Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesung 21/latex

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\setcounter{section}{21}






\zwischenueberschrift{Ableitung von Potenzreihen}

Viele wichtige Funktionen wie die Exponentialfunktion oder die trigonometrischen Funktionen werden durch eine Potenzreihe dargestellt. Der folgende Satz zeigt, dass diese Funktionen differenzierbar sind und ihre Ableitung durch diejenige Potenzreihe dargestellt wird, die sich durch gliedweises Ableiten ergibt.

\inputfaktbeweis
{Reelle Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x) }
{ \defeq} { \sum _{ n= 0}^\infty a_n x^{ n } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{,}}
\faktvoraussetzung {die auf dem \definitionsverweis {offenen Intervall}{}{}
\mathl{]- r,r[}{} \definitionsverweis {konvergiere}{}{} und dort die Funktion \maabb {f} {]-r,r[ } {\R } {} darstellt.}
\faktfolgerung {Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{g}(x) }
{ \defeq} { \sum_{n = 1}^\infty n a_n x^{n-1} }
{ } { }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{} auf
\mathl{]-r,r[}{} konvergent. Die Funktion $f$ ist in jedem Punkt dieses Intervalls \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x) }
{ =} { \tilde{ g}(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Der Beweis erfordert ein genaues Studium von Potenzreihen.

}





\inputfaktbeweis
{Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Die \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {} { \R} {\R } {x} { \exp x } {,}}
\faktfolgerung {ist \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \!'( x ) }
{ =} { \exp x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Aufgrund von Satz 21.1 ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \exp \!'( x) }
{ =} { { \left(\sum_{ n =0}^\infty \frac{ x^{ n } }{n!}\right) }' }
{ =} { \sum_{n = 1 }^\infty { \left(\frac{ x^n}{n !}\right) }' }
{ =} { \sum_{n = 1 }^\infty \frac{n }{n !} x^{n-1} }
{ =} { \sum_{n = 1 }^\infty \frac{1 }{(n-1) !} x^{n-1} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ n =0}^\infty \frac{ x^{ n } }{n!} }
{ =} { \exp x }
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}


\inputfaktbeweis
{Natürlicher Logarithmus/Ableitung/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} des \definitionsverweis {natürlichen Logarithmus}{}{} \maabbeledisp {\ln} {\R_+} {\R } {x} { \ln x } {,}}
\faktfolgerung {ist \maabbeledisp {\ln \!'} {\R_+} {\R } {x} { \frac{1}{x} } {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 21.3. }





\inputfaktbeweis
{Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R_+ } {x} {x^\alpha } {,} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} und ihre \definitionsverweis {Ableitung}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x) }
{ =} { \alpha x^{\alpha -1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Nach Definition 17.15 ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^\alpha }
{ =} { \exp \left( \alpha \, \ln x \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} nach $x$ ist aufgrund von Satz 21.2 und Korollar 21.3 unter Verwendung der Kettenregel gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x^\alpha \right) }' }
{ =} { { \left( \exp \left( \alpha \, \ln x \right) \right) }' }
{ =} { \frac{\alpha}{x} \cdot \exp \left( \alpha\, \ln x \right) }
{ =} { \frac{\alpha}{x} x^\alpha }
{ =} { \alpha x^{\alpha -1} }
} {}{}{.}

}


\inputfaktbeweis
{Reelle Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{} \maabbeledisp {} { \R} {\R } {x} { \sin x } {,} ist \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin \!'( x) }
{ =} { \cos x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{}\maabbeledisp {} { \R} {\R } {x} { \cos x } {,} ist differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos \!'( x ) }
{ =} { - \sin x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 21.4. }







\zwischenueberschrift{Die Zahl $\pi$ }

Die Zahl $\pi$ ist der Flächeninhalt bzw. der halbe Kreisumfang eines Kreises mit Radius $1$. Um darauf eine präzise Definition dieser Zahl aufzubauen müsste man zuerst die Maßtheorie \zusatzklammer {bzw. die Länge von \anfuehrung{krummen Kurven}{}} {} {} entwickeln. Auch die trigonometrischen Funktionen haben eine intuitive Interpretation am Einheitskreis, doch auch diese setzt das Konzept der Bogenlänge voraus. Ein alternativer Zugang ist es, die Zahl $\pi$ über analytische Eigenschaften der durch ihre Potenzreihen definierten Funktionen Sinus und Kosinus zu definieren und dann erst nach und nach die Beziehung zum Kreis herzustellen.





\inputfaktbeweis
{Reelle Kosinusfunktion/Genau eine Nullstelle zwischen 0 und 2/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Die \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{}}
\faktfolgerung {besitzt im \definitionsverweis {reellen}{}{} \definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{[0,2]}{} genau eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Wir betrachten die \definitionsverweis {Kosinusreihe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos x }
{ =} { \sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } x^{2n} }{(2n)!} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 0 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kann man geschickt klammern und erhält
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \cos 2 }
{ =} {1- \frac{2^2}{2!} + \frac{2^4}{4!} - \frac{2^6}{6!} + \frac{2^8}{8!} - \ldots }
{ =} {1- \frac{2^2}{2!} { \left( 1 - \frac{ 4}{3 \cdot 4} \right) } - \frac{2^6}{6!} { \left( 1- \frac{4}{7 \cdot 8} \right) } - \ldots }
{ =} { 1 - 2 ( 2/3) - \ldots }
{ \leq} { - 1/3 }
} {} {}{.} Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also mindestens eine Nullstelle im angegebenen Intervall.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Zum Beweis der Eindeutigkeit betrachten wir die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} des Kosinus, diese ist nach Satz 21.5
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos ' x }
{ =} { - \sin x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es genügt zu zeigen, dass der Sinus im Intervall
\mathl{]0,2[}{} positiv ist, denn dann ist das Negative davon stets negativ und der Kosinus ist dann nach Satz 20.7 im angegebenen Intervall \definitionsverweis {streng fallend}{}{,} so dass es nur eine Nullstelle gibt. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{ {]0,2]} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sin x }
{ =} { x- \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots }
{ =} { x { \left( 1- \frac{x^2}{3!} \right) } + \frac{x^5}{5!} { \left( 1- \frac{x^2}{6 \cdot 7} \right) } + \ldots }
{ \geq} { x { \left( 1- \frac{4}{3!} \right) } + \frac{x^5}{5!} { \left( 1- \frac{4}{6 \cdot 7} \right) } + \ldots }
{ \geq} { x/3 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ >} {0 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}}
{}

}







\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Pi pie2.eps} }
\end{center}
\bildtext {Eine rationale Approximation der Zahl $\pi$ auf einem $\pi$-Pie.} }

\bildlizenz { Pi pie2.jpg } {Pi_pie2} {GJ} {engl. Wikipedia} {PD} {}





\inputdefinition
{}
{

Es sei $s$ die eindeutig bestimmte \definitionsverweis {reelle}{}{} \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} aus dem \definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{[0,2]}{.} Die \definitionswort {Kreiszahl}{} $\pi$ ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi }
{ \defeq} { 2s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert.

}





\inputfaktbeweis
{Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in $\R$ folgende
\betonung{Periodizitätseigenschaften}{.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( x+2 \pi \right) }
{ = }{ \cos x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( x+2 \pi \right) }
{ = }{ \sin x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( x + \pi \right) }
{ = }{ - \cos x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( x + \pi \right) }
{ = }{ - \sin x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( x + \pi/2 \right) }
{ = }{ - \sin x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( x + \pi/2 \right) }
{ = }{ \cos x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 0 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \pi/2 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \pi }
{ = }{ -1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 3\pi/2 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 2 \pi }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin 0 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \pi/2 }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \pi }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin 3\pi/2 }
{ = }{ -1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin 2 \pi }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Aufgrund der Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\cos x )^2 + ( \sin x)^2 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( \sin \frac{\pi}{2} \right) }^2 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \frac{\pi}{2} }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} wegen der Überlegung im Beweis zu Fakt *****. Daraus folgen mit den Additionstheoremen die in (3) angegebenen Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus, beispielsweise ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos \left( z + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
{ =} { \cos \left( z \right) \cos \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) - \sin \left( z \right) \sin \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
{ =} { - \sin \left( z \right) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es genügt daher, die Aussagen für den Kosinus zu beweisen. Alle Aussagen folgen dann aus der Definition von $\pi$ und aus (3). Dass die trigonometrischen Funktionen außer den angegebenen reellen Nullstellen keine weiteren Nullstellen in
\mathl{{\mathbb C} \setminus \R}{} besitzen wurde in Aufgabe ***** bewiesen.

}







\zwischenueberschrift{Die inversen trigonometrischen Funktionen}


\inputfaktbeweis
{Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Die \definitionsverweis {reelle Sinusfunktion}{}{}}
\faktfolgerung {induziert eine \definitionsverweis {bijektive}{}{,} \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} Funktion \maabbdisp {} {[- \pi/2, \pi/2]} {[-1,1] } {,} und die \definitionsverweis {reelle Kosinusfunktion}{}{} induziert eine bijektive streng fallende Funktion \maabbdisp {} {[0,\pi]} {[-1,1] } {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 21.12. }







\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Arcsine.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Arcsine.svg } {} {Geek3} {Commons} {CC-by-sa3.0} {}







\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Arccosine.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Arccosine.svg } {} {} {Commons} {} {}


Aufgrund der Bijektivität von Sinus und Kosinus auf geeigneten Intervallen gibt es die folgenden Umkehrfunktionen.


\inputdefinition
{}
{

Die \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{} der reellen \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{} ist \maabbeledisp {} { [-1,1]} {[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] } {x} { \arcsin x } {,} und heißt \definitionswort {Arkussinus}{.}

}




\inputdefinition
{}
{

Die \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{} der reellen \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} ist \maabbeledisp {} {[-1,1]} {[0, \pi] } {x} { \arccos x } {,} und heißt \definitionswort {Arkuskosinus}{.}

}






\zwischenueberschrift{Die Taylor-Formel}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Taylor_Brook_Goupy_NPG.eps} }
\end{center}
\bildtext {Brook Taylor (1685-1731)} }

\bildlizenz { Taylor Brook Goupy NPG.jpg } {Louis Goupy} {Astrochemist} {Commons} {PD} {}


Zu einer konvergenten Potenzreihe\zusatzfussnote {Bisher haben wir nur Potenzreihen der Form
\mathl{\sum_{k=0}^\infty c_k x^k}{} betrachtet; die Variable $x$ darf jetzt auch durch die \anfuehrung{verschobene Variable}{} \mathlk{x-a}{} ersetzt werden, um das lokale Verhalten im Entwicklungspunkt $a$ beschreiben zu können} {.} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ \defeq} { \sum _{ k= 0}^\infty c_k (x-a)^{ k } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bilden die Teilpolynome
\mathl{\sum_{k=0}^n c_k (x-a)^k}{} polynomiale Approximationen für die Funktion $f$ im Punkt $a$. Ferner ist $f$ in $a$ beliebig oft differenzierbar und die Ableitungen lassen sich aus der Potenzreihe ablesen. Wir fragen uns nun umgekehrt, inwiefern man aus den höheren Ableitungen einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion approximierende Polynome \zusatzklammer {oder eine Potenzreihe} {} {} erhalten kann. Dies ist der Inhalt der \stichwort {Taylor-Entwicklung} {.}


\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Intervall}{}{,} \maabbdisp {f} {I} { \R } {} eine $n$-mal \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_{ a,n } ( f) ( x ) }
{ \defeq} { \sum_{ k = 0}^{ n } \frac{ f^{( k )}(a)}{ k !} (x-a)^{ k } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das \definitionswort {Taylor-Polynom vom Grad}{}\zusatzfussnote {Oder genauer das Taylor-Polynom vom Grad $\leq n$. Wenn die $n$-te Ableitung in $a$ null ist, so besitzt das $n$-te Taylor-Polynom einen Grad kleiner als $n$} {.} {} $n$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.

}

Das Taylor-Polynom zum Grad $n$ ist dasjenige \zusatzklammer {eindeutig bestimmte} {} {} Polynom vom Grad $\leq n$, das mit $f$ an der Stelle $a$ bis zur $n$-ten Ableitung übereinstimmt.





\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Reelle Funktion/Taylor-Formel/(n+1)-mal stetig differenzierbar/Lagrange/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $I$ ein \definitionsverweis {reelles}{}{} \definitionsverweis {Intervall}{}{,} \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine
\mathl{(n+1)}{-}mal \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein innerer Punkt des Intervalls.}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mathdisp {f( x) = \sum_{ k = 0}^{ n } \frac{ f^{( k )}(a)}{ k !} (x-a)^{ k } + \frac{ f^{ (n+1) } ( c )}{ (n+1)! } (x-a)^{ n+1 }} { . }
}
\faktzusatz {Dabei kann $c$ zwischen \mathkor {} {a} {und} {x} {} gewählt werden.}
\faktzusatz {}

}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \neq }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} fixiert. In Anlehnung an die zu beweisende Aussage betrachten wir zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} den Ausdruck
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ g_r(u) }
{ \defeq} { f(x) - f(u) -f'(u) \cdot (x-u) - \frac{ f^{(2)}(u) }{2!} (x-u)^2- \ldots - \frac{ f^{(n)}(u) }{n!}(x-u)^n - \frac{r}{(n+1)! } (x-u)^{n+1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} den wir als Funktion in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auffassen. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_r(x) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und wir wählen $r$ so, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_r(a) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, was möglich ist. Die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(u) }
{ \defeq} {g_r(u) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist auf dem Teilintervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {]a,x[} }
{ \subseteq }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {bzw. \mathlk{]x,a[}{,} falls
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x }
{ < }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist} {.} {} differenzierbar \zusatzklammer {nach $u$} {} {} und besitzt an den beiden Intervallgrenzen den Wert $0$. Nach dem Satz von Rolle gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \in }{ {]a,x[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g'(c) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

Aufgrund der Produktregel und der Kettenregel ist \zusatzklammer {Ableitung nach $u$} {} {}
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ { \left( \frac{f^{(k)}(u) }{k!} (x-u)^k\right) }' }
{ =} { \frac{f^{(k+1)}(u) }{k!} (x-u)^k - \frac{f^{(k)} (u)}{(k-1)!} (x-u)^{k-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher heben sich in der Ableitung von $g$ die meisten Terme weg und es ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g'(u) }
{ =} { - \frac{f^{(n+1)}(u) }{n!} (x-u)^n + \frac{r }{n!} (x-u)^{n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Aus der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {g'(c) }
{ =} { - \frac{f^{(n+1)}(c) }{n!} (x-c)^n + \frac{r }{n!} (x-c)^{n} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ = }{ f^{(n+1)}(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wenn wir dies und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ = }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in die Anfangsgleichung einsetzen und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_r(a) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ausnutzen, so ergibt sich die Behauptung.

}





\inputfaktbeweis
{Reelle Funktion/Taylor-Formel/(n+1)-mal stetig differenzierbar/Fehlerabschätzung mit Betragsmaximum/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei $I$ ein \definitionsverweis {beschränktes}{}{} \definitionsverweis {abgeschlossenes Intervall}{}{,} \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine
\mathl{(n+1)}{-}mal \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {innerer Punkt}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B }
{ \defeq }{ {\max { \left( \betrag { f^{(n+1)}(c) } , c \in I \right) } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt zwischen
\mathl{f(x)}{} und dem $n$-ten \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} die Fehlerabschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x) - \sum_{ k = 0}^{ n } \frac{ f^{( k )}(a)}{ k !} (x-a)^{ k } } }
{ \leq} { \frac{B}{ (n+1)!}\betrag { x-a }^{n+1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Zahl $B$ existiert aufgrund von Satz 16.10, da nach Voraussetzung die
\mathl{(n+1)}{-}te Ableitung
\mathl{f^{(n+1)}}{} stetig auf dem \definitionsverweis {kompakten}{}{} Intervall $I$ ist. Die Aussage folgt somit direkt aus Satz 21.13.

}




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