Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 55/kontrolle

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Übungsaufgaben

Wir erinnern an die beiden folgenden Aufgaben.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und eine Indexmenge. Zeige, dass

mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein -Vektorraum ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper, sei eine Indexmenge, und der zugehörige Vektorraum. Zeige, dass

ein Untervektorraum von ist.

Zu jedem sei durch

gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element eindeutig als Linearkombination der Familie , , darstellen lässt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und seien und Mengen. Zeige, dass durch eine Abbildung

eine lineare Abbildung

festgelegt ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und seien und Mengen. Es sei

eine Abbildung.

a) Zeige, dass durch eine lineare Abbildung

festgelegt ist.

b) Es habe nun zusätzlich die Eigenschaft, dass sämtliche Fasern endlich seien. Zeige, dass dadurch eine lineare Abbildung

festgelegt ist.


Aufgabe * Aufgabe 55.5 ändern

Sei ein Körper und seien und endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung

mit

multilinear ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass im Allgemeinen in einem Tensorprodukt nicht jeder Vektor von der Form ist.


Mit berechnen ist in den folgenden Aufgaben gemeint, die Tensorprodukte als Linearkombinationen von Tensorprodukten zu den Standardvektoren auszudrücken.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne in das Tensorprodukt


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne in das Tensorprodukt


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne in das Tensorprodukt

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne in das Tensorprodukt


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne in das Tensorprodukt


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne in das Tensorprodukt


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne in das Tensorprodukt


Aufgabe * Aufgabe 55.14 ändern

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit dem Dualraum . Zeige, dass es eine Linearform

gibt, die auf abbildet.


Aufgabe Aufgabe 55.15 ändern

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei der Dualraum zu . Zeige die folgenden Aussagen.

a) Es gibt eine multilineare Abbildung

b) Es gibt eine lineare Abbildung

die auf die lineare Abbildung abbildet.

c) Wenn und endlichdimensional sind, so ist aus Teil (b) ein Isomorphismus.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über , auf denen jeweils eine Bilinearform fixiert sei. Zeige, dass auf den Tensorprodukt eine Bilinearform gegeben ist, für die

gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Der sei mit der Minkowski-Standard-Form versehen. Bestimme die zugehörige Linearform auf .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne in das Tensorprodukt


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne in das Tensorprodukt


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine Bilinearform auf , die bezüglich der Basis von durch die Gramsche Matrix beschrieben werde. Beschreibe die zugehörige Linearform auf bezüglich der zugehörigen Basis.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Stifte eine lineare Abbildung

die auf abbildet.


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