Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 47/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bringe die Restklassengruppe mit der in Aufgabe 44.16 direkt eingeführten Gruppe in Verbindung.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass es in der Restklassengruppe zu jedem Elemente gibt, deren Ordnung gleich ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass es keine Untergruppe derart gibt, dass

ein Isomorphismus ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Restklassengruppe zu .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde in der Permutationsgruppe einen Normalteiler und bestimme die zugehörige Restklassengruppe.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei eine Gruppe und ein Element mit dem (nach Lemma 44.12) zugehörigen Gruppenhomomorphismus

Beschreibe die kanonische Faktorisierung von gemäß Satz 47.7.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei eine Gruppe und ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von mit dem minimalen übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

gibt, in dessen Bild das Element liegt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige mit Hilfe der Homomorphiesätze, dass zyklische Gruppen mit der gleichen Ordnung isomorph sind.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Seien und Gruppen und seien und Gruppenhomomorphismen mit surjektiv und mit . Bestimme den Kern des induzierten Homomorphismus


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass für jede reelle Zahl die Restklassengruppen untereinander isomorph sind.


Für die folgende Aufgabe muss man verwenden, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Faktorisierung in Primzahlen besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei eine Primzahl. Definiere einen Gruppenhomomorphismus

der und alle anderen Primzahlen auf schickt.

Bestimme auch den Kern dieses Gruppenhomomorphismus.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und Gruppen und seien und Normalteiler. Zeige, dass ein Normalteiler in ist und dass eine Isomorphie

vorliegt.


Die folgende Aufgabe verwendet den topologischen Begriff der Dichtheit.

Eine Teilmenge heißt dicht, wenn es zu jeder reellen Zahl und jedem Elemente mit

gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen . Zeige, dass entweder mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ist, oder aber dicht in ist.


Aufgabe * Aufgabe 47.14 ändern

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

ein Ideal in ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien und Gruppen mit der Produktgruppe . Zeige, dass die Gruppe ein Normalteiler in ist, und dass die Restklassengruppe kanonisch isomorph zu ist.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Gruppenhomomorphismen zwischen zwei zyklischen Gruppen. Welche sind injektiv und welche sind surjektiv?


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es eine Gruppe und einen Gruppenhomomorphismus

mit der Eigenschaft gibt, dass genau dann rational ist, wenn ist.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme sämtliche Gruppen mit vier Elementen.



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