Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Testklausur

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Aufgabe * (3 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine surjektive Abbildung von in die Potenzmenge geben kann.


Aufgabe * (14 Punkte)

Betrachte auf die Relation

a) Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem ein äquivalentes Paar mit gibt.

c) Es sei die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

Zeige, dass injektiv ist.

d) Definiere auf (aus Teil c) eine Verknüpfung derart, dass mit dieser Verknüpfung und mit als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung die Beziehung

für alle gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für die Beziehung

gilt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise durch Induktion, dass für

die Abschätzung

gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und sei

der Vektorraum aller Folgen in (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

a) Zeige (ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden), dass die Menge der Nullfolgen, also

ein -Untervektorraum von ist.

b) Sind die beiden Folgen

linear unabhängig in ?


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei ein Erzeugendensystem von und es sei eine Familie von Vektoren in .

a) Zeige, dass es maximal eine lineare Abbildung

mit für alle

geben kann.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit für alle gibt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Aufgabe * (4 Punkte)

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume mit und . Welche Dimension besitzt der Produktraum ?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei der -Vektorraum der linearen Abbildungen von nach und es sei ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung

-linear ist.


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