Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/27/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 3 2 4 1 3 4 2 3 4 5 2 5 5 4 2 4 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Teilmenge einer Menge .
  2. Der Betrag einer komplexen Zahl .
  3. Eine reelle Potenzreihe.
  4. Die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt .

  5. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  6. Die Dimension eines -Vektorraums ( besitze ein endliches Erzeugendensystem).


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
  2. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion
    auf einem reellen Intervall .
  3. Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten -Vektorraum .


Aufgabe * (2 Punkte)

Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise durch Induktion die folgende Formel für .


Aufgabe * (2 Punkte)

Die Biologin Sandra O'Neil ist eine renommierte Forscherin über Bakterien. Ihr Institut hat ein hochauflösendes Mikroskop erworben, das auf dem Bildschirm die Wirklichkeit im Verhältnis wiedergibt. Auf dem Bildschirm ist die Geißel des Bakteriums cm lang und dreimal so lang wie das Bakterium selbst. Auf dem Bakterium befindet sich ein roter Punkt, dessen Flächeninhalt auf dem Bildschirm Quadratzentimeter einnimmt.

  1. Wie lang ist das Bakterium in Wirklichkeit?
  2. Welchen Flächeninhalt hat der rote Punkt in Wirklichkeit?


Aufgabe * (4 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe * (1 Punkt)

Negiere die Aussage, dass eine Folge in einem angeordneten Körper gegen konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.


Aufgabe * (3 Punkte)

Eine reelle Folge sei durch einen Anfangswert und durch die Rekursionsvorschrift

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und , . Zeige, dass es dann Elemente mit gibt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ist?


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktion.


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es seien

zwei differenzierbare Funktionen und sei

a) Drücke die Ableitung mit den Ableitungen von und aus.

b) Sei nun

Berechne auf zwei verschiedene Arten, einerseits über und andererseits über die Formel aus Teil .


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.

b) Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.

c) Bestimme das Bild von .

d) Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.

e) Skizziere den Funktionsgraphen von .


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

ein normiertes Polynom vom Grad und die Sinusfunktion. Zeige, dass die Graphen von und von maximal zwei Schnittpunkte besitzen.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein reelles Intervall und sei

eine stetige Funktion. Es sei und es sei

die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann differenzierbar ist und dass für alle gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Menge der Diagonalmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller -Matrizen über ist und bestimme seine Dimension.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine -Matrix über dem Körper . Es sei

für jede -Matrix vom Rang . Zeige


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.