Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/27/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	4	1	3	4	2	3	4	5	2	5	5	4	2	4	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion die folgende Formel für ${}n\geq 1$ .

{}\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}\,.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Die Biologin Sandra O'Neil ist eine renommierte Forscherin über Bakterien. Ihr Institut hat ein hochauflösendes Mikroskop erworben, das auf dem Bildschirm die Wirklichkeit im Verhältnis ${}3:10^{7}$ wiedergibt. Auf dem Bildschirm ist die Geißel des Bakteriums ${}21$ cm lang und dreimal so lang wie das Bakterium selbst. Auf dem Bakterium befindet sich ein roter Punkt, dessen Flächeninhalt auf dem Bildschirm ${}2$ Quadratzentimeter einnimmt.

Wie lang ist das Bakterium in Wirklichkeit?
Welchen Flächeninhalt hat der rote Punkt in Wirklichkeit?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Führe in ${}{\mathbb {C} }[X]$ die Division mit Rest „ ${}P$ durch ${}T$ “ für die beiden Polynome ${}P=X^{4}+{\mathrm {i} }X^{3}+X^{2}+(1-3{\mathrm {i} })X+3$ und ${}T=X^{2}+(1-{\mathrm {i} })X+2$ durch.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Negiere die Aussage, dass eine Folge ${}x_{n}$ in ${}\mathbb {R}$ gegen ${}x$ konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch einen Anfangswert ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ und durch die Rekursionsvorschrift

{}x_{n+1}=-x_{n}\,

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}b\in K$ , ${}b>1$ . Zeige, dass es dann Elemente ${}c,d>1$ mit ${}b=cd$ gibt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ${}42$ ist?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktion.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

zwei differenzierbare Funktionen und sei

{}h(x)=(g(f(x)))^{2}f(g(x))\,.

a) Drücke die Ableitung ${}h'$ mit den Ableitungen von ${}f$ und ${}g$ aus.

b) Es sei nun

f(x)=x^{2}-1{\text{ und }}g(x)=x+2.

Berechne ${}h'(x)$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über ${}h(x)$ und andererseits über die Formel aus Teil a).

Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-{\frac {1}{x}}}.

Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.
Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.
Bestimme das Bild von ${}f$ .
Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.
Skizziere den Funktionsgraphen von ${}f$ .

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin ^{2}\left(\cos x\right).

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

{}g(x)=x^{2}+ax+b\,

ein normiertes Polynom vom Grad ${}2$ und ${}h(x)=\sin x$ die Sinusfunktion. Zeige, dass die Graphen von ${}g$ und von ${}h$ maximal zwei Schnittpunkte besitzen.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion. Es sei ${}a\in I$ und es sei

{}F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,

die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann ${}F$ differenzierbar ist und dass ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in I$ gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das inhomogene Gleichungssystem

{\begin{matrix}-x&+2y&+z&+3w&=&-1\\x&+3y&-2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\\3x&-5y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\2x&+y&\,\,\,\,-z&+3w&=&0\,.\end{matrix}}

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$ . Zeige, dass die Menge der Diagonalmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller ${}n\times n$ - Matrizen über ${}K$ ist und bestimme seine Dimension.