Mannigfaltigkeiten mit Rand/Einführung/Textabschnitt

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Eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand. Der Rand besteht aus den vier geschlossenen Bögen.


Definition  

Seien und . Ein topologischer Hausdorff-Raum zusammen mit einer offenen Überdeckung und Karten

wobei die offene Mengen im euklidischen Halbraum der Dimension sind, und mit der Eigenschaft, dass die Übergangsabbildungen

-Diffeomorphismen sind, heißt -Mannigfaltigkeit mit Rand oder differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand (vom Grad ), oder berandete Mannigfaltigkeit. Die Menge der Karten , , nennt man auch den -Atlas der berandeten Mannigfaltigkeit.

Da auch offene Mengen im Halbraum zugelassen sind, die den Rand gar nicht treffen, umfasst dieser Begriff den der differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Bei einer Mannigfaltigkeit mit Rand kann der Rand (den wir gleich in naheliegender Weise definieren) eben auch leer sein. Dies ist genau bei den „gewöhnlichen“ differenzierbaren Mannigfaltigkeiten der Fall.


Definition  

Sei eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Dann ist der Rand von , geschrieben , definiert als

Dabei kann man auf jeder Karte testen, ob ein gegebener Punkt ein Randpunkt ist.



Lemma  

Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Ein Punkt ist genau dann ein Randpunkt, wenn dies für jede Karte, deren Kartengebiet den Punkt beinhaltet, gilt.
  2. Der Rand ist abgeschlossen.
  3. Das Komplement ist eine differenzierbare Mannigfaltikeit (ohne Rand).

Beweis  

(1). Es sei und ein Kartengebiet mit zwei Karten

und

mit und offen in euklidischen Halbräumen . Die Kartenwechselabbildung ist ein Diffeomorphismus, und das heißt nach Aufgabe für jeden Punkt , dass es offene Umgebungen und in gibt mit und eine diffeomorphe Ausdehnung

von . Daher ist offen in .

Sei nun und mit den eben erwähnten Eigenschaften gewählt. Wenn kein Randpunkt in der ersten Karte ist, so ist eine offene Umgebung und damit ist eine offene Umgebung in . Ferner ist . D.h. besitzt eine in offene Umgebung innerhalb von und kann daher nach Aufgabe auch in der zweiten Karte kein Randpunkt sein.
(2). Sei und sei ein Kartengebiet mit dem Homöomorphismus

mit offen. Da kein Randpunkt ist, ist die erste Komponente von positiv und daher gibt es eine offene Menge . Daher ist eine offene Umgebung von , die (nach Teil 1) den Rand nicht trifft.
(3). Für jeden Punkt kann man wie in (2) ein Kartengebiet angeben, das disjunkt zum Rand ist und dessen Kartenbild eine offene Menge im ist. Daher liegt eine Mannigfaltigkeit (ohne Rand) vor.


Auch die Begriffe differenzierbare Abbildung und Tangentialraum übertragen sich auf eine Mannigfaltigkeit mit Rand.



Lemma  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand der Dimension .

Dann ist der Rand eine differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) der Dimension .

Beweis  

Zunächst ist mit der induzierten Topologie ein Hausdorff-Raum. Sei und sei

eine Karte mit offen und . Da eine Homöomorphie ist und da nach Fakt  (1) bei jeder Karte Randpunkte zu Randpunkten korrespondieren, induziert dies eine Homöomorphie

Dabei ist eine offene Umgebung von in , so dass wir diese Mengen als Kartengebiete nehmen können. Betrachten wir nun einen Kartenwechsel, wobei wir gleich von einem einzigen Kartengebiet und zwei Karten und mit offen ausgehen können. Es liegt dann ein -Diffeomorphismus

vor. Dies bedeutet zunächst, dass eine Homöomorphie vorliegt. Die Diffeomorphismuseigenschaft von bedeutet für jeden Punkt , dass es offene Umgebungen und und eine diffeomorphe Fortsetzung

von von nach gibt. Diese Fortsetzung induziert dann nach Aufgabe auch eine -Diffeomorphie zwischen den Rändern und ,  so dass insgesamt eine Diffeomorphie

vorliegt.