Kurs:Lineare Algebra/Teil II/2/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	6	3	2	14	4	8	5	5	2	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz, dass jede eigentliche Isometrie des ${}\mathbb {R} ^{3}$ einen Eigenvektor zum Eigenwert ${}1$ besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz des Pythagoras mit Hilfe des Skalarproduktes.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Zeige, dass ${}V$ eine Orthogonalbasis besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Der ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ${}{\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {3}{2}}\end{pmatrix}}$ ein Beobachtervektor ist und bestimme die Raumkomponente dazu.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Automorphismengruppe ${}\operatorname {Aut} \,\mathbb {Z}$.

Aufgabe * (14 (3+2+2+7) Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte auf ${}\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})$ die Relation

$(a,b)\sim (c,d),\,{\text{ falls }}ad=bc{\text{ ist}}.$

a) Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem ${}(a,b)$ ein äquivalentes Paar ${}(a',b')$ mit ${}b'>0$ gibt.

c) Es sei ${}M$ die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow M,\,z\longmapsto [(z,1)].$

Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

d) Definiere auf ${}M$ (aus Teil c) eine Verknüpfung ${}+$ derart, dass ${}M$ mit dieser Verknüpfung und mit ${}[(0,1)]$ als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung ${}\varphi$ die Beziehung

${}\varphi (z_{1}+z_{2})=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,$

für alle ${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$ gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von ${}g$ mit dem minimalen ${}d\in \mathbb {N} _{+}$ übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$

gibt, in dessen Bild das Element ${}g$ liegt.

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Es sei ${}u_{i}$, ${}i\in I$, eine Basis von ${}U$ und ${}v_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Zeige, dass die Gesamtfamilie ${}u_{i},i\in I,v_{j},j\in J$, genau dann eine Basis von ${}V$ ist, wenn ${}[v_{j}]$, ${}j\in J$, eine Basis des Restklassenraumes ${}V/U$ ist.

Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}Q$ das Quadrat im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit den Eckpunkten ${}(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$.

1. Bestimme zu jeder eigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
2. Bestimme zu jeder uneigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
3. Ist die Gruppe der eigentlichen und uneigentlichen Symmetrien an diesem Quadrat kommutativ?

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}V=U\oplus W\,$

eine direkte Summenzerlegung eines endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraumes und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus mit einer direkten Summenzerlegung

${}\varphi =\psi \oplus \theta \,.$

Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann asymptotisch stabil ist, wenn sowohl ${}\psi$ als auch ${}\theta$ asymptotisch stabil sind.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne in ${}\mathbb {R} ^{3}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{2}$ das Tensorprodukt

${\begin{pmatrix}5\\-1\\2\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit dem Dualraum ${}{V}^{*}$. Zeige, dass es eine Linearform

${V}^{*}\otimes V\longrightarrow K$

gibt, die ${}f\otimes v$ auf ${}f(v)$ abbildet.