}\,,$

   das nicht die Form aus Teil (1) besitzt. Eine Nullstelle dieses Polynoms ist die Nullstelle eines Faktors. Das Polynom ${}X^{2}+1$ ist reell immer positiv und somit nullstellenfrei, also ist ${}0$ die einzige Nullstelle von ${}F$.

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]_{\leq d}$ der ${}K$- Vektorraum aller Polynome vom Grad ${}\leq d$. Zu ${}z\in K$ bezeichne ${}\operatorname {Ev} _{z}$ die Auswertung an ${}z$, also die Abbildung

$\operatorname {Ev} _{z}\colon K[X]_{\leq d}\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(z).$

a) Zeige, dass ${}\operatorname {Ev} _{z}$ linear ist.

b) Es sei

${}M={\left\{\operatorname {Ev} _{z}\mid z\in K\right\}}\subseteq {\left(K[X]_{\leq d}\right)}^{*}\,.$

Zeige, dass ${}M$ keines der Untervektorraumaxiome erfüllt.

Lösung

a) Für Polynome ${}P,Q\in K[X]_{\leq d}$ und Skalare ${}r,s\in K$ und ${}z\in K$ ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {Ev} _{z}(rP+sQ)&=(rP+sQ)(z)\\&=rP(z)+sQ(z)\\&=r\operatorname {Ev} _{z}(P)+s\operatorname {Ev} _{z}(Q),\end{aligned}}$

was die Linearität bedeutet.

b) Die Nullform lässt sich nicht als Auswertung realisieren, da ${}\operatorname {Ev} _{z}$ am Polynom ${}X-z+1$ nicht den Wert ${}0$ besitzt. Daher sind wegen

${}0\cdot \operatorname {Ev} _{z}=0\,$

die Auswertungen auch nicht abgeschlossen unter skalarer Multiplikation. Die Auswertungen sind auch nicht abgeschlossen unter der Addition. Die Auswertung an der ${}0$ ergibt den konstanten Term des Polynoms, das Doppelte davon also das Doppelte des konstanten Terms. Wenn dies gleich einer Auswertung ${}\operatorname {Ev} _{w}$ wäre, so müsste

${}\operatorname {Ev} _{w}(X)=w=0\,$

und auch

${}\operatorname {Ev} _{w}(X+1)=w+1=2\,$

sein, was nicht sein kann.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}2\times 2$- Matrix. Zeige

${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}=1+\det \left(M\right)-\det \left(E_{2}-M\right)\,.$

Lösung

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}1+\det \left(M\right)-\det \left(E_{2}-M\right)&=1+\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}-\det {\begin{pmatrix}1-a&-b\\-c&1-d\end{pmatrix}}\\&=1+ad-bc-((1-a)(1-d)-bc)\\&=1+ad-bc-(1-a-d+ad-bc)\\&=a+d\\&=\operatorname {Spur} {\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right)}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\\-1&0&0&1\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme das charakteristische Polynom von ${}M$.
2. Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von ${}M$ und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus.
3. Begründe, dass das charakteristische Polynom von ${}M$ zumindest zwei reelle Nullstellen hat.

Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\begin{pmatrix}X+1&-1&0&0\\0&X+1&-1&0\\0&0&X+1&-1\\1&0&0&X-1\end{pmatrix}}\\&=(X+1)^{3}(X-1)+1\\&=(X^{2}+2X+1)(X^{2}-1)+1\\&=X^{4}+2X^{3}+X^{2}-X^{2}-2X-1+1\\&=X^{4}+2X^{3}-2X.\end{aligned}}$

2. Es ist ${}0$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und es ist

   ${}X^{4}+2X^{3}-2X=X(X^{3}+2X^{2}-2)\,.$

3. Die Nullstelle ${}0$ haben wir bereits gefunden. Wir betrachten den zweiten Faktor ${}X^{3}+2X^{2}-2$. Da es sich um ein Polynom ungeraden Grades handelt, muss es eine reelle Nullstelle besitzen. Da ${}0$ keine Nullstelle davon ist, gibt es also eine weitere reelle Nullstelle.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (8 Punkte)

Formuliere und beweise einen Festlegungssatz für affin-lineare Abbildungen.

Lösung

Es seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume, es sei ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in E$ eine affine Basis von ${}E$ und seien ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in F$ Punkte.

Dann gibt es genau eine affin-lineare Abbildung

$\psi \colon E\longrightarrow F$

mit ${}\psi (P_{i})=Q_{i}$ für ${}i=1,\ldots ,n$.

Es seien ${}V$ bzw. ${}W$ die den affinen Räumen zugrunde liegenden Vektorräume. Nach Voraussetzung ist ${}{\overrightarrow {P_{1}P_{2}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{1}P_{n}}}$ eine Basis von ${}V$. Es gibt somit nach dem Festlegungssatz für lineare Abbildungen eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

mit

${}\varphi {\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}={\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,$

für alle ${}i=1,\ldots ,n$. Jeder Punkt ${}P\in E$ besitzt eine eindeutige Darstellung

${}P=P_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\,.$

Somit ist

${}\psi (P):=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}\varphi {\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,$

eine wohldefinierte Abbildung von ${}E$ nach ${}F$ gegeben. Wegen

${}P_{i}=P_{1}+{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\,$

ist

${}\psi {\left(P_{i}\right)}=Q_{1}+{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}=Q_{i}\,$

(auch für ${}P_{1}$). Wegen

${}{\begin{aligned}\psi (P+v)&=\psi {\left(P_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}\\&=\psi {\left(P_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(b_{i}+c_{i}\right)}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}\\&=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(b_{i}+c_{i}\right)}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\\&=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\\&=\psi (P)+\varphi (v)\end{aligned}}$

liegt in der Tat eine affine Abbildung vor. Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass aus

${}\psi (P_{i})=Q_{i}\,$

für den linearen Anteil

${}\psi _{0}{\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}={\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,$

gelten muss und eine affine Abbildung durch den linearen Anteil und den Bildpunkt eines Punktes eindeutig festgelegt ist.