Kurs:Lineare Algebra/Teil II/10/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	3	6	3	4	5	2	5	1	3	2	4	4	0	4	5	2	59

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein normierter ${}{\mathbb {K} }$ - Vektorraum und ${}E$ ein affiner Raum über ${}V$ . Zeige, dass ${}E$ durch

{}d(P,Q):=\Vert {\overrightarrow {PQ}}\Vert \,

zu einem metrischen Raum wird.

Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Matrix

{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}.

a) Zeige, dass diese Matrix (bezüglich der Standardbasis) eine eigentliche Isometrie beschreibt.

b) Bestimme einen Eigenvektor zu dieser Matrix.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}

an, deren Ordnung ${}2$ ist und die keine Isometrie ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}\alpha _{n}$ der Winkel zwischen dem ersten Standardvektor ${}e_{1}$ und dem Vektor ${}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}e_{i}$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$ . Bestimme den Grenzwert

\lim _{n\rightarrow \infty }\alpha _{n}.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$ , wobei ${}K_{1}$ den Mittelpunkt ${}(3,4)$ und den Radius ${}6$ und ${}K_{2}$ den Mittelpunkt ${}(-8,1)$ und den Radius ${}7$ besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Diskutiere, ob es sinnvoll ist, die Ecken eines Dreiecks in der Ebene immer gleichermaßen gegen den Uhrzeigersinn mit ${}A,B,C$ zu bezeichnen, insbesondere unter Berücksichtigung des Bildes rechts.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Kathetensatz vektoriell.

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Skizziere ein Viereck und eine Gerade, die jede Vierecksseite schneidet.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem reellen Vektorraum ${}V$ und einem Untervektorraum ${}U\subseteq V$ derart an, dass ${}V\neq U+U^{\perp }$ gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Züge des Springers im Schach auf einem ${}4\times 4$ -Brett. Ist es möglich, durch eine Zugfolge mit dem Springer alle Felder genau einmal zu treffen?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

\varphi \colon G\longrightarrow H.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von ${}g$ mit dem minimalen ${}d\in \mathbb {N} _{+}$ übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G

gibt, in dessen Bild das Element ${}g$ liegt.

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum. Zeige, dass die Äquivalenz von Normen auf ${}V$ eine Äquivalenzrelation ist. Auf welcher Menge „lebt“ diese Äquivalenzrelation? Wie viele Äquivalenzklassen gibt es, wenn ${}V$ endlichdimensional ist?

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

{}M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,

eine reelle quadratische Matrix mit nichtnegativen Einträgen. Zeige, dass ${}M$ genau dann spaltenstochastisch ist, wenn ${}M$ für Vektoren mit nichtnegativen Einträgen isometrisch bezüglich der Summennorm ist, wenn also

{}\Vert {Mv}\Vert _{\rm {sum}}=\Vert {v}\Vert _{\rm {sum}}\,

für alle ${}v\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{n}$ gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Vereinfache in ${}\bigwedge ^{3}\mathbb {R} ^{3}$ den Ausdruck

5e_{1}\wedge e_{2}\wedge e_{3}-4e_{2}\wedge e_{3}\wedge e_{1}+2e_{3}\wedge e_{2}\wedge e_{1}+8e_{2}\wedge e_{1}\wedge e_{3}.