- Aufwärmaufgaben
Es sei ein
Körper
und ein
-
Vektorraum. Es sei
, ,
eine Familie von Vektoren in und
ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie
-
ein
Erzeugendensystem
von ist und dass sich als
Linearkombination
der
, ,
darstellen lässt. Zeige, dass dann schon
, ,
ein Erzeugendensystem von ist.
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
, , eine Familie von Vektoren in . Beweise die folgenden Aussagen.
- Wenn die Familie
linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge die Familie
, , linear unabhängig.
- Die leere Familie ist linear unabhängig.
- Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
- Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
- Ein Vektor ist genau dann linear unabhängig, wenn ist.
- Zwei Vektoren
und sind genau dann linear unabhängig, wenn weder ein skalares Vielfaches von ist noch umgekehrt.
Man gebe im drei Vektoren an, so dass je zwei von ihnen
linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.
Es sei ein
Körper. Zeige, dass die
Standardbasis
-
eine
Basis des ist.
Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und sei
, , eine Familie von Vektoren in . Es sei
, , eine Familie von Elementen aus . Zeige, dass die Familie
, , genau dann
linear unabhängig
(ein
Erzeugendensystem von , eine
Basis von ) ist, wenn dies für die Familie , , gilt.
Es sei ein
Körper
und ein
-
Vektorraum mit endlicher
Dimension
. Es seien Vektoren in gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
- bilden eine
Basis
von .
- bilden ein
Erzeugendensystem
von .
- sind
linear unabhängig.
Bestimme eine
Basis
für den
Lösungsraum
der linearen Gleichung
-
Bestimme eine
Basis für den
Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
-
Zeige, dass im die drei Vektoren
-
eine
Basis
bilden.
Bestimme, ob im die beiden Vektoren
-
eine
Basis
bilden.
Man finde ein
Polynom
-
mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
-
Es sei ein
Körper. Man finde ein
lineares Gleichungssystem
in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau
-
ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Bestimme, ob im die drei Vektoren
-
eine
Basis
bilden.
Bestimme, ob im die beiden Vektoren
-
eine
Basis
bilden.
Es sei ein
Körper
und ein
-
Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren in und sei
-
der davon
aufgespannte Untervektorraum.
Zeige, dass die Familie genau dann
linear unabhängig
ist, wenn die
Dimension
von gleich ist.
Man finde ein
Polynom
-
mit
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
-