Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Testklausur

Aufgabe * (3 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ injektiv ist, so ist auch ${}f$ injektiv.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine surjektive Abbildung von ${}M$ in die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ geben kann.

Aufgabe * (14 Punkte)

Betrachte auf ${}\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})$ die Relation

$(a,b)\sim (c,d),\,{\text{ falls }}ad=bc{\text{ ist}}.$

a) Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem ${}(a,b)$ ein äquivalentes Paar ${}(a',b')$ mit ${}b'>0$ gibt.

c) Es sei ${}M$ die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow M,\,z\longmapsto [(z,1)].$

Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

d) Definiere auf ${}M$ (aus Teil c) eine Verknüpfung ${}+$ derart, dass ${}M$ mit dieser Verknüpfung und mit ${}[(0,1)]$ als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung ${}\varphi$ die Beziehung

${}\varphi (z_{1}+z_{2})=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,$

für alle ${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$ gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für ${}x\geq 3$ die Beziehung

${}x^{2}+(x+1)^{2}\geq (x+2)^{2}\,$

gilt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise durch Induktion, dass für ${}n\geq 10$ die Abschätzung

${}3^{n}\geq n^{4}\,$

gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {3n^{3}-n^{2}-7}{2n^{3}+n+8}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei

${}V=K^{\mathbb {N} _{+}}\,$

der Vektorraum aller Folgen in ${}K$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

a) Zeige (ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden), dass die Menge der Nullfolgen, also

${}U={\left\{(x_{n})_{n\in \mathbb {N} _{+}}\mid (x_{n})_{n\in \mathbb {N} _{+}}{\text{ konvergiert gegen 0}}\right\}}\,$

ein ${}K$- Untervektorraum von ${}V$ ist.

b) Sind die beiden Folgen

$(1/n)_{n\in \mathbb {N} _{+}}{\text{ und }}(1/n^{2})_{n\in \mathbb {N} _{+}}$

linear unabhängig in ${}V$?

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}2-{\mathrm {i} }&-1-3{\mathrm {i} }&-1\\{\mathrm {i} }&0&4-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }\\1-{\mathrm {i} }\\2+5{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn ${}\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}V$ und es sei ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine Familie von Vektoren in ${}W$.

a) Zeige, dass es maximal eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

mit ${}\varphi (v_{i})=w_{i}$ für alle ${}i$ geben kann.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit ${}\varphi (v_{i})=w_{i}$ für alle ${}i$ gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}2&1&5&2\\3&-2&7&-1\\2&-1&-4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2+5{\mathrm {i} }&1-2{\mathrm {i} }\\3-4{\mathrm {i} }&6-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem

${}M{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}54+72{\mathrm {i} }\\0\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume mit ${}\dim _{K}{\left(V\right)}=n$ und ${}\dim _{K}{\left(W\right)}=m$. Welche Dimension besitzt der Produktraum ${}V\times W$?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ der ${}K$- Vektorraum der linearen Abbildungen von ${}V$ nach ${}W$ und es sei ${}v\in V$ ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung

$F\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow W,\,\varphi \longmapsto F(\varphi ):=\varphi (v),$

${}K$-linear ist.

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