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Meromorphe Funktion/Residuum/Eigenschaften/Textabschnitt

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Das Residuum zu einer holomorphen Funktion auf im Punkt ist insbesondere für jede auf definierte meromorphe Funktion definiert und besitzt dort gewisse zusätzliche Eigenschaften. Nach Aufgabe ist

für ein mit einer holomorphen Funktion und das Residuum kann aus der Potenzreihe von abgelesen werden. Daher kann das Residuum auch mit der Ableitung berechnet werden.


Es sei eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge und sei ein Punkt. Es sei zumindest so groß wie die Polordnung von in und sei

mit einer holomorphen Funktion auf .

Dann ist

Wir schreiben

mit der holomorphen Funktion

Dann besitzt die Laurent-Reihe

und das Residuum von in ist gleich . Somit ist

nach Fakt.


Zu einer nullstellenfreien differenzierbare Funktion nennt man die logarithmische Ableitung von , siehe Aufgabe für den Grund für diese Bezeichnung.



Es sei eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge .

Dann ist die (Nullstellen)-Ordnung von in einem Punkt gleich

Wir können annehmen, es sei

die Laurent-Entwicklung von im Nullpunkt mit , d.h. ist die Ordnung von im Nullpunkt. Es ist dann

Der Ansatz

zeigt, dass die meromorphe Funktion mit beginnt und daher das Residuum besitzt.


Die vorstehende Aussage kann man auch als Korollar zu der folgenden Aussage erhalten.


Es sei eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge und es sei eine holomorphe Funktion auf .

Dann ist

Es sei die Ordnung von in . Dann ist

mit einer in holomorphen Funktion mit . Mit der Produktregel ist

Hierbei ist holomorph und daher kann man aus der rechten Seite direkt die Laurent-Reihe im Punkt ablesen, sie ist nämlich eine Potenzreihe. Daher ist das Residuum der linken Seite im Punkt gleich .



Es sei eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge .

Dann ist für

Dies folgt aus Fakt mit der Funktion .


Beachte, dass in der vorstehenden Aussage eine Gleichheit von komplexen Zahlen ausgesprochen wird.