Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Vorlesung 68

Das Verhalten von Maßen bei linearen Abbildungen

Lemma

Es sei ${}V$ ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und

$L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V$

eine bijektive lineare Abbildung. Dann gelten für das Bildmaß ${}L_{*}\lambda ^{n}$ des Borel-Lebesgue-Maßes ${}\lambda ^{n}$ unter ${}L$ folgende Eigenschaften.

1. ${}L_{*}\lambda ^{n}$ ist translationsinvariant.
2. Bei ${}V=\mathbb {R} ^{n}$ ist ${}L_{*}\lambda ^{n}={\frac {1}{\lambda ^{n}(P_{L})}}\cdot \lambda ^{n}$, wobei ${}P_{L}$ das von den Bildvektoren ${}L(e_{1}),\ldots ,L(e_{n})$ erzeugte Parallelotop bezeichnet.

Beweis

(1). Es sei ${}\tau _{v}$ die Translation um den Vektor ${}v\in V$. Es sei ${}w=L^{-1}(v)$. Dabei ist

${}\tau _{v}\circ L=L\circ \tau _{w}\,.$

Somit ist für eine beliebige messbare Menge ${}B\subseteq V$ aufgrund der Translationsinvarianz von ${}\lambda ^{n}$

${}{\begin{aligned}(L_{*}\lambda ^{n})(B+v)&=\lambda ^{n}{\left(L^{-1}(B+v)\right)}\\&=\lambda ^{n}{\left(\tau _{w}^{-1}{\left(L^{-1}(B+v)\right)}\right)}\\&=\lambda ^{n}{\left(L^{-1}{\left(\tau _{v}^{-1}(B+v)\right)}\right)}\\&=\lambda ^{n}(L^{-1}(B))\\&=(L_{*}\lambda ^{n})(B).\end{aligned}}$

(2) folgt aus (1) mit Korollar 67.13.

$\Box$

Satz

Es sei

$L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine lineare Abbildung.

Dann gilt für jede messbare Menge ${}S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Beziehung

${}\lambda ^{n}(L(S))=\vert {\det L}\vert \cdot \lambda ^{n}(S)\,.$

Beweis

Wenn ${}L$ nicht bijektiv ist, so steht links und rechts einfach ${}0$, wie aus Lemma 67.11 und Satz 14.13 folgt. Wir können also annehmen, dass ${}L$ bijektiv ist. Dann kann man die Aussage mit dem Bildmaß als

${}L_{*}\lambda ^{n}={\frac {1}{\vert {\det L}\vert }}\lambda ^{n}\,$

formulieren.
Aufgrund von Satz 13.13 in Verbindung mit Lemma 13.15 gibt es Elementarmatrizen ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ und eine Diagonalmatrix ${}D$ mit ${}L=E_{1}\circ \cdots \circ E_{\ell }\circ D\circ E_{\ell +1}\circ \cdots \circ E_{k}$ Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes und wegen Lemma 64.9 und Aufgabe 68.5 genügt es, die Aussage für Diagonalmatrizen und Elementarmatrizen zu beweisen.

Wegen Lemma 68.1 ist also für diese Matrizen zu zeigen, dass das Volumen des von den Bildvektoren der Standardvektoren erzeugten Parallelotops gleich dem Betrag der Determinante der Matrix ist. Für eine Diagonalmatrix ist das erzeugte Parallelotop der Quader, dessen Seitenlängen die Beträge der Diagonaleinträge sind, sodass das Volumen das Produkt davon ist. Nach Lemma 14.8 ist die Determinante das Produkt der Diagonaleinträge, sodass im Betrag Gleichheit gilt. Damit gilt die Aussage auch für eine elementare Skalierungsmatrix, die ja eine Diagonalmatrix ist.

Da die Determinante der übrigen Elementarmatrizen ${}1$ oder ${}-1$ ist, müssen wir zeigen, dass das Volumen des von den Spaltenvektoren einer solchen Elementarmatrix erzeugten Parallelotops gleich ${}1$ ist. Dies ist klar für den Typ (1), also für die elementare Vertauschungsmatrix, da es sich um den Einheitswürfel handelt, wobei lediglich die Reihenfolge der erzeugenden Vektoren geändert wird. Es bleibt also eine elementare Scherungsmatrix ${}A_{ij}(a)$ mit ${}a\neq 0$ und ${}i\neq j$ zu betrachten. Wegen (Wir notieren nur die zweidimensionale Situation, da sich alles in zwei Zeilen und zwei Spalten abspielt)

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{-1}&1\\0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{-1}&0\\0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und dem schon bewiesenen kann man ${}a=1$ annehmen. Ferner kann man durch umnummerieren annehmen, dass ${}i=1$ und ${}j=2$ ist. Es geht dann um das Volumen des von

$e_{1},e_{1}+e_{2},e_{3},\ldots ,e_{n}$

erzeugten Parallelotops, also um

${}{\begin{aligned}P&={\left\{t_{1}e_{1}+t_{2}(e_{1}+e_{2})+t_{3}e_{3}+\cdots +t_{n}e_{n}\mid t_{i}\in [0,1]\right\}}\\&={\left\{(t_{1}+t_{2})e_{1}+t_{2}e_{2}+t_{3}e_{3}+\cdots +t_{n}e_{n}\mid t_{i}\in [0,1]\right\}}\\&={\left\{se_{1}+t_{2}e_{2}+t_{3}e_{3}+\cdots +t_{n}e_{n}\mid t_{i}\in [0,1]{\text{ für }}i\geq 2,\,s\in [0,2],\,t_{2}\leq s\leq 1+t_{2}\right\}}.\end{aligned}}$

Wir betrachten

${}H_{1}={\left\{se_{1}+t_{2}e_{2}+t_{3}e_{3}+\cdots +t_{n}e_{n}\mid t_{i}\in [0,1]{\text{ für }}i\geq 2,\,s\in [0,1],\,t_{2}\geq s\right\}}\,$

und

${}H_{2}={\left\{se_{1}+t_{2}e_{2}+t_{3}e_{3}+\cdots +t_{n}e_{n}\mid t_{i}\in [0,1]{\text{ für }}i\geq 2,\,s\in [1,2],\,s\geq 1+t_{2}\right\}}\,.$

Dann ist

${}[0,2]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1]=H_{1}\cup P\cup H_{2}\,,$

wobei die Durchschnitte dieser drei Mengen jeweils in einer Hyperebene enthalten sind und daher nach Lemma 67.11 das Maß ${}0$ besitzen. Also ist einerseits

${}\lambda ^{n}(P)=2-\lambda ^{n}(H_{1})-\lambda ^{n}(H_{2})\,.$

Andererseits geht ${}H_{2}$ durch verschieben um ${}e_{1}$ aus

${}G_{2}={\left\{se_{1}+t_{2}e_{2}+t_{3}e_{3}+\cdots +t_{n}e_{n}\mid t_{i}\in [0,1]{\text{ für }}i\geq 2,\,s\in [0,1],\,s\geq t_{2}\right\}}\,$

hervor und besitzt damit wegen der Translationsinvarianz dasselbe Volumen wie ${}G_{2}$. Da ${}H_{1}\cup G_{2}$ der Einheitswürfel ist, wobei der Durchschnitt wieder in einer Hyperebene liegt, ist

${}\lambda ^{n}(H_{1})+\lambda ^{n}(H_{2})=\lambda ^{n}(H_{1})+\lambda ^{n}(G_{2})=1\,$

und somit ist ${}\lambda ^{n}(P)=1$.

$\Box$

Insbesondere kann man das Maßverhältnis bei einer linearen Abbildung mit einer beliebigen Teilmenge mit positivem Maß im Definitionsraum ablesen.

Korollar

Bei einer Streckung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,v\longmapsto av,$

um den Streckungsfaktor ${}a\in \mathbb {R}$ gilt für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

die Formel

${}\lambda ^{n}(\varphi (T))=\vert {a}\vert ^{n}\cdot \lambda ^{n}(T)\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Satz 68.2.

$\Box$

Korollar

Eine lineare Isometrie

$L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ist volumentreu.

Beweis

Dies folgt wegen Lemma 68.1 und Satz 68.2 aus Aufgabe 68.4.

$\Box$

Korollar

Eine Drehung

$D(\alpha )\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

(die durch eine Drehmatrix ${\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ gegeben ist)

ist flächentreu.

Beweis

Dies folgt wegen Satz 68.2 aus Satz 25.11(6).

$\Box$

Beispiel

Ein achsenparalleles Ellipsoid wird im ${}\mathbb {R} ^{3}$ durch

${}E={\left\{(x,y,z)\mid ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\leq r^{2}\right\}}\,$

mit ${}a,b,c>0$ beschrieben. Es ist das Bild der Einheitskugel

${}K_{3}={\left\{(u,v,w)\mid u^{2}+v^{2}+w^{2}\leq 1\right\}}\,$

unter der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,{\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {a}}}&0&0\\0&{\frac {r}{\sqrt {b}}}&0\\0&0&{\frac {r}{\sqrt {c}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}},$

also mit ${}x={\frac {r}{\sqrt {a}}}u$, ${}y={\frac {r}{\sqrt {b}}}v$ und ${}z={\frac {r}{\sqrt {c}}}w$. Nach Satz 68.2 ist daher das Volumen dieses Ellipsoids gleich

${}\operatorname {vol} \,(E)={\frac {r^{3}}{\sqrt {abc}}}\cdot \operatorname {vol} \,(K_{3})\,.$

Das Volumen der Einheitskugel ist ${}{\frac {4}{3}}\pi$, siehe Beispiel 73.4.

Volumina in euklidischen Räumen

Auf jedem reellen ${}n$-dimensionalen Vektorraum ${}V$ kann man ein sinnvolles Maß definieren, indem man eine Isomorphie

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V$

nimmt und das Bildmaß zum Borel-Lebesgue-Maß nimmt. Dieses Maß ist allerdings abhängig von der gewählten Isomorphie, bei zwei verschiedenen Isomorphien unterscheiden sich die so gewonnenen Maße um einen skalaren Faktor. Bei euklidischen Räumen kann man aber mit Hilfe von Orthonormalbasen ein kanonisches Borel-Lebesgue-Maß definieren.

Satz

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes translationsinvariantes Maß ${}\lambda _{V}$ auf den Borelmengen von ${}V$, das jedem von einer Orthonormalbasis aufgespannten Parallelotop den Wert ${}1$ zuweist.

Beweis

Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$ und es sei

$L_{u}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto u_{i},$

die dadurch definierte lineare Isometrie. Dann ist das Bildmaß ${}L_{u*}\lambda ^{n}$ nach Lemma 68.1 translationsinvariant und besitzt auf dem von den ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ erzeugten Parallelotop den Wert ${}1$. Es bleibt also zu zeigen, dass dieses Maß auch jedem anderen orthonormalen Parallelotop den Wert ${}1$ zuweist. Es sei also ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine weitere Orthonormalbasis mit dem zugehörigen Parallelotop ${}P_{v}$ und der zugehörigen Isometrie

$L_{v}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto v_{i}.$

Dann ist

${}L_{u}^{-1}(P_{v})={\left(L_{v}^{-1}\circ L_{u}\right)}^{-1}{\left(L_{v}^{-1}(P_{v})\right)}={\left(L_{v}^{-1}\circ L_{u}\right)}^{-1}(E)\,,$

wobei ${}E$ den Einheitswürfel im ${}\mathbb {R} ^{n}$ bezeichnet. Da ${}L_{v}^{-1}\circ L_{u}$ eine Isometrie des ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist, folgt die Aussage aus Korollar 68.4.

$\Box$

Das in dieser Aussage für euklidische Vektorräume definierte Maß heißt ebenfalls Borel-Lebesgue-Maß.

Satz

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und sei ${}P$ das davon erzeugte Parallelotop.

Dann gilt für das Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda _{V}$ auf ${}V$

${}\lambda _{V}(P)={\left(\det(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\,.$

Beweis

Die Positivität der Determinante der Gramschen Matrix folgt aus Korollar 47.2. Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$ und es sei

${}v_{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{kj}u_{k}\,.$

Die Spalten der Matrix ${}A=(a_{kj})_{kj}$ sind also die Koeffizienten von ${}v_{j}$ bezüglich der gegebenen Orthonormalbasis. Nach Satz 68.2 und aufgrund der Definition des Maßes ${}\lambda _{V}$ in Satz 68.7 ist somit

${}\lambda _{V}(P)=\vert {\det A}\vert \,.$

Wegen

${}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\left\langle \sum _{k=1}^{n}a_{ki}u_{k},\sum _{k=1}^{n}a_{kj}u_{k}\right\rangle =\sum _{k=1}^{n}a_{ki}a_{kj}\,$

ist

${}{A^{\text{tr}}}A=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{ij}\,.$

Nach Satz 15.6 ist ${}\det A=\det {A^{\text{tr}}}$, sodass sich die Aussage aus Satz 15.4 ergibt.

$\Box$

Die vorstehende Aussage erlaubt es, auch bei ${}k<n$ das ${}k$-dimensionale Maß eines ${}k$-dimensionalen Parallelotops im ${}\mathbb {R} ^{n}$ auszurechnen (ihr ${}n$-dimensionales Maß ist ${}0$, da sie in einem echten Untervektorraum liegen). Die einfachste Situation liegt bei ${}k=1$ vor, dann handelt es sich um eine einfache Längenberechnung mit Hilfe des Skalarproduktes. Ein typischeres Beispiel ist die Flächenberechnung eines Parallelogramms im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Beispiel

Wir betrachten das von den Vektoren ${}{\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}}$ aufgespannte Parallelogramm im ${}\mathbb {R} ^{3}$. Nach Satz 68.8 müssen wir die Skalarprodukte dieser Vektoren berechnen. Es ist

$\left\langle {\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}}\right\rangle =13,\,\left\langle {\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}}\right\rangle =2,\,\left\langle {\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}}\right\rangle =21.$

Dies führt zur Matrix

${\begin{pmatrix}13&2\\2&21\end{pmatrix}}$

mit der Determinante ${}269$. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist also ${}{\sqrt {269}}$.

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