Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Vorlesung 40

Minkowski-Räume

Albert Einstein (1879-1955)

„Auf einer Abendgesellschaft wurde Einstein von der Gastgeberin gebeten, die Relativitätstheorie zu erklären. „Madame“, sagte er, „ich spazierte eines heißen Tages auf dem Lande mit einem blinden Freund und sagte, daß ich gern einen Trunk Milch haben würde“. - „Milch“?, sagte mein Freund, „Trinken verstehe ich, aber was ist Milch“? - „Eine weiße Flüssigkeit“ antwortete ich. - „Flüssigkeit verstehe ich; aber was ist weiß“? - „Die Farbe einer Schwanenfeder“. - „Feder verstehe ich, aber was ist ein Schwan“? - „Ein Vogel mit einem gebogenen Hals“. „Hals verstehe ich, aber was ist gebogen“? - Darauf verlor ich die Geduld, ergriff seinen Arm und und streckte diesen geradeaus: „das ist gerade“, sagte ich, und dann bog ich seinen Arm am Ellenbogen ein: „das ist gebogen“. „Ah“! sagte der Blinde, „jetzt weiß ich, was Sie mit Milch meinen“!“

Hermann Minkowski (1864-1909)

Definition

Ein reeller Vektorraum der Dimension $n$ mit einer symmetrischen Bilinearform $⟨-,-⟩$ vom Typ $(n-1,1)$ heißt Minkowski-Raum.

Die Minkowski-Räume liefern ein einfaches Modell für die spezielle Relativitätstheorie, man spricht auch von einem Einstein-Minkowski-Raum und die Bilinearform darauf heißt auch Minkowski-Form oder Lorentz-Form. Die klassische Raum-Zeit-Welt ist von der Form ${ℝ}^3\times ℝ$, wobei die dreidimensionale Komponente den Raum und die eindimensionale Komponente die Zeit repräsentiert. Darin ist grundsätzlich jede Bewegung von einem Punkt zu einem anderen möglich, solange der zweite Punkt zeitlich später als der erste Punkt ist. Entsprechend repräsentieren die Punkte in einem vierdimensionalen Minkowski-Raum die relativistischen Weltpunkte (die Ereignisse); eine Trennung in Raum und Zeit ist Beobachter-abhängig; die Theorie liefert auch eine Definition, was ein Beobachter ist, siehe unten. Eine besondere Rolle spielt die Menge der Vektoren

$\{v\in V\mid ⟨v,v⟩=0\},$

die in diesem Zusammenhang der Lichtkegel heißt. Gemeint ist damit die Menge aller Lichtstrahlen, die in einem Weltpunkt eingehen und ausgehen. Dieser Lichtkegel ist gemäß der speziellen Relativitätstheorie Beobachter-unabhängig (absolut), und eben dies wird durch die Minkowski-Räume modelliert. Man erlaubt grundsätzlich jede Dimension, die wesentlichen Phänomene sind schon bei  $n=2,3$  sichtbar. Die bezüglich der Standardbasis des ${ℝ}^n$ durch die Gramsche Matrix

$\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 1& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& -1\end{array}\right)$

gegebene Minkowski-Form heißt Minkowski-Standard-Form. Gemäß dem Trägheitssatz von Sylvester kann man jede Minkowski-Form bezüglich einer geeignet skalierten Orthogonalbasis (einer Minkowski-Basis) auf diese Gestalt bringen.

Definition

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form $⟨-,-⟩$. Ein Vektor  $v\in V$  mit

$⟨v,v⟩=0$

heißt lichtartig, ein Vektor  $v\in V$  mit

$⟨v,v⟩<0$

heißt zeitartig und ein Vektor  $v\in V$  mit

$⟨v,v⟩>0$

heißt raumartig.

Achtung, diesen Eigenschaften definieren keine Untervektorräume, die Summe von zwei raumartigen Vektoren muss im Allgemeinen nicht wieder raumartig sein.

Nicht alle Vektoren bzw. (linearen) Bewegungsvorgänge in dieser Raum-Zeit-Licht-Welt sind für einen (materiellen) Beobachter realisierbar, im Gegenteil gehört die folgende Einschränkung wesentlich zu diesem Weltmodell.

Definition

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum mit einer Minkowski-Form $⟨-,-⟩$. Die Vektoren  $v\in V$  mit

$⟨v,v⟩=-1$

heißen Beobachtervektoren oder Vierergeschwindigkeit eines Beobachters.

Der Begriff Beobachter suggeriert eine physikalische Interpretation; man kann sich darunter eine Person vorstellen, wichtig ist aber, dass dies keinen subjektiven Gehalt hat. Der Beobachter hat eine Uhr, einen Meterstab und einen Winkelmesser im Gepäck und jeder Beobachter, der die gleiche Bewegung durchführt, kommt zu den gleichen Messungen. Statt mit der Bedingung $=-1$ wird ein Beobachtervektor häufig auch durch die Bedingung $=-c$ angesetzt, wobei $c$ die Lichtgeschwindigkeit repräsentiert. Diese ist aber nur eine Umskalierung.

Die zuletzt genannten Beobachtervektoren sind insbesondere zeitartig, da jeder Beobachter älter wird, die Zeit bewegt sich also auch für einen „räumlich ruhenden“ Beobachter. Die Gerade $ℝv$ ist ein Untervektorraum der Dimension $1$, auf dem die eingeschränkte Form negativ definit ist. Es sei  $U\subseteq V$  der dazu (bezüglich der Minkowski-Form) senkrechte Untervektorraum. Dies ist ein dreidimensionaler Raum, auf dem die eingeschränkte Form positiv definit ist. Dieser Untervektorraum ist der Raum $V_v$ für diesen Beobachter (oder $V_B$, wenn $B$ den Beobachter bezeichnet) und $ℝv$ ist seine Zeitachse. Für einen Beobachter besteht also eine Zerlegung des Gesamtraumes der Form $ℝ\times {ℝ}^3$ (in Zeit und Raum), nur hängt diese Zerlegung eben vom Beobachter ab. Man spricht auch von dem Bezugssystem des Beobachters. Die positiv definite Einschränkung der Minkowski-Form auf seine Raumkomponente ist ein Skalarprodukt, mit dem der Beobachter Längen und Winkel misst und auch in seinem Raum eine Orthonormalbasis fixieren kann. Für einen Beobachter mit der erlaubten Vierergeschwindigkeit $v$ gibt es also insbesondere eine Orthogonalbasis $e_1,e_2,e_3,v$ mit

$⟨e_j,e_j⟩=1$

und

$⟨v,v⟩=-1.$

Bezüglich einer solchen Minkowski-Basis wird die Minkowski-Form einfach durch

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$

als Gramsche Matrix beschrieben. Ein Großteil der relativistischen Phänomene zeigt sich in diesem Modell beim Basiswechsel von zwei solchen Basen (bei einem Wechsel des Bezugssystems), wobei der wesentliche Punkt der Wechsel der Zerlegung in Raum- und Zeitkomponente ist.

Wenn $v$ ein Beobachtervektor ist, so ist nach Definition auch $-v$ ein Beobachtervektor. Dieser Beobachter bewegt sich in die entgegengesetzte Zeitrichtung. Insgesamt zerfällt die Menge aller Beobachtervektoren in zwei Schalen, wobei wir eine als die Zukunftsschale auszeichnen. Ebenso zerfällt der Lichtkegel in zwei Kegel, den Zukunfts- und den Vergangenheitskegel. Zwei Beobachter heißen gleichgerichtet, wenn sie der gleichen Schale angehören, also beide in die Zukunft (oder in die Vergangenheit) weisen.

Lemma

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form $⟨-,-⟩$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu jedem Beobachtervektor  $v\in V$  ist

   $V=ℝv\oplus (ℝv{)}^{\perp }$

   eine direkte Summenzerlegung, wobei die Einschränkung der Minkowski-Form auf $ℝv$ negativ definit und die Einschränkung der Minkowski-Form auf  $V_v=(ℝv{)}^{\perp }$  positiv definit ist. Dabei besteht $V_v$ aus raumartigen Vektoren.

2. Für zwei gleichgerichtete Beobachtervektoren  $v,w\in V$  ist

   $⟨v,w⟩<0.$

3. Für zeitartige Vektoren  $v,w\in V$  ist

   ${⟨v,w⟩}^2\ge ⟨v,v⟩\cdot ⟨w,w⟩.$

Beweis

Siehe Aufgabe 40.3, Aufgabe 40.7 und Aufgabe 40.8.

$◻$

Die Bedingung, dass die Beobachtergeschwindigkeiten  $⟨v,v⟩=-1$  erfüllen müssen, ist eine große Einschränkung an mögliche Bewegungsvorgänge. Wenn eine Minkowski-Basis fixiert ist, so ist $\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\\ t\end{array}\right)$ ein Beobachtervektor genau dann, wenn

$y_1^2+y_2^2+y_3^2-t^2=-1$

(und $t\ge 0$, das ergibt sich aus der Zukunftsrichtung) ist.

Beispiel

In einem vierdimensionalen Standard-Minkowski-Raum soll etwas vom Punkt  $P=\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\\ r\end{array}\right)$  zum Punkt  $Q=\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ q_3\\ s\end{array}\right)$  gleichmäßig bewegt werden. Im klassischen Ansatz ist einfach der Verbindungsvektor

$\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\\ t\end{array}\right):=\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ q_3\\ s\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\\ r\end{array}\right)$

zu wählen. Dieser ist aber im Allgemeinen kein Beobachtervektor und der anvisierte Bewegungsvorgang ist dann nicht realisierbar. Wenn $y_1^2+y_2^2+y_3^2-t^2$ negativ ist, was inhaltlich bedeutet, dass ein zeitartiger Vektor vorliegt, so kann man den Vektor aber zu einem Beobachtervektor

$\left(\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ z_3\\ u\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{-⟨\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\\ t\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\\ t\end{array}\right)⟩}}\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\\ t\end{array}\right)$

umskalieren. Es beschreibt dann

$x⟼\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\\ r\end{array}\right)+x\left(\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ z_3\\ u\end{array}\right)$

einen Bewegungsvorgang, der für  $x=0$  im Punkt $P$ startet und für  $x=\sqrt{-⟨\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\\ t\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\\ t\end{array}\right)⟩}$  im Punkt $Q$ endet und der physikalisch durchführbar ist.

Bemerkung  

Zwei Ereignisse $A$ und $B$ in einem zweidimensionalen Minkowskiraum, die für den Beobachter, dessen Raumachse mit $x$ und dessen Zeitachse mit $ct$ bezeichnet ist, gleichzeitig sind, aber nicht für den zweiten Beobachter mit den Achsen $x^{\prime }$ und $c{t}^{\prime }$.

Zu einer Vierergeschwindigkeit $v$ eines Beobachters $B$ mit der Zerlegung

$V=V_v\oplus ℝv$

nennt man die Punkte der Form $sv+V_v$ mit einem fixierten  $s\in ℝ$  den Raum zum Zeitpunkt $s$. Die Punkte daraus heißen gleichzeitig für den Beobachter $B$. Für einen anderen Beobachter $C$ mit der Vierergeschwindigkeit $w$ sind diese Punkte nicht gleichzeitig. Sein Gleichzeitigkeitskonzept beruht auf seine, von $w$ abhängige Zerlegung der Welt $V$ in seine Raum- und Zeitkomponente. Wenn beispielsweise die zweite Vierergeschwindigkeit bezüglich einer Minkowski-Basis des ersten Beobachters durch $\left(\begin{array}{c}\frac{3}{4}\\ 0\\ 0\\ \frac{5}{4}\end{array}\right)$ gegeben ist, so ist

$\frac{15}{4}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\\ 0\\ 0\\ \frac{1}{5}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

eine Orthonormalbasis der Raumkomponente des zweiten Beobachters. Die für den ersten Beobachter gleichzeitigen Ereignisse $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ sind für den zweiten Beobachter nicht gleichzeitig, da der erste Vektor die gleiche Beschreibung besitzt und der zweite Vektor gleich

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\frac{75}{16}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\\ 0\\ 0\\ \frac{1}{5}\end{array}\right)-\frac{3}{4}\left(\begin{array}{c}\frac{3}{4}\\ 0\\ 0\\ \frac{5}{4}\end{array}\right)$

ist. Seine Zeitkomponente bezüglich des zweiten Beobachtervektors ist also $-\frac{3}{4}$.

Wir vergleichen nun Geschwindigkeiten von Beobachtern untereinander.

Definition

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum und seien $B$ und $C$ Beobachter mit den Vierergeschwindigkeiten $v$ und $w$. Dann nennt man den Vektor

$v_{BC}=-v-\frac{1}{⟨v,w⟩}w$

den Geschwindigkeitsvektor von $C$ relativ zu $B$. Man nennt

${\rho }_{BC}=\sqrt{1-\frac{1}{{⟨v,w⟩}^2}}$

die Relativgeschwindigkeit der beiden Beobachter.

Der relative Geschwindigkeitsvektor ist ein Vektor. Beachte, dass nach Lemma 40.4  (3)  $⟨v,w⟩\ge 1$  und daher die Relativgeschwindigkeit eine wohldefinierte nichtnegative reelle Zahl ist, die von oben durch $1$ beschränkt ist. Die Relativgeschwindigkeit ist symmetrisch in $v$ und $w$, hingegen ist

$v_{CB}=-w-\frac{1}{⟨v,w⟩}v$

im Allgemeinen von $v_{BC}$ verschieden. Da die Lichtgeschwindigkeit zu $1$ normiert ist, sollte man sich diese Relativgeschwindigkeiten klein vorstellen. Bei  $v=w$  ist die Relativgeschwindigkeit gleich $0$.

Lemma

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum und seien $B$ und $C$ gleichgerichtete Beobachter mit den Vierergeschwindigkeiten $v$ und $w$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Der Relativgeschwindigkeitsvektor $v_{BC}$ steht senkrecht auf $v$.
2. Der Relativgeschwindigkeitsvektor $v_{BC}$ ist raumartig und es gilt

   $\Vert v_{BC}\Vert =\Vert v_{CB}\Vert ={\rho }_{BC}=\rho .$

3. Es ist

   $⟨v,w⟩=-\frac{1}{\sqrt{1-{\rho }^2}}.$

4. Es ist

   $w=\frac{v}{\sqrt{1-{\rho }^2}}+\frac{v_{BC}}{\sqrt{1-{\rho }^2}}$

   die Zerlegung von $w$ in die Raum- und die Zeitkomponente von $B$.

5. Der Zeitkoeffizient von $w$ bezüglich $B$ ist $\frac{1}{\sqrt{1-{\rho }^2}}$.

Beweis

1. Es ist

   $⟨v,v_{BC}⟩=⟨v,-v-\frac{1}{⟨v,w⟩}w⟩=⟨v,-v⟩+⟨v,-\frac{1}{⟨v,w⟩}w⟩=1-1=0,$

   sodass diese Vektoren orthogonal zueinander sind. Somit gehört $v_{BC}$ zur Raumkomponente zu $B$.

2. Es ist

   $\begin{array}{cc}⟨v_{BC},v_{BC}⟩& =⟨-v-\frac{1}{⟨v,w⟩}w,-v-\frac{1}{⟨v,w⟩}w⟩\\ & =⟨v+\frac{1}{⟨v,w⟩}w,v+\frac{1}{⟨v,w⟩}w⟩\\ & =⟨v,v⟩+2\frac{⟨v,w⟩}{⟨v,w⟩}+\frac{1}{{⟨v,w⟩}^2}⟨w,w⟩\\ & =1-\frac{1}{{⟨v,w⟩}^2}.\end{array}$

   Nach Teil (1) (oder nach Lemma 40.4  (3)) ist dieser Ausdruck nichtnegativ. Die Quadratwurzel davon ist die Relativgeschwindigkeit $\rho$.
3. Dies folgt direkt aus der Definition

   $\rho =\sqrt{1-\frac{1}{{⟨v,w⟩}^2}}$

   durch eine einfache Umstellung, wenn man berücksichtigt, dass

   $⟨v,w⟩<0$

   ist.

4. Aus

   $v_{BC}=-v-\frac{1}{⟨v,w⟩}w$

   und (3) ergibt sich

   $w=-⟨v,w⟩v-⟨v,w⟩v_{BC}=\frac{v}{\sqrt{1-{\rho }^2}}+\frac{v_{BC}}{\sqrt{1-{\rho }^2}}.$

   Nach Teil (1) gehört $v_{BC}$ zur Raumkomponente zu $B$.

5. Aus (4) ist direkt ablesbar, dass der Zeitkoeffizient von $w$ bezüglich $B$ gleich $\frac{1}{\sqrt{1-{\rho }^2}}$ ist.

$◻$

Das in der fünften Aussage des vorstehenden Lemmas formulierte Prinzip heißt Zeitdilatation. Ein Beobachter beobachtet für einen weiteren Beobachter eine längere Zeit als dieser in seinem Bezugsystem.

Der Vektorraum der Bilinearformen

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ und seien ${\Psi }_1$ und ${\Psi }_2$ Bilinearformen auf $V$. Dann erklärt man die Summe dieser beiden Bilinearformen punktweise als diejenige Bilinearform, die an der Stelle $(u,v)$ den Summenwert erhält, also

$({\Psi }_1+{\Psi }_2)(u,v):={\Psi }_1(u,v)+{\Psi }_2(u,v).$

Entsprechend definiert man für einen Skalar $c\in K$ die Form $c\Psi$ durch

$(c\Psi )(u,v)=c\Psi (u,v).$

Die entstehenden Funktionen sind wieder bilinear. Damit erhält man eine Vektorraumstruktur auf der Menge aller Bilinearformen auf $V$.

Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $K$. Die Menge aller Bilinearformen auf $V$, versehen mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation, heißt Vektorraum der Bilinearformen. Er wird mit ${\mathrm{Bilin}}_{}\left(V\right)$ bezeichnet.

Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum.

Zu einer jeden Basis  $𝔳=v_1,\dots ,v_n$  ist die Abbildung

${\mathrm{Bilin}}_{}\left(V\right)⟶{\mathrm{Mat}}_n(K),\Psi ⟼G_{𝔳}(\Psi ),$

die einer Bilinearform $\Psi$ ihre Gramsche Matrix bezüglich der gegebenen Basis zuordnet, eine Isomorphie von Vektorräumen.

Beweis

Die Injektivität der Abbildung folgt aus Lemma 16.6, die Surjektivität daraus, dass man eine beliebige Matrix im Sinne von Beispiel 38.2 als Bilinearform interpretieren kann. Die Linearität folgt unmittelbar aus der punktweisen Definition der Vektorraumstruktur auf ${\mathrm{Bilin}}_{}\left(V\right)$.

$◻$

Sesquilinearformen

Definition

Es seien $V$ und $W$ Vektorräume über den komplexen Zahlen $ℂ$. Eine Abbildung

$\phi :V⟶W$

heißt antilinear (oder semilinear), wenn

$\phi (u+v)=\phi (u)+\phi (v)$

für alle  $u,v\in V$  und wenn

$\phi (\lambda v)=\bar{\lambda }\phi (v)$

für alle  $v\in V$  und  $\lambda \in ℂ$  gilt.

Wenn man die komplexen Vektorräume als reelle Vektorräume auffasst, so handelt es sich insbesondere um reell-lineare Abbildungen. Dieser Eigenschaft sind wir schon bei komplexen Skalarprodukten begegnet.

Definition

Es sei $V$ ein $ℂ$-Vektorraum. Eine Abbildung

$V\times V⟶ℂ,(v,w)⟼⟨v,w⟩,$

heißt Sesquilinearform, wenn für alle  $v\in V$  die induzierten Abbildungen

$V⟶ℂ,w⟼⟨v,w⟩,$

$ℂ$-antilinear und für alle  $w\in V$  die induzierten Abbildungen

$V⟶ℂ,v⟼⟨v,w⟩,$

$ℂ$-linear sind.

Wir fordern also die Linearität in der ersten und die Antilinearität in der zweiten Komponenten. Es gibt auch die andere Konvention.

Viele Begriffe und Aussagen übertragen sich mit leichten Abwandlungen von der reellen auf die komplexe Situation.

Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $ℂ$-Vektorraum zusammen mit einer Sesquilinearform $⟨-,-⟩$. Es sei $v_1,\dots ,v_n$ eine Basis von $V$. Dann heißt die $n\times n$-Matrix

${⟨v_i,v_j⟩}_{1\le i,j\le n}$

die Gramsche Matrix von $⟨-,-⟩$ bezüglich dieser Basis.

Wenn die Gramsche Matrix zu einer Sesquilinearform $⟨-,-⟩$ bezüglich einer Basis $v_1,\dots ,v_n$ gegeben ist, so kann man daraus $⟨v,w⟩$ für beliebige Vektoren berechnen. Man schreibt  $v=\sum _{i=1}^n{b}_i{v}_i$  und  $w=\sum _{i=1}^n{c}_i{v}_i$  und erhält mit dem allgemeinen Distributivgesetz

$\begin{array}{cc}⟨v,w⟩& =⟨\sum _{i=1}^n{b}_i{v}_i,\sum _{j=1}^n{c}_j{v}_j⟩\\ & =\sum _{1\le i,j\le n}{b}_i\overline{c_j}⟨v_i,w_j⟩\\ & =\sum _{i=1}^n{b}_i\left(\sum _{j=1}^n\overline{c_j}⟨v_i,w_j⟩\right)\\ & =(b_1,\dots ,b_n)G\left(\begin{array}{c}\overline{c_1}\\ ⋮\\ \overline{c_n}\end{array}\right).\end{array}$

Man erhält also den Wert der Bilinearform an zwei Vektoren, indem man die Gramsche Matrix auf das Koordinatentupel des zweiten Vektors anwendet und das Ergebnis (ein Spaltenvektor) mit dem Koordinatentupel des ersten Vektors als Zeilentupel von links multipliziert. Kurz und ungenau ist also

$⟨v,w⟩=v^{\text{tr}}G\bar{w}.$

Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $ℂ$-Vektorraum mit einer Sesquilinearform $⟨-,-⟩$. Es seien $𝔳=v_1,\dots ,v_n$ und $𝔴=w_1,\dots ,w_n$ Basen von $V$ und es seien $G$ bzw. $H$ die Gramschen Matrizen von $⟨-,-⟩$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen

$w_j=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{v}_i,$

die wir durch die Übergangsmatrix  $A={\left(a_{ij}\right)}_{i,j}$  ausdrücken.

Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung

$H=A^{\text{tr}}G\bar{A}.$

Beweis

Es ist

$\begin{array}{cc}⟨w_r,w_s⟩& =⟨\sum _{j=1}^n{a}_{rj}{v}_j,\sum _{k=1}^n{a}_{sk}{v}_k⟩\\ & =\sum _{1\le j,k\le n}{a}_{rj}\overline{a_{sk}}⟨v_j,v_k⟩\\ & =\sum _{1\le j\le n}{a}_{rj}\left(\sum _{1\le k\le n}\overline{a_{sk}}⟨v_j,v_k⟩\right)\\ & ={(A^{\text{tr}}\circ (G\circ \bar{A}))}_{rs}.\end{array}$

$◻$

Bemerkung  

Die Menge der Sesquilinearformen auf einem $ℂ$-Vektorraum $V$ bilden einen $ℂ$-Vektorraum. Er wird mit ${\mathrm{Sesq}}_{}\left(V\right)$ bezeichnet.

Hermitesche Formen

Definition

Eine Sesquilinearform $⟨-,-⟩$ auf einem komplexen Vektorraum $V$ heißt hermitesch, wenn

$⟨v,u⟩=\overline{⟨u,v⟩}$

für alle  $u,v\in V$  ist.

Definition

Eine quadratische komplexe Matrix

$M=(a_{ij}{)}_{ij}$

heißt hermitesch, wenn

$a_{ij}=\overline{a_{ji}}$

für alle $i,j$ gilt.

Fußnoten

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