Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 40

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Minkowski-Raum.

  1. Zeige, dass ein skalares Vielfaches eines zeitartigen (raumartigen, lichtartigen) Vektors wieder zeitartig (raumartig, lichtartig) ist.
  2. Zeige, dass die Summe von zwei zeitartigen (raumartigen, lichtartigen) Vektoren im Allgemeinen nicht wieder zeitartig (raumartig, lichtartig) ist.


Aufgabe *

Ist die Einschränkung einer Minkowski-Form im auf einen -dimensionalen Untervektorraum wieder eine Minkowski-Form?


Aufgabe

Es sei ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form . Zeige, dass es zu jedem Beobachtervektor eine direkte Summenzerlegung

gibt, wobei die Einschränkung der Minkowski-Form auf negativ definit und die Einschränkung der Minkowski-Form auf positiv definit ist.


Aufgabe

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass der Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters ist. Bestimme die Raumkomponente zu diesem Vektor.


Die Hyperbelfunktionen werden in Analysis 1 eingeführt.

Aufgabe

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu der Vektor der Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters ist. Bestimme die Raumkomponente zu diesem Vektor.


Aufgabe *

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu , , die Vektoren

Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.


Aufgabe *

Es sei ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form und es seien gleichgerichtete Beobachtervektoren. Zeige


Aufgabe

Es sei ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form und es seien zeitartige Vektoren. Zeige die Abschätzung


Aufgabe *

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ein Beobachtervektor ist und bestimme die Raumkomponente dazu.


Aufgabe

In einem vierdimensionalen Minkowski-Raum besitze ein Ereignis die Koordinaten bezüglich einer Minkowski-Basis. Bestimme die Zerlegung in Raum- und Zeitkomponente dieses Ereignisses bezüglich des Beobachtervektors .


Aufgabe

Es sei ein Minkowski-Raum. Zeige, dass die Menge der Beobachtervektoren in zwei Wegzusammenhangskomponenten zerfallen. Zeige, dass zwei Beobachtervektoren genau dann zur gleichen Komponente gehören, wenn

ist.


Aufgabe

Es sei ein zweidimensionaler Minkowski-Raum.

  1. Zeige, dass es eine Basis von derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich sind.
  2. Zeige, dass es eine Basis von derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich sind.
  3. Zeige, dass es eine Basis von derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich sind.


Aufgabe

a) Zeige, dass die Summe von Bilinearformen und auf einem -Vektorraum wieder eine Bilinearform ist.

b) Zeige ebenso, dass das skalare Vielfache einer Bilinearform wieder eine Bilinearform ist.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform vom Typ . Zeige, dass die negierte Form den Typ besitzt.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Bilinearformen auf einem -Vektorraum einen -Vektorraum bilden.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Zeige, dass es eine natürliche Isomorphie

gibt.


Aufgabe *

Zeige, dass für eine hermitesche Form auf einem -Vektorraum die Werte zu stets reell sind.


Aufgabe

Zeige, dass eine Sesquilinearform auf einem -Vektorraum genau dann hermitesch ist, wenn die Gramsche Matrix der Form bezüglich einer Basis von hermitesch ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ein Beobachtervektor ist und bestimme eine Orthonormalbasis der Raumkomponente dazu.


Aufgabe (4 Punkte)

In einem vierdimensionalen Minkowski-Raum besitze ein Ereignis die Koordinaten bezüglich einer Minkowski-Basis. Bestimme die Zerlegung in Raum- und Zeitkomponente dieses Ereignisses bezüglich des Beobachtervektors .


Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen.

  1. Man gebe eine Basis des an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich sind.
  2. Man gebe eine Basis des an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich sind.
  3. Man gebe eine Basis des an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum. Zeige, dass die Menge der symmetrischen Bilinearformen auf einen Untervektorraum des Raumes aller Bilinearformen bildet. Welche Dimension besitzt dieser Raum, wenn

ist?


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ein reeller Vektorraum. Bildet die Menge der Skalarprodukte auf einen Untervektorraum des Raumes aller Bilinearformen auf ?



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