Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 67

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien und zwei halboffene Intervalle (mit und ). Beschreibe den Durchschnitt als eine disjunkte Vereinigung von halboffenen Intervallen.


Aufgabe

Es sei das Mengensystem, das aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von offenen, abgeschlossenen, einseitig halboffenen, leeren, beschränkten oder unbeschränkten reellen Intervallen besteht. Zeige, dass eine Mengenalgebra ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine beschränkte Teilmenge , die man als eine abzählbare disjunkte Vereinigung von rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben kann, aber nicht als eine endliche Vereinigung.


Aufgabe

Es sei eine messbare beschränkte Teilmenge. Zeige, dass ist.


Aufgabe

Es seien endlich viele linear unabhängige Vektoren gegeben und es sei

das dadurch erzeugte Parallelotop. Zeige, dass beschränkt ist.


Aufgabe

Es sei , , eine nichtleere offene Teilmenge. Zeige, dass ist. Zeige ebenso, dass dies für abgeschlossene Mengen nicht gelten muss.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein -endliches Maß auf an, das auf allen Intervallen mit positiver Länge den Wert besitzt.


Aufgabe

Es seien und reelle Vektorräume und

eine injektive lineare Abbildung. Zeige, dass das Bild eines Parallelotops wieder ein Parallelotop ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass sich eine Teilmenge genau dann als eine endliche Vereinigung von rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben lässt, wenn dies mit endlich vielen disjunkten rechtsseitig halboffenen Intervallen möglich ist.


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei der Mengen-Präring aller Teilmengen , die sich als eine endliche Vereinigung von (rechtsseitig) halboffenen Intervallen schreiben lassen. Beweise folgende Aussagen.

  1. Die zu über eine Zerlegung in disjunkte halboffene Intervalle

    definierte Zahl

    ist wohldefiniert.

  2. Durch die Zuordnung wird ein Prämaß auf diesem Präring definiert.


Die Cantor-Menge ist das Endprodukt des in dieser Skizze angedeuteten Ausdünnungsprozesses.

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Die Cantor-Menge ist definiert durch

a) Zeige, dass überabzählbar ist.

b) Zeige, dass eine Borel-Menge ist.

c) Zeige .


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine Basis des . Zeige, dass das von diesen Vektoren erzeugte Parallelotop einen achsenparallelen Würfel (mit positiver Länge) enthält.


Aufgabe (12 Punkte)

Es sei ein Maß auf dem , das für alle offenen Bällen mit dem Borel-Lebesgue-Maß übereinstimmt. Zeige .

(Für den zweidimensionalen Fall gibt es 10 Punkte.)

Aufgabe (6 Punkte)

Man gebe eine Beispiel für eine offene Menge , deren Abschluss das Einheitsintervall ist, deren Borel-Lebesgue-Maß aber kleiner als ist.



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