Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Testklausur

Aufgabe * (3 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien $L, M, N$ Mengen und

f : L ⟶ M und g : M ⟶ N

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

g \circ f : L ⟶ N, x ⟼ g (f (x)) .

Zeige: Wenn $g \circ f$ injektiv ist, so ist auch $f$ injektiv.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $M$ eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine surjektive Abbildung von $M$ in die Potenzmenge $𝔓 (M)$ geben kann.

Aufgabe * (14 Punkte)

Betrachte auf $ℤ \times (ℤ ∖ {0})$ die Relation

(a, b) \sim (c, d), falls a d = b c ist .

a) Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem $(a, b)$ ein äquivalentes Paar $(a^{'}, b^{'})$ mit $b^{'} > 0$ gibt.

c) Es sei $M$ die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

φ : ℤ ⟶ M, z ⟼ [(z, 1)] .

Zeige, dass $φ$ injektiv ist.

d) Definiere auf $M$ (aus Teil c) eine Verknüpfung $+$ derart, dass $M$ mit dieser Verknüpfung und mit $[(0, 1)]$ als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung $φ$ die Beziehung

φ (z_{1} + z_{2}) = φ (z_{1}) + φ (z_{2})

für alle $z_{1}, z_{2} \in ℤ$ gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für $x \geq 3$ die Beziehung

x^{2} + (x + 1)^{2} \geq (x + 2)^{2}

gilt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise durch Induktion, dass für $n \geq 10$ die Abschätzung

3^{n} \geq n^{4}

gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

x_{n} = \frac{3 n^{3} - n^{2} - 7}{2 n^{3} + n + 8}

in $ℚ$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei

V = K^{ℕ_{+}}

der Vektorraum aller Folgen in $K$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

a) Zeige (ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden), dass die Menge der Nullfolgen, also

U = {(x_{n})_{n \in ℕ_{+}} ∣ (x_{n})_{n \in ℕ_{+}} konvergiert gegen 0}

ein $K$ -Untervektorraum von $V$ ist.

b) Sind die beiden Folgen

(1 / n)_{n \in ℕ_{+}} und (1 / n^{2})_{n \in ℕ_{+}}

linear unabhängig in $V$ ?

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt

(\begin{matrix} 2 - i & - 1 - 3 i & - 1 \\ i & 0 & 4 - 2 i \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 + i \\ 1 - i \\ 2 + 5 i \end{matrix}) .

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$ -Vektorräume und

φ : V ⟶ W

sei eine $K$ -lineare Abbildung. Zeige, dass $φ$ genau dann injektiv ist, wenn $kern φ = 0$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ . Es sei $v_{1}, \dots, v_{n}$ ein Erzeugendensystem von $V$ und es sei $w_{1}, \dots, w_{n}$ eine Familie von Vektoren in $W$ .

a) Zeige, dass es maximal eine lineare Abbildung

φ : V ⟶ W

mit $φ (v_{i}) = w_{i}$ für alle $i$ geben kann.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit $φ (v_{i}) = w_{i}$ für alle $i$ gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung

ℝ^{4} ⟶ ℝ^{3}, (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) ⟼ (\begin{matrix} 2 & 1 & 5 & 2 \\ 3 & - 2 & 7 & - 1 \\ 2 & - 1 & - 4 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) .

Aufgabe * (4 Punkte)

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

M = (\begin{matrix} 2 + 5 i & 1 - 2 i \\ 3 - 4 i & 6 - 2 i \end{matrix})

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem

M (\begin{matrix} z_{1} \\ z_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 54 + 72 i \\ 0 \end{matrix}) .

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$ -Vektorräume mit $\dim_{K} (V) = n$ und $\dim_{K} (W) = m$ . Welche Dimension besitzt der Produktraum $V \times W$ ?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ . Es sei ${Hom}_{K} (V, W)$ der $K$ -Vektorraum der linearen Abbildungen von $V$ nach $W$ und es sei $v \in V$ ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung

F : {Hom}_{K} (V, W) ⟶ W, φ ⟼ F (φ) := φ (v),

$K$ -linear ist.

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