Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 68

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren ${}(x_{1},y_{1})$ und ${}(x_{2},y_{2})$ die Determinante der durch die Vektoren definierten ${}2\times 2$ -Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmt.

${}\,$

Aufgabe *

Es seien ${}P_{1}=(a_{1},b_{1}),\,P_{2}=(a_{2},b_{2})$ und ${}P_{3}=(a_{3},b_{3})$ drei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$ . Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit ${}a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},a_{3},b_{3}$ dar.

Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren

(1,3,5){\text{ und }}(-2,4,1)

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelogramms (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).

Aufgabe *

Zeige, dass die Determinante einer linearen Isometrie

\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

gleich ${}1$ oder gleich ${}-1$ ist.

(Tipp: Betrachte ${}{L^{\text{tr}}}\circ L$ ).

Aufgabe

Es sei

L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

eine lineare Abbildung und ${}c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ . Zeige die Gleichheit ${}L_{*}(c\lambda ^{n})=c(L_{*}\lambda ^{n})$ .

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ . Zeige, dass es eine positive reelle Zahl ${}\kappa _{n}$ gibt derart, dass das ${}n$ -dimensionale Volumen einer abgeschlossenen Kugel im ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit Radius ${}r$ und mit einem beliebigen Mittelpunkt gleich ${}\kappa _{n}r^{n}$ ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

derart, dass ${}\varphi$ volumentreu, aber keine Isometrie ist.

Aufgabe

Es sei

\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

ein linearer Endomorphismus, der nicht bijektiv sei. Zeige, dass das Bildmaß ${}\varphi _{*}\lambda ^{n}$ nicht ${}\sigma$ - endlich ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das Volumen des von den Vektoren

(2,1,3,4),(4,0,-1,3){\text{ und }}(5,-2,-2,0)

im ${}\mathbb {R} ^{4}$ erzeugten Parallelotops (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren ${}(0,1),\,(2,0),\,(1,3)$ erzeugten „Pseudoparallelogramms“, also von

{}S={\left\{a(0,1)+b(2,0)+c(1,3)\mid a,b,c\in [0,1]\right\}}\,.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei

\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}

eine lineare Abbildung, die surjektiv, aber nicht injektiv sei. Zeige, dass das Bildmaß ${}\mu =\varphi _{*}\lambda ^{n}$ für jede Borelmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ durch

{}\mu (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}\lambda ^{m}(T)=0\,,\\\infty ,{\text{ falls }}\lambda ^{m}(T)>0\,,\end{cases}}\,

bestimmt ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}S={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}$ die Oberfläche der Einheitskugel. Zeige, dass das Volumen dieser Oberfläche ${}0$ ist.