Kurs:Lineare Algebra/Teil I/31/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	4	1	3	2	3	3	5	4	4	3	3	3	3	8	3	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

   $F\colon L\longrightarrow M$

   und

   $G\colon M\longrightarrow N.$

2. Ein Isomorphismus zwischen ${}K$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.
3. Der Spaltenrang einer ${}m\times n$- Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
4. Der Dualraum zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
5. Die adjungierte Matrix zu einer quadratischen Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.
6. Eine Fahne in einem ${}n$- dimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

1. Die Abbildung

   $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$

   heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$.

2. Ein Isomorphismus zwischen ${}V$ und ${}W$ ist eine bijektive lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W.$

3. Man nennt die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von ${}K^{m}$ den (Spalten-)Rang der Matrix ${}M$.
4. Unter dem Dualraum zu ${}V$ versteht man den Homomorphismenraum

   ${}{V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,.$

5. Die Matrix

   $M^{\operatorname {adj} }=(b_{ij}){\text{ mit }}b_{ij}=(-1)^{i+j}\det M_{ji},$

   wobei ${}M_{ji}$ die Restmatrix zur ${}j$-ten Zeile und zur ${}i$-ten Spalte ist, heißt die adjungierte Matrix von ${}M$.

6. Eine Kette von Untervektorräumen

   $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V$

   heißt eine Fahne in ${}V$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
2. Der Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
3. Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von ${}V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
2. Sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$. Es sei ${}k={\#\left(F\right)}$ die Anzahl der Fehlstände von ${}\pi$. Dann ist das Signum von ${}\pi$ gleich

   ${}\operatorname {sgn} (\pi )=(-1)^{k}\,.$

3. Sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   ein trigonalisierbarer ${}K$-Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$. Dann gibt es eine Zerlegung

   ${}\varphi =\varphi _{\rm {diag}}+\varphi _{\rm {nil}}\,,$

   wobei ${}\varphi _{\rm {diag}}$ diagonalisierbar, ${}\varphi _{\rm {nil}}$ nilpotent und zusätzlich

   ${}\varphi _{\rm {diag}}\circ \varphi _{\rm {nil}}=\varphi _{\rm {nil}}\circ \varphi _{\rm {diag}}\,$

   gilt.

Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Folgende Aussagen seien bekannt.

1. Der frühe Vogel fängt den Wurm.
2. Doro wird nicht von Lilly gefangen.
3. Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
4. Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
5. Doro ist ein Wurm.
6. Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
7. Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

1. Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
2. Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
3. Fängt der späte Igel den Wurm?

Lösung

1. Lilly ist ein Igel. Beweis durch Widerspruch. Nehmen wir an, dass Lilly kein Igel ist. Dann ist sie nach (3) ein Vogel. Da Lilly nach (7) um ${}5$ Uhr schon unterwegs ist, ist nach (6) Lilly ein früher Vogel. Nach (1) fängt Lilly also den Wurm. Da nach (5) Doro ein Wurm ist, wird er von Lilly gefangen im Widerspruch zu (2).
2. Nach dem ersten Teil ist Lilly ein Igel, und nach (7) steht sie um 5 Uhr auf. Dies ist nach (4) für Igel spät, Lilly ist also ein später Igel und somit ein spätes Tier.
3. Da nach dem zweiten Teil Lilly ein später Igel ist und sie nach (2) Doro, die nach (5) ein Wurm ist, nicht fängt, fängt der späte Igel im Allgemeinen nicht den Wurm.

Aufgabe (2 Punkte)

${}E$ wurde ermordet. Es gelten folgende Sachverhalte.

1. Der Mörder ist ${}A$ oder ${}B$ oder ${}C$ oder ${}D$.
2. Wenn ${}C$ der Mörder ist, dann ist ${}D$ nicht der Mörder oder ${}A$ ist der Mörder.
3. ${}A,B,C,D$ sind alle verschieden.
4. Es gibt genau einen Mörder.
5. Wenn ${}A$ nicht der Mörder ist, dann ist ${}D$ nicht der Mörder.
6. ${}A$ ist genau dann der Mörder, wenn ${}B$ der Mörder ist.

Wer ist der Mörder?

Lösung

Aus (6), (3) und (4) folgt, dass ${}A$ und ${}B$ beide nicht der Mörder sind, denn sonst wären beide der Mörder. Nach (5) ist somit auch ${}D$ nicht der Mörder. Wegen (1) muss also ${}C$ der Mörder sein. ((2) wird nicht verwendet.)

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und seien ${}A\subseteq M$ und ${}B\subseteq N$ Teilmengen. Zeige die Gleichheit

${}{\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}=A\times B\,.$

Lösung

Wir zeigen die beiden Inklusionen. Es sei zunächst

${}(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}\,.$

Dies bedeutet

${}(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\,$

und

${}(x,y)\in {\left(M\times B\right)}\,.$

Dies bedeutet einerseits ${}x\in A$ und andererseits ${}y\in B$. Also ist ${}(x,y)\in A\times B$.

Wenn umgekehrt ${}(x,y)\in A\times B$ gilt, so ist ${}x\in A$ und ${}y\in B$. Wegen der Teilmengenbeziehungen ${}A\subseteq M$ und ${}B\subseteq N$ ist

${}(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\,$

und

${}(x,y)\in {\left(M\times B\right)}\,$

und damit auch

${}(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}\,.$

Aufgabe (1 Punkt)

In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt „Bitte nicht gleichzeitig sprechen“. Bringe diese Aussage mit dem Konzept von disjunkten Mengen in Verbindung.

Lösung

Die Forderung von Frau Maier-Sengupta bedeutet, das die Sprechzeiten der Kinder paarweise disjunkt sein sollen.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
${}\varphi (x)$	${}1$	${}5$	${}2$	${}5$	${}4$	${}7$	${}4$

gegebene Abbildung

$\varphi \colon \{1,2,3,4,5,6,7\}\longrightarrow \{1,2,3,4,5,6,7\}.$

a) Bestimme das Bild von ${}\{5,6,7\}$ unter ${}\varphi$.

b) Bestimme das Urbild von ${}\{1,2,3,4\}$ unter ${}\varphi$.

c) Erstelle eine Wertetabelle für

${}\varphi ^{3}=\varphi \circ \varphi \circ \varphi \,.$

Lösung

a) Das Bild von ${}\{5,6,7\}$ ist ${}\{4,7\}$.

b) Das Urbild von ${}\{1,2,3,4\}$ ist ${}\{1,3,5,7\}$.

c)

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
${}\varphi (x)$	${}1$	${}5$	${}4$	${}5$	${}4$	${}5$	${}4$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}2\times 2$- Matrix. Zeige

${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}=1+\det \left(M\right)-\det \left(E_{2}-M\right)\,.$

Lösung

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}1+\det \left(M\right)-\det \left(E_{2}-M\right)&=1+\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}-\det {\begin{pmatrix}1-a&-b\\-c&1-d\end{pmatrix}}\\&=1+ad-bc-((1-a)(1-d)-bc)\\&=1+ad-bc-(1-a-d+ad-bc)\\&=a+d\\&=\operatorname {Spur} {\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right)}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten die lineare Gleichung

${}4x-9y=5\,,$

es sei ${}L$ die Lösungsmenge.

1. Zeige, dass ${}P={\begin{pmatrix}35\\15\end{pmatrix}}$ und ${}Q={\begin{pmatrix}2\\{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$ affin-unabhängige Punkte von ${}L$ sind.
2. Bestimme die baryzentrischen Koordinaten von

   ${}R={\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}\\1\end{pmatrix}}\in L\,$

   bezüglich ${}P$ und ${}Q$.

Lösung

1. Es sind offenbar Punkte von ${}L$, und da sie verschieden sind, sind sie affin-unabhängig.
2. Es ist

   ${}{\overrightarrow {PQ}}={\begin{pmatrix}2\\{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}35\\15\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-33\\-{\frac {44}{3}}\end{pmatrix}}\,$

   und

   ${}{\overrightarrow {PR}}={\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}35\\15\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {63}{2}}\\-14\end{pmatrix}}\,.$

   Somit ist

   ${}{\overrightarrow {PR}}={\begin{pmatrix}-{\frac {63}{2}}\\-14\end{pmatrix}}={\frac {21}{22}}{\begin{pmatrix}-33\\-{\frac {44}{3}}\end{pmatrix}}={\frac {21}{22}}{\overrightarrow {PQ}}\,$

   Also sind die baryzentrischen Koordinaten von ${}R=P+{\frac {21}{22}}{\overrightarrow {PQ}}$ nach Fakt ***** gleich

   ${\frac {1}{22}}P+{\frac {21}{22}}Q.$

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\\-1&0&0&1\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme das charakteristische Polynom von ${}M$.
2. Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von ${}M$ und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus.
3. Begründe, dass das charakteristische Polynom von ${}M$ zumindest zwei reelle Nullstellen hat.

Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\begin{pmatrix}X+1&-1&0&0\\0&X+1&-1&0\\0&0&X+1&-1\\1&0&0&X-1\end{pmatrix}}\\&=(X+1)^{3}(X-1)+1\\&=(X^{2}+2X+1)(X^{2}-1)+1\\&=X^{4}+2X^{3}+X^{2}-X^{2}-2X-1+1\\&=X^{4}+2X^{3}-2X.\end{aligned}}$

2. Es ist ${}0$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und es ist

   ${}X^{4}+2X^{3}-2X=X(X^{3}+2X^{2}-2)\,.$

3. Die Nullstelle ${}0$ haben wir bereits gefunden. Wir betrachten den zweiten Faktor ${}X^{3}+2X^{2}-2$. Da es sich um ein Polynom ungeraden Grades handelt, muss es eine reelle Nullstelle besitzen. Da ${}0$ keine Nullstelle davon ist, gibt es also eine weitere reelle Nullstelle.

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

1. Es sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom über einem Körper ${}K$ der Form

   ${}F=aX^{n}\,$

   mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}a\neq 0$. Zeige, dass ${}F$ die ${}0$ als einzige Nullstelle besitzt.

2. Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom mit der Eigenschaft, dass ${}0$ die einzige komplexe Nullstelle von ${}F$ ist. Zeige, dass ${}F$ die Form

   ${}F=aX^{n}\,$

   mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}a\neq 0$ hat.

3. Man gebe ein Beispiel für ein reelles Polynom ${}F\in \mathbb {R} [X]$ mit der Eigenschaft, dass ${}0$ die einzige reelle Nullstelle von ${}F$ ist, dass ${}F$ aber nicht die Gestalt aus Teil (1) besitzt.

Lösung

1. Die angegebenen Polynome haben die gewünschte Eigenschaft über jedem Körper nach Fakt *****. Aus ${}ax^{n}=0$ folgt zunächst ${}x^{n}=0$ und daraus ${}x=0$.
2. Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom mit der angegebenen Nullstelleneigenschaft. Wenn ${}F$ konstant ist, so besitzt ${}F$ bei ${}F=0$ jedes Element als Nullstelle und bei ${}F=c\neq 0$ überhaupt keine Nullstelle. Der Grad von ${}F$ muss also zumindest ${}1$ sein. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt ${}F$ eine Faktorzerlegung

   ${}F=a(X-b_{1})\cdots (X-b_{n})\,$

   mit ${}a,b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathbb {C} },\,a\neq 0$. Die ${}b_{i}$ sind die Nullstellen von ${}F$. Da diese alle ${}0$ sein sollen, ist

   ${}F=aX^{n}\,.$

3. Wir betrachten

   ${}F=X^{3}+X=X{\left(X^{2}+1\right)}\,,$

   das nicht die Form aus Teil (1) besitzt. Eine Nullstelle dieses Polynoms ist die Nullstelle eines Faktors. Das Polynom ${}X^{2}+1$ ist reell immer positiv und somit nullstellenfrei, also ist ${}0$ die einzige Nullstelle von ${}F$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass

$-{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^{3}+2X^{2}-2$

ist.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(-2+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}\right)}^{3}&=-8+19+3{\sqrt {33}}+19+3{\sqrt {33}}+etc.\\\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\lambda$ eine Nullstelle des Polynoms

$X^{3}+2X^{2}-2.$

Zeige, dass

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )}}\\1\end{pmatrix}}$

ein Eigenvektor der Matrix

${\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\\-1&0&0&1\end{pmatrix}}$

zum Eigenwert ${}\lambda$ ist.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\\-1&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )}}\\1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}+{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\-{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}+{\frac {1}{(1+\lambda )}}\\-{\frac {1}{(1+\lambda )}}+1\\-{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}+1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {-1+1+\lambda }{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {-1+1+\lambda }{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {-1+1+\lambda }{1+\lambda }}\\{\frac {-1+(1+\lambda )^{3}}{(1+\lambda )^{3}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {\lambda }{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {\lambda }{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {\lambda }{1+\lambda }}\\{\frac {\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+3\lambda }{(1+\lambda )^{3}}}\end{pmatrix}}\\&=\lambda {\begin{pmatrix}{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {1}{1+\lambda }}\\{\frac {\lambda ^{2}+3\lambda +3}{(1+\lambda )^{3}}}\end{pmatrix}}\\&=\lambda {\begin{pmatrix}{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {1}{1+\lambda }}\\{\frac {\lambda ^{2}+3\lambda +3}{\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+3\lambda +1}}\end{pmatrix}}\\&=\lambda {\begin{pmatrix}{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {1}{1+\lambda }}\\{\frac {\lambda ^{2}+3\lambda +3}{\lambda ^{2}+3\lambda +3}}\end{pmatrix}}\\&=\lambda {\begin{pmatrix}{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {1}{1+\lambda }}\\1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ${}P$ ein Punkt in einem affinen Raum ${}E$ über ${}V$. Zeige, dass die folgenden Ausdrücke baryzentrische Kombinationen für ${}P$ sind (es sei ${}Q\in E$ und ${}v\in V$).

1. ${}P$.
2. ${}P+Q-Q$.
3. ${}(P+v)-(Q+v)+Q$.

Lösung

1. Es ist

   ${}P+{\overrightarrow {PP}}=P+0=P\,.$

2. Es ist

   ${}P+{\overrightarrow {PP}}+{\overrightarrow {PQ}}-{\overrightarrow {PQ}}=P+0=P\,.$

3. Es ist

   ${}{\begin{aligned}P+{\overrightarrow {P,P+v}}-{\overrightarrow {P,Q+v}}+{\overrightarrow {PQ}}&=P+v+{\overrightarrow {Q+v,P}}+{\overrightarrow {PQ}}\\&=P+v+{\overrightarrow {Q+v,Q}}\\&=P+v-v\\&=P.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Es seien ${}P_{i}$, ${}i\in I$, und ${}P,Q$ Punkte in ${}E$ und ${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ eine baryzentrische Kombination. Zeige, dass

${}P-Q+\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}={\overrightarrow {QP}}+{\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}\,,$

wobei der linke Ausdruck als baryzentrische Kombination zu lesen ist.

Lösung

Es sei ${}R\in E$ ein Punkt, von dem aus wir die baryzentrischen Kombinationen interpretieren. Dann ist

${}{\begin{aligned}P-Q+\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}&=R+{\overrightarrow {RP}}-{\overrightarrow {RQ}}+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {RP_{i}}}\\&=R+{\overrightarrow {RP}}+{\overrightarrow {QR}}+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {RP_{i}}}\\&=R+{\overrightarrow {QP}}+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {RP_{i}}}\\&={\overrightarrow {QP}}+{\left(R+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {RP_{i}}}\right)}\\&={\overrightarrow {QP}}+{\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über den Vektorräumen ${}V$ bzw. ${}W$. Es sei eine Abbildung

$\psi \colon E\longrightarrow F,$

eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

und ein Punkt ${}P\in E$ derart gegeben, dass

${}\psi (P+v)=\psi (P)+\varphi (v)\,$

für alle ${}v\in V$ gibt. Zeige, dass ${}\psi$ affin-linear ist.

Lösung

Es seien ${}Q\in E$ und ${}u\in V$ beliebig. Es ist

${}Q=P+w\,$

mit ${}w\in V$. Damit ist

${}{\begin{aligned}\psi (Q+u)&=\psi ((P+w)+u)\\&=\psi (P+(w+u))\\&=\psi (P)+\varphi (w+u)\\&=\psi (P)+\varphi (w)+\varphi (u)\\&=\psi (P+w)+\varphi (u)\\&=\psi (Q)+\varphi (u).\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Abbildung mit

${}\psi (x)=ax+b\,$

für gewisse ${}a,b\in \mathbb {R}$. Zeige direkt, dass ${}\psi$ mit baryzentrischen Kombinationen verträglich ist.

Lösung

Es sei ${}\sum _{i\in I}c_{i}x_{i}$ eine baryzentrische Kombination der Punkte ${}x_{i}\in \mathbb {R}$, also mit

${}\sum _{i\in I}c_{i}=1\,.$

Der dadurch gegebene Punkt ist einfach durch die reelle Addition gegeben. Es ist daher

${}{\begin{aligned}\psi {\left(\sum _{i\in I}c_{i}x_{i}\right)}&=a{\left(\sum _{i\in I}c_{i}x_{i}\right)}+b\\&=\sum _{i\in I}ac_{i}x_{i}+b\\&=\sum _{i\in I}ac_{i}x_{i}+{\left(\sum _{i\in I}c_{i}\right)}b\\&=\sum _{i\in I}c_{i}{\left(ax_{i}+b\right)}\\&=\sum _{i\in I}c_{i}\psi (x_{i}),\end{aligned}}$

was die Verträglichkeit mit den baryzentrischen Kombinationen bedeutet.

Aufgabe (8 Punkte)

Formuliere und beweise einen Festlegungssatz für affin-lineare Abbildungen.

Lösung

Es seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume, es sei ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in E$ eine affine Basis von ${}E$ und seien ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in F$ Punkte.

Dann gibt es genau eine affin-lineare Abbildung

$\psi \colon E\longrightarrow F$

mit ${}\psi (P_{i})=Q_{i}$ für ${}i=1,\ldots ,n$.

Es seien ${}V$ bzw. ${}W$ die den affinen Räumen zugrunde liegenden Vektorräume. Nach Voraussetzung ist ${}{\overrightarrow {P_{1}P_{2}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{1}P_{n}}}$ eine Basis von ${}V$. Es gibt somit nach dem Festlegungssatz für lineare Abbildungen eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

mit

${}\varphi {\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}={\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,$

für alle ${}i=1,\ldots ,n$. Jeder Punkt ${}P\in E$ besitzt eine eindeutige Darstellung

${}P=P_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\,.$

Somit ist

${}\psi (P):=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}\varphi {\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,$

eine wohldefinierte Abbildung von ${}E$ nach ${}F$ gegeben. Wegen

${}P_{i}=P_{1}+{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\,$

ist

${}\psi {\left(P_{i}\right)}=Q_{1}+{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}=Q_{i}\,$

(auch für ${}P_{1}$). Wegen

${}{\begin{aligned}\psi (P+v)&=\psi {\left(P_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}\\&=\psi {\left(P_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(b_{i}+c_{i}\right)}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}\\&=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(b_{i}+c_{i}\right)}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\\&=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\\&=\psi (P)+\varphi (v)\end{aligned}}$

liegt in der Tat eine affine Abbildung vor. Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass aus

${}\psi (P_{i})=Q_{i}\,$

für den linearen Anteil

${}\psi _{0}{\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}={\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,$

gelten muss und eine affine Abbildung durch den linearen Anteil und den Bildpunkt eines Punktes eindeutig festgelegt ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe typische Problemstellungen, die unter den Begriff Dreisatz fallen, durch geeignete Beispiele.

Lösung Dreisatz/Problemstellung/Aufgabe/Lösung