Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 25/latex
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Wir beschreiben verschiedene Berechnungen von Kohomologien auf Mannigfaltigkeiten und speziell riemannschen Flächen. Ein wichtiges Hilfsmittel im reellen Fall ist die Partition der Eins, was auch für den komplexen Fall unmittelbar Auswirkungen besitzt.
\zwischenueberschrift{Partition der Eins}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.}
Eine Familie von Funktionen
\maabbdisp {h_j} {X} {\R
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt eine \definitionswort {Partition der Eins}{,} wenn folgende Eigenschaften gelten.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h_j(X)
}
{ \subseteq }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Jeder Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die
\definitionsverweis {eingeschränkten Funktionen}{}{}
\mathl{h_j {{|}}_{ U }}{} bis auf endlich viele Ausnahmen die Nullfunktion sind.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{j \in J} h_j
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} Wenn alle $h_j$ \definitionsverweis {stetig}{}{} sind, so spricht man von einer \definitionswort {stetigen Partition der Eins}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} W_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
eines
\definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{}
$X$. Eine
\definitionsverweis {Partition der Eins}{}{}
\maabbdisp {h_j} {X} {\R
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt eine \definitionswort {der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins}{,} wenn es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Menge
\mathl{W_{i(j)}}{} aus der Überdeckung derart gibt, dass der
\definitionsverweis {Träger}{}{}
von $h_j$ in
\mathl{W_{i(j)}}{} liegt.
}
\inputfakt{Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Überdeckung/Partition/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {abzählbaren Basis}{}{}
der Topologie.}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Partition der Eins}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
Es gibt auch differenzierbare und $C^\infty$-Versionen dieses Satzes.
\inputfaktbeweis
{Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Unendlich/Abzählbare Topologie/Erste Kohomologie/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ eine reelle
$C^\infty$-\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {abzählbaren Basis der Topologie}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für die
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
der
$C^\infty$-\definitionsverweis {differenzierbaren Funktionen}{}{}
${ \mathcal E }$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^1 (M, { \mathcal E } )
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir verwenden
Satz 22.6
und arbeiten mit Čech-Kohomologie. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
und sei ein
\definitionsverweis {Čech-Kozykel}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h_{ij}
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U_{ij}, { \mathcal E } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Wir arbeiten mit der $C^\infty$-Version der Partition der Eins, siehe
Satz 25.3.
Es sei also
\mathbed {g_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {}
eine Partition der Eins, die der offenen Überdeckung $U_i$ untergeordnet ist. Wir arbeiten mit der neuen Indexmenge $J$ über
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U_j
}
{ \defeq} { U_{i(j)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
somit ist der Träger von $g_j$ in $U_j$. Die $U_j$ bilden ebenfalls eine offene Überdeckung und es liegt eine
\definitionsverweis {Verfeinerung}{}{}
der Ausgangsüberdeckung mit der Verfeinerungsabbildung
\mathl{j \mapsto i(j)}{} vor
\zusatzklammer {es kommen die gleichen Mengen vor, nur eventuell mehrfach} {} {.}
Wir arbeiten mit dem Kozykel auf der Verfeinerung und nennen die Indexmenge wieder $I$.
Wir betrachten die Funktionen
\mathl{g_j h_{ij}}{,} diese ist auf $U_i \cap U_j$ definiert, kann aber durch $0$ auf ganz $U_i$ fortgesetzt werden.
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_i
}
{ =} { \sum_{j \in I } g_j h_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was wegen der lokalen Endlichkeit wohldefiniert ist und somit eine $C^\infty$-Funktion auf $U_i$ ist. Die Kozykelbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h_{ij}
}
{ = }{ h_{ik} -h_{jk}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{U_i \cap U_j \cap U_k}{} überträgt sich durch Multiplikation mit $g_k$ auf $U_i \cap U_j$, da außerhalb von $U_k$ beide Seiten zu $0$ werden. Damit ist auf
\mathl{U_i \cap U_j}{}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ h_{ij}
}
{ =} { \sum_{k \in I} g_k h_{ij}
}
{ =} { \sum_{k \in I} g_k { \left( h_{ik} -h_{jk} \right) }
}
{ =} { \sum_{k \in I} g_k h_{ik} - \sum_{k \in I} g_k h_{jk}
}
{ =} { f_i-f_j
}
}
{}
{}{}
und die durch den Kozykel definierte Kohomologieklasse ist trivial.
\inputfaktbeweis
{Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Garbe/Erste Kohomologie/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{}}
\faktvoraussetzung {mit einer
\definitionsverweis {abzählbaren Basis}{}{}
der Topologie.}
\faktfolgerung {Dann gilt für die erste Kohomologie der Garbe der reell unendlich oft differenzierbaren Funktionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^1(M, { \mathcal E } )
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 25.4, da man für die komplexwertigen Funktionen die Zerlegung in Real- und Imaginärteil hat.
Von nun an setzen wir stets voraus, dass riemannsche Flächen eine abzählbare Basis der Topologie haben. Dies ist im kompakten Fall und auch für jede offene Teilmenge von ${\mathbb C}$ erfüllt und wird häufig von vornherein zur Definition einer riemannschen Fläche hinzugenommen.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Strukturgarbe/Kohomologie/Dolbeault-Auflösung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Auf einer
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
$X$ gilt}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^1(X, {\mathcal O}_{ X } )
}
{ \cong} { \Gamma { \left( X, { \mathcal E }^{(0,1)} \right) } / d^a { \left( \Gamma { \left( X, { \mathcal E } \right) } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus der Exaktheit des Komplexes
\zusatzklammer {siehe
Satz 16.14} {} {}
\mathdisp {0 \longrightarrow {\mathcal O}_{ X } \longrightarrow { \mathcal E } \stackrel{d^a}{\longrightarrow } { \mathcal E }^{(0,1)} \longrightarrow 0} { , }
aus
Satz 25.5
und aus der langen exakten Kohomologiesequenz.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/C/Strukturgarbe/Kohomologie/Trivial/Dolbeault-Auflösung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Für die
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
${\mathbb C}$ gilt}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^1( {\mathbb C} , {\mathcal O}_{ {\mathbb C} } )
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt wegen Korollar 25.6 aus Satz 16.13.
\inputbemerkung
{}
{
Mit Partitionen der Eins kann man auch zeigen, dass für die Garben der $C^\infty$-Funktionen und der $C^\infty$-Differentialformen vom Grad $d$ auf einer reellen $C^\infty$-Mannigfaltigkeit $M$ alle höheren Kohomologien gleich $0$ sind. Für eine riemannsche Fläche folgt daher aus
Satz 16.14
mit den Ausschnitten
\zusatzklammer {für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mathdisp {H^{i-1} (X, { \mathcal E } ) = 0 \stackrel{\delta}{\longrightarrow} H^{i} (X, {\mathcal O}_{ X } ) \longrightarrow H^{i+1} (X, { \mathcal E }^{(0,1)} ) =0} { }
aus der langen Kohomologiesequenz sofort
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^{i} (X, {\mathcal O}_{ X } )
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für höherdimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten sind auch höhere Kohomologien der Strukturgarbe wichtig.
}
\zwischenueberschrift{Der de Rham-Komplex}
Auf einer $C^\infty$-\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} $M$ bilden die \zusatzklammer {reell- oder komplexwertigen} {} {} $k$-\definitionsverweis {Differentialformen}{}{} eine \definitionsverweis {Garbe}{}{} $U \mapsto { \mathcal E }^{ k } ( U )$. Die \definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} definiert einen Garbenhomomorphismus \maabbdisp {d} {{ \mathcal E^k } } {{ \mathcal E^{k+1 }} } {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine
$n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{}
$C^\infty$-\definitionsverweis {reelle Mannigfaltigkeit}{}{.}
Man nennt den durch die
\definitionsverweis {äußeren Ableitungen}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {Garbenkomplex}{}{}
\mathdisp {0 \longrightarrow { \mathcal E } \stackrel{d}{\longrightarrow} { \mathcal E^{(1)} } \stackrel{d}{\longrightarrow} { \mathcal E^{(2)} } \stackrel{d}{\longrightarrow} \ldots \stackrel{d}{\longrightarrow} { \mathcal E^{(n-1)} } \stackrel{d}{\longrightarrow} { \mathcal E^{(n)} } \stackrel{d}{\longrightarrow} 0} { }
den
\definitionswort {de-Rham-Komplex}{}
auf $M$.
}
Wichtige Eigenschaften der äußeren Ableitung werden in
Satz 86.4 (Analysis (Osnabrück 2014-2016))
formuliert. Ferner ist wegen des Lemmas von Poincaré für Differentialformen der Komplex ab der Stelle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als Garbenkomplex exakt. Öfters ergänzt man links den Komplex durch die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in $\R$ oder in ${\mathbb C}$, um überall Exaktheit zu erreichen. In der gegebenen Form ist der Komplex aber gerade eine Auflösung dieser lokal konstanten Garbe. Die globale Auswertung ist im Allgemeinen nicht exakt, vielmehr die Grundlage für die Einführung der de-Rham-Kohomologie.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine
$n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{}
$C^\infty$-\definitionsverweis {reelle Mannigfaltigkeit}{}{.}
Man definiert über den
\definitionsverweis {de-Rham-Komplex}{}{}
die $i$-te
\definitionswort {de-Rham-Kohomologie}{}
von $M$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^i_{dR} (M)
}
{ \defeq} { \operatorname{kern} \left( { \mathcal E^{(i)} } { \left( M \right) } \stackrel{d}{\longrightarrow} { \mathcal E^{(i+1)} } { \left( M \right) } \right) / \operatorname{bild} { \left( { \mathcal E^{(i-1)} } { \left( M \right) } \stackrel{d}{\longrightarrow} { \mathcal E^{(i)} } { \left( M \right) } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Eine $i$-te de Rham-Kohomoloieklasse wird also durch eine geschlossene $i$-te Differentialform $\omega$ repräsentiert, wobei zwei Differentialformen die gleiche Klasse definieren, wenn ihre Differenz eine exakte Differentialform ist.
Für eine riemannsche Fläche ist die komplexwertige Version des de-Rham-Komplexes
\zusatzklammer {mit den lokal konstanten Funktionen} {} {}
gleich
\mathdisp {0 \longrightarrow {\mathbb C} \longrightarrow { \mathcal E } \stackrel{d}{ \longrightarrow } { \mathcal E }^{(1)} \stackrel{d}{ \longrightarrow } { \mathcal E }^{(2)} \longrightarrow 0} { . }
Die Kerngarbe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal Z }
}
{ \defeq} { \operatorname{kern} \left( { \mathcal E }^{(1)} \stackrel{d}{ \longrightarrow } { \mathcal E }^{(2)} \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Garbe der geschlossenen differenzierbaren komplexwertigen $1$-Formen. Mit ${ \mathcal Z }$ kann man diesen exakten Komplex in zwei kurze exakte Garbensequenzen aufspalten, nämlich
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathbb C} \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal E } \, \stackrel{ d }{\longrightarrow} \, { \mathcal Z } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
und
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal Z } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal E^{(1)} } \, \stackrel{ d }{\longrightarrow} \, { \mathcal E^{(2)} } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { . }
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Lokal konstante Funktionen/de-Rham-Kohomologie/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Für die
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
der lokal konstanten ${\mathbb C}$-wertigen Funktionen auf einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$ gilt}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^1(X, {\mathbb C} )
}
{ =} { H^1_{dR} (X)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^2(X, {\mathbb C} )
}
{ =} { H^2_{dR} (X)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir arbeiten mit der kurzen exakten Garbensequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathbb C} \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal E } \, \stackrel{ d }{\longrightarrow} \, { \mathcal Z } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { , }
die sich aus dem
\zusatzklammer {komplexwertigen} {} {}
\definitionsverweis {de-Rham-Komplex}{}{}
ergibt, wenn man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal Z }
}
{ \defeq }{ \operatorname{kern} \left( { \mathcal E }^{(1)} \stackrel{d}{ \longrightarrow } { \mathcal E }^{(2)} \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt. Aufgrund der langen exakten Kohomologiesequenz in Verbindung mit
Satz 25.4
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^1(X, {\mathbb C})
}
{ =} { H^0(X, { \mathcal Z } )/ \operatorname{bild} { \left( H^0(X,{ \mathcal E }) \stackrel{d}{\longrightarrow} H^0(X, { \mathcal Z } ) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen der Linksexaktheit der globalen Auswertung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^0(X, { \mathcal Z } )
}
{ =} { \operatorname{kern} \left( H^0(X,{ \mathcal E }^{(1)} ) \stackrel{d}{ \longrightarrow } H^0(X,{ \mathcal E }^{(2)} ) \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit stimmt der obige Ausdruck mit der Definition der ersten de-Rham-Kohomologie überein. Für den zweiten Teil siehe
Aufgabe 25.8.
\zwischenueberschrift{Divisoren, invertierbare Garben und Kohomologie}
In
Lemma 19.11
wurde auf einer
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
die
\definitionsverweis {kurze exakte Garbensequenz}{}{}
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ X } ^{\times} \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal M }_X ^{\times} \, \stackrel{ \operatorname{div} { \left( - \right) } }{\longrightarrow} \, { \mathcal Div }_X \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
betrachtet.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Divisoren/Kohomologie/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Auf einer
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$}
\faktfolgerung {gibt es die
\definitionsverweis {exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0 \longrightarrow H^0(X, {\mathcal O}_{ X } ^{\times} ) \longrightarrow H^0(X, { \mathcal M }_X ^{\times} ) \stackrel{ \operatorname{div} { \left( - \right) } }{\longrightarrow} \operatorname{Div} { \left( X \right) } \stackrel{\delta}{\longrightarrow} H^1(X, {\mathcal O}_{ X } ^{\times} ) \longrightarrow H^1(X, { \mathcal M }_X ^{\times} ) \longrightarrow 1} { . }
Insbesondere gibt es eine kurze exakte Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \operatorname{DKG} { \left( X \right) } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, H^1(X, {\mathcal O}_{ X } ^{\times} ) \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, H^1(X, { \mathcal M }_X ^{\times} ) \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die
\definitionsverweis {lange exakte Kohomologiesequenz}{}{}
zur
\definitionsverweis {kurzen exakten Garbensequenz}{}{}
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ X } ^{\times} \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal M }_X ^{\times} \, \stackrel{ \operatorname{div} { \left( - \right) } }{\longrightarrow} \, { \mathcal Div }_X \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
ist
\mathdisp {0 \longrightarrow H^0(X, {\mathcal O}_{ X } ^{\times} ) \longrightarrow H^0(X, { \mathcal M }_X ^{\times} ) \stackrel{ \operatorname{div} { \left( - \right) } }{\longrightarrow} \operatorname{Div} { \left( X \right) } \stackrel{\delta}{\longrightarrow} H^1(X, {\mathcal O}_{ X } ^{\times} ) \longrightarrow H^1(X, { \mathcal M }_X ^{\times} ) \longrightarrow 0} { , }
wobei die $0$ rechts auf der Welkheit der Divisorengarbe beruht. Der Zusatz folgt unmittelbar aus der Definition der Divisorenklassengruppe.
Nach
Beispiel 21.10
in Verbindung mit
Satz 22.6
ist $H^1(X, {\mathcal O}_{ X }^\times )$ isomorph zur Gruppe von Isomorphieklassen von invertierbaren Garben mit dem Tensorprodukt als Verknüpfung. Der verbindende Homomorphismus
\maabbdisp {\delta} { \operatorname{Div} { \left( X \right) } } { H^1(X, {\mathcal O}_{ X }^\times )
} {}
stimmt im Wesentlichen mit der Zuordnung aus der
Definition 20.14
überein. In
Bemerkung 26.13
wird erläutert, dass im kompakten Fall sogar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{DKG} { \left( X \right) }
}
{ \cong} { H^1(X, {\mathcal O}_{ X } ^{\times} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
gilt.
\zwischenueberschrift{Die Exponentialsequenz}
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Holomorphe Exponentialsequenz/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Auf einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}}
\faktfolgerung {liegt die lange exakte Sequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow H^0(X,\Z) \longrightarrow H^0 (X, {\mathcal O}_{ X } ) \longrightarrow H^0(X, {\mathcal O}_{ X } ^{\times} ) \stackrel{\delta}{\longrightarrow} H^1(X,\Z) \longrightarrow H^1 (X, {\mathcal O}_{ X } ) \longrightarrow H^1(X, {\mathcal O}_{ X } ^{\times} ) \cong \operatorname{Pic} { \left( X \right) } \longrightarrow H^2 (X, \Z) \longrightarrow 0} { }
vor.}
\faktzusatz {Wenn $X$
\definitionsverweis {kompakt}{}{}
ist, so ist
\mathdisp {0 \longrightarrow H^1(X,\Z) \longrightarrow H^1 (X, {\mathcal O}_{ X } ) \longrightarrow H^1(X, {\mathcal O}_{ X } ^{\times} ) \cong \operatorname{Pic} { \left( X \right) } \longrightarrow H^2 (X, \Z) \longrightarrow 0} { }
exakt.}
\faktzusatz {}
}
{
Die holomorphe Exponentialsequenz
\zusatzklammer {siehe
Beispiel 11.14} {} {}
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Z \, \stackrel{ 2 \pi { \mathrm i} }{ \longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ X } \, \stackrel{ \exp \left( - \right) }{\longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ X }^{\times} \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
ergibt die angegebene
\definitionsverweis {lange exakte Kohomologiesequenz}{}{,}
wobei man die Sequenz wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^2(X, {\mathcal O}_{ X } )
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
abbrechen kann. Es sei nun $X$ kompakt, wir können zusätzlich
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
annehmen. Dann sind die Anfangsterme der Sequenz nach
Satz 3.7
gleich
\mathdisp {0 \longrightarrow \Z \stackrel{2 \pi { \mathrm i} }{\longrightarrow} {\mathbb C} \longrightarrow {\mathbb C} ^{\times}} { . }
Nach
Aufgabe 1.4
ist die hintere Abbildung
\definitionsverweis {surjektiv}{}{,}
man kann also die weitere Sequenz \anfuehrung{neu}{} bei $0$ beginnen lassen.
Man kann ferner zeigen, dass im kompakten Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H^2(X, \Z)
}
{ \cong }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\zusatzklammer {für die projektive Gerade siehe
Aufgabe 21.6} {} {.}
Die letzte Abbildung ist dabei die Gradabbildung im Sinne von
Definition 20.18.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Kreisscheibe}{}{}
mit zwei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ U_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $\gamma$ die
\zusatzklammer {auf der Karte} {} {}
lineare Verbindung von $Q$ nach $P$. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U_2
}
{ \defeq} { X \setminus \gamma([0,1])
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
insbesondere bilden die beiden offenen Mengen
\mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
von $X$. Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U_1 \cap U_2
}
{ =} { U_1 \setminus \gamma([0,1])
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
homöomorph zu einer mit einem abgeschlossenen Intervall geschlitzten Kreisscheibe. Eine holomorphe Funktion $h$ auf
\mathl{U_1 \cap U_2}{} definiert als
\definitionsverweis {Čech-Kozykel}{}{}
eine erste Kohomologieklasse von
\mathl{H^1(X, {\mathcal O}_{ X } )}{} und eine nullstellenfreie holomorphe Funktion darauf definiert eine erste Kohomologieklasse von
\mathl{H^1(X, {\mathcal O}_{ X }^{\times} )}{.} Unter der langen exakten Sequenz zur Exponentialsequenz
\zusatzklammer {siehe
Lemma 25.13} {} {}
wird $h$ auf $e^h$ abgebildet. Dabei wird die in
Beispiel 13.16
eingeführte Funktion
\mathl{\ln \left( z-P \right) - \ln \left( z-Q \right)}{,} aufgefasst auf $U_1 \cap U_2$, auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e^{ \ln \left( z-P \right) - \ln \left( z-Q \right) }
}
{ =} { { \frac{ z-P }{ z-Q } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
abgebildet, was eine Kohomologieklasse in
\mathl{H^1(X, {\mathcal O}_{ X }^\times )}{} definiert. Wir verwenden
Lemma 25.12
und betrachten den
\definitionsverweis {Divisor}{}{}
$P-Q$. Dieser ist auf $U_1$ der Hauptdivisor zu ${ \frac{ z-P }{ z-Q } }$ und auf $U_2$ der Hauptdivisor zu $1$. Somit wird dieser Divisor unter dem verbindenden Homomorphismus auf diese Kohomologieklasse abgebildet.
}