Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 39

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein -dimensionaler reeller Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf vom Typ . Zeige, dass

ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer symmetrischen Bilinearform, das zeigt, dass der Unterraum maximaler Dimension, auf dem die Einschränkung der Form positiv definit ist, nicht eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe

Auf dem sei durch

eine symmetrische Bilinearform gegeben. Bestimme zu jeder Geraden durch den Nullpunkt, ob die Einschränkung der Form auf die Gerade positiv definit, negativ definit oder die Nullform ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform auf und einer Basis von derart, dass für alle ist, aber nicht positiv definit ist.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform auf . Es sei eine Orthogonalbasis auf mit der Eigenschaft für alle . Zeige, dass positiv definit ist.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform vom Typ . Zeige, dass die Dimension des Ausartungsraumes gleich

ist.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass die Dimension des Ausartungsraumes nicht mit der maximalen Dimension eines Untervektorraumes übereinstimmen muss, auf dem die eingeschränkte Form die Nullform ist.


Aufgabe

Es sei ein -dimensionaler reeller Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Die Bilinearform ist nicht ausgeartet.
  2. Die Gramsche Matrix der Bilinearform bezüglich einer Basis ist invertierbar.
  3. Die Bilinearform ist vom Typ (mit einem .)


Aufgabe

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix

gegebenen symmetrischen Bilinearform.


Aufgabe

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix

gegebenen symmetrischen Bilinearform.


Aufgabe *

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum mit einer Bilinearform vom Typ und es sei ein -dimensionaler Untervektorraum. Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ . Zeige


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass die Gramsche Matrix zu dieser Bilinearform bezüglich einer geeigneten Basis eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge oder sind.


Aufgabe

Es sei eine symmetrische reelle -Matrix. Zeige, dass es eine invertierbare Matrix derart gibt, dass

eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge oder sind.


Aufgabe *

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einer Bilinearform . Es sei eine Basis von und es sei die Gramsche Matrix bezüglich dieser Basis. Es sei

die zugehörige lineare Abbildung in den Dualraum und es sei die Dualbasis von . Zeige, dass die beschreibende Matrix von bezüglich der beiden Basen die transponierte Matrix von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Zeige, dass durch die Spur

eine vollständige Dualität gestiftet wird, dass also und in natürlicher Weise dual zueinander sind.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform . Es sei die Gramsche Matrix zur Form bezüglich einer gegebenen Basis von . Zeige, dass der Eigenraum zum Eigenwert von , aufgefasst als lineare Abbildung von nach bezüglich dieser Basis, gleich dem Ausartungsraum der Form ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix

gegebenen symmetrischen Bilinearform.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform vom Typ auf einem -dimensionalen reellen Vektorraum. Es sei eine Basis von und es sei die Gramsche Matrix zu bezüglich dieser Basis. Zeige, dass das Vorzeichen von gleich ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform vom Typ und sei die Dimension des Ausartungsraumes der Form. Zeige, dass es einen Untervektorraum derart gibt, dass die Einschränkung der Form die Nullform ist und mit

Zeige ebenfalls, dass es keinen Untervektorrraum größerer Dimension gibt, auf dem die Einschränkung die Nullform ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit dem Dualraum . Zeige, dass die Abbildung

eine vollständige Dualität zwischen und stiftet.



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