Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 11

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei , , eine Familie von Vektoren in und ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie

ein Erzeugendensystem von ist und dass sich als Linearkombination der , , darstellen lässt. Zeige, dass dann schon , , ein Erzeugendensystem von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf , die durch

definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zeige, dass die Relation auf , die durch

eine Äquivalenzrelation ist. Was sind die Äquivalenzklassen?


Aufgabe

Sei ein Körper, ein -Vektorraum und , , eine Familie von Vektoren in . Beweise die folgenden Aussagen.

  1. Wenn die Familie linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge die Familie  , , linear unabhängig.
  2. Die leere Familie ist linear unabhängig.
  3. Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
  4. Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
  5. Ein Vektor ist genau dann linear unabhängig, wenn ist.
  6. Zwei Vektoren und sind genau dann linear unabhängig, wenn weder ein skalares Vielfaches von ist noch umgekehrt.


Aufgabe

Man gebe im drei Vektoren an, so dass je zwei von ihnen linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass die Standardbasis

eine

Basis des ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und sei , , eine Familie von Vektoren in . Es sei , , eine Familie von Elementen aus . Zeige, dass die Familie , , genau dann linear unabhängig (ein Erzeugendensystem von , eine Basis von ) ist, wenn dies für die Familie , , gilt.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit endlicher Dimension . Es seien Vektoren in gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. bilden eine Basis von .
  2. bilden ein Erzeugendensystem von .
  3. sind linear unabhängig.


Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung


Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems


Aufgabe

Zeige, dass im die drei Vektoren

eine Basis bilden.


Aufgabe

Bestimme, ob im die beiden Vektoren

eine Basis bilden.


Aufgabe

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Man finde ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau

ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei der -dimensionale Standardraum über und sei eine Familie von Vektoren. Zeige, dass diese Familie genau dann eine -Basis des ist, wenn diese Familie aufgefasst im eine -Basis des bildet.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob im die drei Vektoren

eine Basis bilden.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob im die beiden Vektoren

eine Basis bilden.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und sei

ein von verschiedener Vektor. Man finde ein lineares Gleichungssystem in Variablen mit Gleichungen, dessen Lösungsraum genau

ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren in und sei

der davon aufgespannte Untervektorraum. Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn die Dimension von gleich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.



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