Kurs:Lineare Algebra/Teil II/8/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
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Punkte | 3 | 3 | 12 | 6 | 12 | 2 | 10 | 3 | 3 | 3 | 4 | 3 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Orthogonalbasis in einem - Vektorraum mit Skalarprodukt.
- Eine
eigentliche
Isometrie
auf einem euklidischen Vektorraum .
- Ein
normaler
Endomorphismus
auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum mit Skalarprodukt .
- Die Linksnebenklasse von in einer Gruppe bezüglich einer Untergruppe .
- Ein orientierter - Vektorraum.
- Ein
stabiler
Endomorphismus
auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Spektralsatz für komplexe Isometrien.
- Der Satz über die Untergruppen von .
- Der Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.
Aufgabe * (12 (2+2+1+1+1+5) Punkte)
Der sei mit der Maximumsnorm
versehen. Wir interessieren und für die reellen Matrizen
mit der Eigenschaft
für alle . Eine solche Matrix nennen wir -isometrisch.
- Zeige, dass eine -isometrische Matrix invertierbar ist.
- Zeige, dass die Menge der -isometrischen Matrizen eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe bildet.
- Zeige, dass eine Permutationsmatrix -isometrisch ist.
- Unter einer Vorzeichen-Permutationsmatrix verstehen wir eine Matrix, die aus einer Permutationsmatrix entsteht, indem man eintragsweise vor die jeweils ein oder ein -Zeichen setzt. Man gebe ein Beispiel für eine -Vorzeichen-Permutationsmatrix, die keine Permutationsmatrix und keine obere Dreiecksmatrix ist und deren Determinante gleich ist.
- Zeige, dass eine Vorzeichen-Permutationsmatrix -isometrisch ist.
- Zeige, dass jede -isometrische Matrix eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ist.
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren für einen endlichdimensionalen - Vektorraum mit Skalarprodukt.
Aufgabe * (12 (2+3+2+2+2+1) Punkte)
Wir betrachten das Dreieck, das durch die Eckpunkte und gegeben ist.
- Bestimme den Umfang des Dreiecks.
- Bestimme eine ganze Zahl mit der Eigenschaft, dass der Dreiecksumfang zwischen und liegt.
- Bestimme den Kosinus des Winkels des Dreiecks im Eckpunkt .
- Erstelle eine Gleichung in Parameterform für die Höhengerade durch den Eckpunkt .
- Bestimme den Höhenfußpunkt zur Höhe durch den Eckpunkt .
- Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks.
Aufgabe * (2 Punkte)
Bestimme die Matrix, die zur Matrix
die adjungierte Abbildung (bezüglich der Standardbasis) beschreibt.
Aufgabe * (10 (1+3+2+2+2) Punkte)
Es sei ein Körper und der Polynomring in der einen Variablen über . Zu einem Polynom und einer Linearform
mit bezeichnet
das Polynom, das entsteht, wenn man jedes Vorkommen von in durch ersetzt. Dieser Einsetzungsprozess ist mit der Addition und der Multiplikation von Polynomen verträglich. Wir betrachten die Relation auf , die durch
falls es eine Linearform mit mit
gibt.
- Berechne
- Zeige, dass durch eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
- Es sei
.
Zeige, dass jedes Polynom einen
Repräsentanten
mit
besitzt.
- Es sei . Zeige, dass jedes Polynom einen normierten Repräsentanten besitzt.
- Zeige, dass die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms nur von der Äquivalenzklasse abhängt.
Aufgabe * (3 Punkte)
Beweise den Satz von Lagrange.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei ein metrischer Raum und sei ein Punkt. Zeige, dass abgeschlossen ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Wir betrachten die spaltenstochastische Matrix
Bestimme das minimale derart, dass in der -ten Potenz die Differenz der ersten zur zweiten Spalte bezüglich der Maximumsnorm des ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Was versteht man in der Mathematik unter Modellierung? Welche Ansätze der linearen Algebra kann man als Modellierungen (und wofür) auffassen?