Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 6/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne im Polynomring das Produkt


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper gilt: Wenn beide ungleich sind, so ist auch .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Setze in das Polynom die Zahl ein.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass

eine Nullstelle des Polynoms

ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die komplexe Zahl ersetzt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung (also das Einsetzen eines Polynoms in ein weiteres) von zwei Polynomen wieder ein Polynom ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom durch teilt?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass jedes Polynom eine Produktzerlegung

mit und einem nullstellenfreien Polynom besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen und die zugehörigen Exponenten bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.


Die Exponenten heißen dabei die Nullstellenordnung der Nullstelle im Polynom.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien und verschiedene normierte Polynome vom Grad über einem Körper . Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass in Linearfaktoren zerfällt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei eine Nullstelle von . Zeige, dass dann auch die konjugiert-komplexe Zahl eine Nullstelle von ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Aufgabe Aufgabe 6.18 ändern

Es sei ein angeordneter Körper und der Polynomring über . Sei

Zeige, dass die drei folgenden Eigenschaften besitzt.

  1. Entweder ist oder oder .
  2. Aus folgt .
  3. Aus folgt .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei der Polynomring über einem Körper . Zeige, dass die Menge

wobei zwei Brüche und genau dann als gleich gelten, wenn ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne in die folgenden Ausdrücke.

  1. Das Produkt
  2. Die Summe
  3. Das Inverse von


Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Graphen der folgenden rationalen Funktionen

wobei jeweils das Komplement der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms sei.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. .


Aufgabe Aufgabe 6.22 ändern

Es sei ein angeordneter Körper, der Polynomring und

der Körper der rationalen Funktionen über . Zeige unter Verwendung von Aufgabe 6.18, dass man zu einem angeordneten Körper machen kann, der nicht archimedisch angeordnet ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei eine reelle Zahl, . Beweise für durch Induktion die Beziehung


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne die Hintereinanderschaltungen und der beiden rationalen Funktionen


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei rationalen Funktionen wieder rational ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne im Polynomring das Produkt


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Formel

für ungerade.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad oder schreiben kann.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man finde ein Polynom vom Grad , für welches

gilt.