Meromorphe Funktion/Residuum/Eigenschaften/Textabschnitt
Das Residuum zu einer holomorphen Funktion auf im Punkt ist insbesondere für jede auf definierte meromorphe Funktion definiert und besitzt dort gewisse zusätzliche Eigenschaften. Nach Aufgabe ist
für ein mit einer holomorphen Funktion und das Residuum kann aus der Potenzreihe von abgelesen werden. Daher kann das Residuum auch mit der Ableitung berechnet werden.
Es sei eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge und sei ein Punkt. Es sei zumindest so groß wie die Polordnung von in und sei
mit einer holomorphen Funktion auf .
Dann ist
Wir schreiben
mit der holomorphen Funktion
Dann besitzt die Laurent-Reihe
und das Residuum von in ist gleich . Somit ist
nach Fakt.
Zu einer nullstellenfreien differenzierbare Funktion nennt man die logarithmische Ableitung von , siehe
Aufgabe
für den Grund für diese Bezeichnung.
Es sei eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge .
Dann ist die (Nullstellen)-Ordnung von in einem Punkt gleich
Wir können annehmen, es sei
die Laurent-Entwicklung von im Nullpunkt mit , d.h. ist die Ordnung von im Nullpunkt. Es ist dann
Der Ansatz
zeigt, dass die meromorphe Funktion mit beginnt und daher das Residuum besitzt.
Die vorstehende Aussage kann man auch als Korollar zu der folgenden Aussage erhalten.
Es sei eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge und es sei eine holomorphe Funktion auf .
Dann ist
Es sei die Ordnung von in . Dann ist
mit einer in holomorphen Funktion mit . Mit der Produktregel ist
Hierbei ist holomorph und daher kann man aus der rechten Seite direkt die Laurent-Reihe im Punkt ablesen, sie ist nämlich eine Potenzreihe. Daher ist das Residuum der linken Seite im Punkt gleich .
Dies folgt aus Fakt mit der Funktion .
Beachte, dass in der vorstehenden Aussage eine Gleichheit von komplexen Zahlen ausgesprochen wird.