Kurs:Lineare Algebra/Teil II/8/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Punkte 3 3 12 6 12 2 10 3 3 3 4 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Orthogonalbasis in einem -Vektorraum mit Skalarprodukt.
  2. Eine eigentliche Isometrie

    auf einem euklidischen Vektorraum .

  3. Ein normaler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt .

  4. Die Linksnebenklasse von in einer Gruppe bezüglich einer Untergruppe .
  5. Ein orientierter -Vektorraum.
  6. Ein stabiler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Spektralsatz für komplexe Isometrien.
  2. Der Satz über die Untergruppen von .
  3. Der Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.


Aufgabe * (12 (2+2+1+1+1+5) Punkte)

Der sei mit der Maximumsnorm

versehen. Wir interessieren und für die reellen Matrizen

mit der Eigenschaft

für alle . Eine solche Matrix nennen wir -isometrisch.

  1. Zeige, dass eine -isometrische Matrix invertierbar ist.
  2. Zeige, dass die Menge der -isometrischen Matrizen eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe bildet.
  3. Zeige, dass eine Permutationsmatrix -isometrisch ist.
  4. Unter einer Vorzeichen-Permutationsmatrix verstehen wir eine Matrix, die aus einer Permutationsmatrix entsteht, indem man eintragsweise vor die jeweils ein oder ein -Zeichen setzt. Man gebe ein Beispiel für eine -Vorzeichen-Permutationsmatrix, die keine Permutationsmatrix und keine obere Dreiecksmatrix ist und deren Determinante gleich ist.
  5. Zeige, dass eine Vorzeichen-Permutationsmatrix -isometrisch ist.
  6. Zeige, dass jede -isometrische Matrix eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ist.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren für einen endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt.


Aufgabe * (12 (2+3+2+2+2+1) Punkte)

Wir betrachten das Dreieck, das durch die Eckpunkte und gegeben ist.

  1. Bestimme den Umfang des Dreiecks.
  2. Bestimme eine ganze Zahl mit der Eigenschaft, dass der Dreiecksumfang zwischen und liegt.
  3. Bestimme den Kosinus des Winkels des Dreiecks im Eckpunkt .
  4. Erstelle eine Gleichung in Parameterform für die Höhengerade durch den Eckpunkt .
  5. Bestimme den Höhenfußpunkt zur Höhe durch den Eckpunkt .
  6. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Matrix, die zur Matrix

die adjungierte Abbildung (bezüglich der Standardbasis) beschreibt.


Aufgabe * (10 (1+3+2+2+2) Punkte)

Es sei ein Körper und der Polynomring in der einen Variablen über . Zu einem Polynom und einer Linearform

mit bezeichnet

das Polynom, das entsteht, wenn man jedes Vorkommen von in durch ersetzt. Dieser Einsetzungsprozess ist mit der Addition und der Multiplikation von Polynomen verträglich. Wir betrachten die Relation auf , die durch

falls es eine Linearform  mit mit

gibt.

  1. Berechne
  2. Zeige, dass durch eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
  3. Es sei . Zeige, dass jedes Polynom einen Repräsentanten mit

    besitzt.

  4. Es sei . Zeige, dass jedes Polynom einen normierten Repräsentanten besitzt.
  5. Zeige, dass die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms nur von der Äquivalenzklasse abhängt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz von Lagrange.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

ein Ideal in ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei ein metrischer Raum und sei ein Punkt. Zeige, dass abgeschlossen ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die spaltenstochastische Matrix

Bestimme das minimale derart, dass in der -ten Potenz die Differenz der ersten zur zweiten Spalte bezüglich der Maximumsnorm des ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Was versteht man in der Mathematik unter Modellierung? Welche Ansätze der linearen Algebra kann man als Modellierungen (und wofür) auffassen?