Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 10

Die Vorlesungen der nächsten Wochen beschäftigen sich mit linearer Algebra. Ihr zentraler Begriff ist der Vektorraum.

Vektorräume

Wir beginnen mit einem einführenden Beispiel.

An einem Stand auf dem Weihnachtsmarkt gibt es drei verschiedene Glühweintöpfe. Alle drei beinhalten die Zutaten Zimt, Gewürznelken, Rotwein und Zucker, allerdings mit unterschiedlichen Anteilen. Die Zusammensetzung der einzelnen Glühweine ist

$G_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 11\\ 2\end{array}\right),G_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 12\\ 3\end{array}\right),G_3=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 20\\ 7\end{array}\right).$

Jeder Glühwein wird also repräsentiert durch ein Vierertupel, deren einzelne Einträge für die Anteile an den Zutaten stehen. Die Menge aller (möglichen) Glühweine bilden einen Vektorraum, und die drei konkreten Glühweine sind drei Vektoren in diesem Raum.

Nehmen wir an, dass keiner dieser drei Glühweine genau den gewünschten Geschmack trifft und dass der Wunschglühwein die Zusammensetzung

$W=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 20\\ 5\end{array}\right)$

hat. Gibt es eine Möglichkeit, den Wunschglühwein durch Zusammenschütten der vorgegebenen Glühweine zu erhalten? Gibt es also Zahlen  $a,b,c\in \mathbb{Q}$  derart, dass

$a\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 11\\ 2\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 12\\ 3\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 20\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 20\\ 5\end{array}\right)$

gilt? Hinter dieser einen vektoriellen Gleichung liegen vier einzelne Gleichungen in den „Variablen“ $a,b,c$, wobei die Gleichungen sich aus den Zeilen ergeben. Wann gibt es eine solche Lösung, wann keine, wann mehrere? Das sind typische Fragen der linearen Algebra.

Definition (Vektorraum)

Es sei $K$ ein Körper und  $V=(V,+,0)$  eine kommutative Gruppe. Man nennt $V$ einen $K$-Vektorraum, wenn eine Abbildung

$K\times V⟶V,(r,v)⟼rv=r\cdot v,$

erklärt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in K$ und $u,v\in V$ beliebig):

1.  $1u=u$, 
2.  $r(su)=(rs)u$, 
3.  $r(u+v)=ru+rv$, 
4.  $(r+s)u=ru+su$. 

Die Verknüpfung in $V$ nennt man (Vektor)-Addition und die Operation $K\times V\to V$ nennt man Skalarmultiplikation. Die Elemente in einem Vektorraum nennt man Vektoren, und die Elemente $r\in K$ heißen Skalare. Das Nullelement $0\in V$ wird auch als Nullvektor bezeichnet, und zu $v\in V$ heißt das inverse Element das Negative zu $v$ und wird mit $-v$ bezeichnet. Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den Grundkörper. Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werden, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei $K=ℝ$ spricht man von reellen Vektorräumen und bei $K=ℂ$ von komplexen Vektorräumen. Bei reellen und komplexen Vektorräumen gibt es zusätzliche Strukturen wie Längen, Winkel, Skalarprodukt. Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper.

Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Dann ist die Produktmenge

$K^n=\underset{n\text{-mal}}{\underbrace{K\times \cdots \times K}}=\{(x_1,\dots ,x_n)\mid x_i\in K\}$

mit der komponentenweisen Addition und der durch

$s(x_1,\dots ,x_n)=(s{x}_1,\dots ,s{x}_n)$

definierten Skalarmultiplikation ein Vektorraum. Man nennt ihn den $n$-dimensionalen Standardraum. Insbesondere ist  $K^1=K$  selbst ein Vektorraum.

Der Nullraum $0$, der aus dem einzigen Element $0$ besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als $K^0=0$ auffassen.

Beispiel

Der Anschauungsraum (oder die Ebene), wie man ihn sich elementargeometrisch vorstellt, ist kein Vektorraum! Weder gibt es in ihm eine natürliche $0$ noch kann man zwei Punkte darin miteinander addieren oder einen Punkt mit einer Zahl multiplizieren. Dies sieht anders aus, wenn man nicht den Anschauungsraum betrachtet, sondern alle möglichen Parallelverschiebungen im Anschauungsraum. Eine solche elementar-geometrische Verschiebung verschiebt jeden Punkt in eine bestimmte, für alle Punkte gleiche Richtung. Eine solche Verschiebungsrichtung kann man sich als einen Pfeil vorstellen. Die Menge der Parallelverschiebungen kann man in natürlicher Weise zu einem Vektorraum über $ℝ$ machen. Der Nullvektor ist dann die Nullverschiebung, die also nichts verschiebt, sondern jeden Punkt an seinem Ort lässt. Die Addition von Verschiebungen ist die Hintereinanderausführung der Verschiebungen. Sie wird beschrieben, indem man das Ende des einen Verschiebungspfeils an die Spitze des anderen Verschiebungspfeils anlegt und den Gesamtpfeil betrachtet. Diese Verknüpfung ist kommutativ (Parallelogramm). Die Multiplikation mit einer positiven Zahl ist dann die Streckung oder Stauchung der Verschiebung um den als Skalar gegebenen Faktor, die Multiplikation mit einer negativen Zahl ist dann die Streckung oder Stauchung in die andere Richtung. Insbesondere ist das Negative einer Verschiebung die entgegengesetzte Verschiebung.

Wenn man allerdings im Anschauungsraum einen Punkt als Ursprungspunkt (oder Nullpunkt) auszeichnet, so kann man jeden Punkt mit dem Verbindungspfeil vom Ursprung zu diesem Punkt identifizieren und erhält dann eine Vektorraumstruktur auf dem Anschauungsraum.

Beispiel

Die komplexen Zahlen $ℂ$ bilden einen Körper und daher bilden sie einen Vektorraum über sich selbst. Andererseits sind die komplexen Zahlen gleich ${ℝ}^2$. Die Multiplikation einer komplexen Zahl $a+b\mathrm{i}$ mit einer reellen Zahl  $s=(s,0)$  geschieht komponentenweise, d.h. diese Multiplikation stimmt mit der skalaren Multiplikation auf ${ℝ}^2$ überein. Daher sind die komplexen Zahlen auch ein reeller Vektorraum. Unter Verwendung einer späteren Terminologie kann man sagen, dass $ℂ$ ein eindimensionaler komplexer Vektorraum ist und dass $ℂ$ ein zweidimensionaler reeller Vektorraum ist mit der reellen Basis $1$ und $i$.

Beispiel

Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten die Menge der Folgen in $K$, also

$V=\{x\mid x:\mathbb{N}\to K\text{ Abbildung}\}.$

Diese Menge ist mit komponentenweiser Addition, bei der also die Summe von zwei Folgen $x$ und $y$ durch

$(x+y{)}_n:=x_n+y_n$

erklärt wird, und mit der durch

$(\lambda x{)}_n:=\lambda x_n$

definierten Skalarmultiplikation ein Vektorraum.

Beispiel

Wir betrachten die Inklusion  $\mathbb{Q}\subseteq ℝ$  der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen. Mit der reellen Addition und mit der Multiplikation von rationalen Zahlen mit reellen Zahlen ist $ℝ$ ein $\mathbb{Q}$-Vektorraum, wie direkt aus den Körperaxiomen folgt. Dies ist ein ziemlich unübersichtlicher Vektorraum.

Vor dem nächsten Beispiel führen wir Polynome über einem Körper ein.

Definition (Polynom)

Es sei $K$ ein Körper. Ein Ausdruck der Form

$P=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2+\cdots +a_n{X}^n$

mit $a_i\in K\text{ und }n\in \mathbb{N}$

heißt Polynom in einer Variablen über $K$.

Ein Polynom $P$ definiert eine Polynomfunktion

$K⟶K,x⟼P(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i.$

Der Wert dieser Funktion an der Stelle $x$ ergibt sich also dadurch, dass man die Variable $X$ überall durch das Körperelement $x$ ersetzt. Achtung! Bei endlichen Körpern können verschiedene Polynome die gleiche Polynomfunktion definieren, so dass man zwischen Polynom und Polynomfunktion unterscheiden muss.

Beispiel

Es sei $R=K[X]$ die Menge aller Polynome in einer Variablen über dem Körper $K$. Man definiert eine Addition auf $R$, indem man zu zwei Polynomen

$P=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i\text{ und }Q=\sum _{i=0}^m{b}_i{x}^i$

folgendermaßen vorgeht. Es sei $n=max(n,m)$. Man kann dann $Q$ als eine Summe schreiben, die bis $n$ läuft, indem man die dazu benötigten Koeffizienten

$b_i$, $i>m$, gleich null setzt. Damit definiert man die Summe komponentenweise, also

$P+Q=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i+\sum _{i=0}^n{b}_i{x}^i.$

Des Weiteren kann man ein Polynom $P=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$ mit einem Skalar $\lambda \in K$ multiplizieren, indem man

$\lambda P:=\sum _{i=0}^n(\lambda a_i)X^i$

setzt. Man kann einfach nachprüfen, dass mit diesen Operationen ein Vektorraum vorliegt.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann gelten die folgenden Eigenschaften (dabei sei $v\in V$ und $s\in K$).

1. Es ist  $0v=0$. 
2. Es ist  $s0=0$. 
3. Es ist  $(-1)v=-v$. 
4. Aus  $s\ne 0$  und  $v\ne 0$  folgt  $sv\ne 0$. 

Beweis

Siehe Aufgabe 10.9.

$◻$

Erzeugendensysteme und Untervektorräume

Definition (Linearkombination)

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $v_1,\dots ,v_n$ eine Familie von Vektoren in $V$. Dann heißt der Vektor

$s_1{v}_1+s_2{v}_2+\cdots +s_n{v}_n\text{ mit }{s}_i\in K$

eine Linearkombination dieser Vektoren (zum Koeffiziententupel $(s_1,\dots ,s_n)$).

Zwei unterschiedliche Koeffiziententupel können denselben Vektor definieren.

Definition (Erzeugendensystem)

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann heißt eine Familie $v_i\in V$, $i\in I$, ein Erzeugendensystem von $V$, wenn man jeden Vektor  $v\in V$  als

$v=\sum _{j\in J}{s}_j{v}_j$

mit einer endlichen Teilfamilie  $J\subseteq I$  und mit  $s_j\in K$  darstellen kann.

Definition (Untervektorraum)

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine Teilmenge  $U\subseteq V$  heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

1.  $0\in U$. 
2. Mit  $u,v\in U$  ist auch  $u+v\in U$. 
3. Mit  $u\in U$  und  $s\in K$  ist auch  $su\in U$. 

Auf einem solchen Untervektorraum kann man die Addition und die skalare Multiplikation einschränken. Daher ist ein Untervektorraum selbst ein Vektorraum, siehe Aufgabe 10.3. Die einfachsten Untervektorräume in einem Vektorraum $V$ sind der Nullraum $0$ und der gesamte Vektorraum $V$.

Definition (Aufgespannter Unterraum)

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zu einer Familie $v_i$, $i\in I$, setzt man

$⟨v_i,i\in I⟩=\{\sum _{i\in J}{s}_i{v}_i\mid s_i\in K,J\subseteq I\text{ endliche Teilmenge}\}$

und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.

Der von der leeren Menge erzeugte Unterraum ist der Nullraum. Dieser wird ebenso von der $0$ erzeugt. Zu einem einzigen Vektor $v$ besteht der aufgespannte Raum aus $Kv=\{\lambda v\mid \lambda \in K\}$. Bei $v\ne 0$ ist dies eine Gerade, was wir im Rahmen der Dimensionstheorie noch präzisieren werden. Bei zwei Vektoren $v$ und $w$ hängt die „Gestalt“ des aufgespannten Raumes davon ab, wie die beiden Vektoren sich zueinander verhalten. Wenn sie beide auf einer Geraden liegen, d.h. wenn gilt $w=\lambda v$, so ist $w$ überflüssig und der von den beiden Vektoren erzeugte Unterraum stimmt mit dem von $v$ erzeugten Unterraum überein. Wenn dies nicht der Fall ist (und $v$ und $w$ nicht $0$ sind), so erzeugen die beiden Vektoren eine „Ebene“.

Wir fassen einige einfache Eigenschaften für Erzeugendensysteme und Unterräume zusammen.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Sei $U_j$, $j\in J$, eine Familie von Untervektorräumen. Dann ist auch der Durchschnitt

   $U=\bigcap _{j\in J}{U}_j$

   ein Untervektorraum.
2. Zu einer Familie $v_i$, $i\in I$, von Elementen in $V$ ist der erzeugte Unterraum ein Unterraum von $V$. Er stimmt mit dem Durchschnitt

   $\bigcap _{U\subseteq V\text{ Untervektorraum},v_i\in U\text{ für alle }i\in I}U$

   überein.
3. Die Familie $v_i$, $i\in I$, ist genau dann ein Erzeugendensystem von $V$, wenn

   $⟨v_i,i\in I⟩=V$

   ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 10.5.

$◻$

Beispiel

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei

$V=\{x\mid x:\mathbb{N}\to K\text{ Abbildung}\}$

die Menge der Folgen in $K$

(siehe Fakt *****.). Dann sind die beiden Teilmengen

$U=\{x\in V\mid x\text{ konvergiert in }K\}$

und

$C=\{x\in V\mid x\text{ ist Cauchy-Folge}\}$

Untervektorräume von $V$ mit $U\subseteq C$. Die erste Aussage folgt aus Lemma 7.10, für die zweite Aussage siehe Lemma 7.10.

Lineare Gleichungssysteme und Elimination

Definition (Lineare Gleichung)

Es sei $K$ ein Körper und  $a_1,\dots ,a_n\in K$.  Dann nennt man

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=0$

eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen $x_1,\dots ,x_n$ zu den Koeffizienten $a_j$, $j=1,\dots ,n$. Ein Tupel $({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\in K^n$ heißt Lösung der linearen Gleichung, wenn  $\sum _{j=1}^n{a}_j{\xi }_j=0$  ist.

Wenn  $c\in K$  ein weiteres Element ist, so heißt

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=c$

eine inhomogene lineare Gleichung und ein Tupel $({\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n)\in K^n$ heißt Lösung der inhomogenen linearen Gleichung, wenn  $\sum _{j=1}^n{a}_j{\zeta }_j=c$  ist.

Definition ((Inhomogenes) lineares Gleichungssystem)

Es sei $K$ ein Körper und  $a_{ij}\in K$  für $1\le i\le m$ und $1\le j\le n$. Dann nennt man

$\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =& 0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =& 0\end{array}$

ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen $x_1,\dots ,x_n$. Ein Tupel  $({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\in K^n$  heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn  $\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\xi }_j=0$  für alle  $i=1,\dots ,m$  ist.

Wenn  $(c_1,\dots ,c_m)\in K^m$  beliebig ist, so heißt

$\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =& c_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =& c_2\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =& c_m\end{array}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel  $({\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n)\in K^n$  heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn  $\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\zeta }_j=c_i$  für alle $i$ ist.

Ein lineares Gleichungssystem besitzt immer die sogenannte triviale Lösung $0=(0,\dots ,0)$. Ein inhomogenes Gleichungssystem braucht nicht unbedingt eine Lösung haben. Solche Gleichungssysteme treten immer wieder auf.

Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und  $m\in \mathbb{N}$.  Im $K^m$ seien $n$ Vektoren (oder $m$-Tupel)

$v_1=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{m1}\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ ⋮\\ a_{m2}\end{array}\right),\dots ,v_n=\left(\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\\ ⋮\\ a_{mn}\end{array}\right)$

gegeben und sei

$w=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_m\end{array}\right)$

ein weiterer Vektor. Wir wollen wissen, wann sich $w$ als Linearkombination der $v_j$ darstellen lässt. Es geht also um die Frage, ob es $n$ Elemente  $s_1,\dots ,s_n\in K$  mit der Eigenschaft

$s_1\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{m1}\end{array}\right)+s_2\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ ⋮\\ a_{m2}\end{array}\right)+\cdots +s_n\left(\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\\ ⋮\\ a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_m\end{array}\right)$

gibt. Die Gleichheit von Vektoren bedeutet, dass Übereinstimmung in jeder Komponente vorliegen muss, sodass dies zum linearen Gleichungssystem

$\begin{array}{ccc}{a}_{11}{s}_1+a_{12}{s}_2+\cdots +a_{1n}{s}_n& =& c_1\\ a_{21}{s}_1+a_{22}{s}_2+\cdots +a_{2n}{s}_n& =& c_2\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}{s}_1+a_{m2}{s}_2+\cdots +a_{mn}{s}_n& =& c_m\end{array}$

führt.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und

$\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =& 0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =& 0\end{array}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über $K$.

Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des $K^n$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

Beweis

Siehe Aufgabe 10.7.

$◻$

Man spricht daher auch vom Lösungsraum des Gleichungssystems. Insbesondere addiert man zwei lineare Gleichungen, indem man die zu einer Variablen gehörenden Koeffizienten jeweils miteinander addiert. Die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems ist kein Vektorraum. Dennoch gibt es auch dafür eine sinnvolle Addition, wobei man wieder die Koeffizienten zu den Variablen, aber auch die inhomogenen Koeffizienten miteinander addieren muss.

Definition (Äquivalente lineare Gleichungssysteme)

Es sei $K$ ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.

Die Äquivalenz von linearen Gleichungssystemen ist eine Äquivalenzrelation. Eine naheliegende Aufgabe ist es, zu einem linearen Gleichungssystem ein möglichst einfaches äquivalentes Gleichungssystem zu finden, und dieses dann zu „lösen“.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und

$\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =& c_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =& c_2\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =& c_m\end{array}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über $K$.

Dann führen die folgenden Manipulationen an diesem Gleichungssystem zu einem äquivalenten Gleichungssystem.

1. Das Vertauschen von zwei Gleichungen.
2. Die Multiplikation einer Gleichung mit einem Skalar  $s\ne 0$. 
3. Das einfache Weglassen einer Gleichung, die doppelt vorkommt.
4. Das Verdoppeln einer Gleichung (im Sinne von eine Gleichung zweimal hinschreiben).
5. Das Weglassen oder Hinzufügen einer Nullzeile (einer Nullgleichung).
6. Das Ersetzen einer Gleichung $H$ durch diejenige Gleichung, die entsteht, wenn man zu $H$ eine andere Gleichung $G$ des Systems addiert.

Beweis

Die meisten Aussagen sind direkt klar. (2) ergibt sich einfach daraus, dass, wenn

$\sum _{i=1}^n{a}_i{\xi }_i=c$

gilt, dann auch

$\sum _{i=1}^n(s{a}_i){\xi }_i=sc$

für jedes  $s\in K$  gilt. Bei  $s\ne 0$  kann man diesen Übergang durch Multiplikation mit $s^{-1}$ rückgängig machen.

(6). Es sei $G$ die Gleichung

$\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i=c$

und $H$ die Gleichung

$\sum _{i=1}^n{b}_i{x}_i=d.$

Wenn ein Tupel  $({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\in K^n$  die beiden Gleichungen erfüllt, so erfüllt es auch die Gleichung  $H^{\prime }=G+H$.  Und wenn das Tupel die beiden Gleichungen $G$ und $H^{\prime }$ erfüllt, so auch die Gleichung $G$ und $H=H^{\prime }-G$.

$◻$

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $S$ ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem über $K$ in den Variablen $x_1,\dots ,x_n$. Es sei $x$ eine Variable, die in mindestens einer Gleichung $G$ mit einem von $0$ verschiedenen Koeffizienten $a$ vorkommt.

Dann lässt sich jede von $G$ verschiedene Gleichung $H$ durch eine Gleichung $H^{\prime }$ ersetzen, in der $x$ nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem $S^{\prime }$, das aus $G$ und den Gleichungen $H^{\prime }$ besteht, äquivalent zum Ausgangssystem $S$ ist.

Beweis

Durch Umnummerieren kann man  $x=x_1$  erreichen. Es sei $G$ die Gleichung

$a{x}_1+\sum _{i=2}^n{a}_i{x}_i=b$

(mit $a\ne 0$) und $H$ die Gleichung

$c{x}_1+\sum _{i=2}^n{c}_i{x}_i=d.$

Dann hat die Gleichung

$H^{\prime }=H-\frac{c}{a}G$

die Gestalt

$\sum _{i=2}^n(c_i-\frac{c}{a}{a}_i)x_i=d-\frac{c}{a}b,$

in der $x_1$ nicht mehr vorkommt. Wegen  $H=H^{\prime }+\frac{c}{a}G$  sind die Gleichungssysteme äquivalent.

$◻$

Verfahren (Gauss'sches Eliminationsverfahren)  

Gegeben sei ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem $S$ über einem Körper $K$. Dann wendet man auf eine geeignete Variable $x$ Fakt ***** an und erhält ein äquivalentes Gleichungssystem bestehend aus einer linearen Gleichung $G_1$, in der $x$ vorkommt, und einer Menge $R_1$ von Gleichungen, in denen $x$ nicht vorkommt. Das System $S_1=\{G_1\}\cup R_1$ ist äquivalent zu $S$. Man wendet nun dieses Verfahren auf $R_1$ an (falls $R_1$ zwei von null verschiedene Gleichungen besitzt) und eliminiert dort eine weitere Variable, etc. So erhält man nach und nach Gleichungssysteme $R_i$ mit immer weniger Variablen und der Eigenschaft, dass $S_i=\{G_1,\dots ,G_i\}\cup R_i$ äquivalent zu $S$ ist. Man ist fertig, wenn man nicht mehr eliminieren kann, und dies ist genau dann der Fall, wenn in $R_i$ nur noch eine von null verschiedene Gleichung steht.

Insgesamt erhält man so ein äquivalentes Gleichungssystem in „Stufenform “, das man einfach lösen kann.

Fußnoten

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