Potenzreihe/R/Ableitungseigenschaften/Ohne Beweis/Textabschnitt

Viele wichtige Funktionen wie die Exponentialfunktion oder die trigonometrischen Funktionen werden durch eine Potenzreihe dargestellt. Der folgende Satz zeigt, dass diese Funktionen differenzierbar sind und ihre Ableitung durch diejenige Potenzreihe dargestellt wird, die sich durch gliedweises Ableiten ergibt.

Satz

Es sei

${}g(x):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\,$

eine Potenzreihe, die auf dem offenen Intervall ${}]-r,r[$ konvergiere und dort die Funktion ${}f\colon ]-r,r[\rightarrow \mathbb {R}$ darstellt.

Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

${}{\tilde {g}}(x):=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}\,$

auf ${}]-r,r[$ konvergent. Die Funktion ${}f$ ist in jedem Punkt dieses Intervalls differenzierbar mit

${}f'(x)={\tilde {g}}(x)\,.$

Beweis

Der Beweis erfordert ein genaues Studium von Potenzreihen.

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Im Satz haben wir ${}g$ für die Potenzreihe und ${}f$ für die dadurch festgelegte Funktion geschrieben, um die Rollen deutlicher zu machen. Von nun an ist diese Unterscheidung nicht mehr nötig.

Korollar

Eine durch eine Potenzreihe gegebene Funktion

ist auf ihrem Konvergenzintervall unendlich oft differenzierbar.

Beweis

Dies ergibt sich direkt aus Fakt.

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Satz

Die Exponentialfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,$

ist differenzierbar mit

${}\exp \!'(x)=\exp x\,.$

Beweis

Aufgrund von Fakt ist

${}{\begin{aligned}\exp \!'(x)&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {x^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n!}}x^{n-1}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-1)!}}x^{n-1}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\\&=\exp x.\end{aligned}}$

$\Box$

Satz

Die Exponentialfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto a^{x},$

zur Basis ${}a>0$

ist differenzierbar mit

${}{\left(a^{x}\right)}'={\left(\ln a\right)}a^{x}\,.$

Beweis

Nach Definition ist

${}a^{x}=\exp \left(x\,\ln a\right)\,.$

Die Ableitung nach ${}x$ ist aufgrund von Fakt unter Verwendung der Kettenregel gleich

${}{\left(a^{x}\right)}'={\left(\exp \left(x\,\ln a\right)\right)}'={\left(\ln a\right)}\exp '(x\,\ln a)={\left(\ln a\right)}\exp \left(x\,\ln a\right)={\left(\ln a\right)}a^{x}\,.$

$\Box$

Bemerkung  

Bei einer reellen Exponentialfunktion

${}y(x)=a^{x}\,$

gilt nach Fakt die Beziehung

${}y'={\left(\ln a\right)}y\,,$

es besteht also ein proportionaler Zusammenhang zwischen der Funktion ${}y$ und ihrer Ableitung ${}y'$ mit dem Proportionalitätsfaktor ${}\ln a$. Dies gilt auch dann, wenn ${}a^{x}$ mit einer Konstanten multipliziert wird. Wenn man unter ${}y$ eine von der Zeit ${}x$ abhängige Größe versteht, so beschreibt ${}y'(x)$ das momentane Wachstum zu einem Zeitpunkt. Die Gleichung ${}y'={\left(\ln a\right)}y$ bedeutet dann, dass das momentane Wachstum in jedem Zeitpunkt proportional zur momentanen Größe ist. Ein solches Wachstum (bzw. Schrumpfung bei ${}a<1$ bzw. ${}\ln a<0$) kommt in der Natur bei einer Population dann vor, wenn es keine nennenswerte Nahrungskonkurrenz und vernachlässigbare Sterberaten gibt (die Anzahl der Mäuse ist dann proportional zur Anzahl der geborenen Mäuse). Eine Bedingung der Form

${}y'=by\,$

ist ein Beispiel für eine Differentialgleichung. Dies ist eine Gleichung für eine Funktion, die Bedingungen an die Ableitung der Funktion ausdrückt. Eine Lösung einer solchen Differentialgleichung ist eine differenzierbare Funktion, die diese Ableitungsbedingung erfüllt. Die Lösungen der zuletzt formulierten Differentialgleichung sind die Funktionen

${}y(x)=ce^{bx}\,.$

Korollar

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

ist

$\ln \!'\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}}.$

Beweis

Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, können wir Fakt anwenden und erhalten mit Fakt

${}\ln '(x)={\frac {1}{\exp '(\ln x)}}={\frac {1}{\exp(\ln x)}}={\frac {1}{x}}\,.$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}\alpha \in \mathbb {R}$.

Dann ist die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto x^{\alpha },$

differenzierbar und ihre Ableitung ist

${}f'(x)=\alpha x^{\alpha -1}\,.$

Beweis

Nach Definition ist

${}x^{\alpha }=\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\,.$

Die Ableitung nach ${}x$ ist aufgrund von Fakt und Fakt unter Verwendung der Kettenregel gleich

${}{\left(x^{\alpha }\right)}'={\left(\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\right)}'={\frac {\alpha }{x}}\cdot \exp \left(\alpha \,\ln x\right)={\frac {\alpha }{x}}x^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}\,.$

$\Box$

Satz

Die Sinusfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$

ist differenzierbar mit

${}\sin \!'(x)=\cos x\,$

und die

Kosinusfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$

ist differenzierbar mit

${}\cos \!'(x)=-\sin x\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Satz

Die Tangensfunktion

$\mathbb {R} \setminus {\left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tan x,$

ist differenzierbar mit

${}\tan \!'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}x}}\,$

und die Kotangensfunktion

$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cot x,$

ist differenzierbar mit

${}\cot \!'(x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}\,.$

Beweis

Aufgrund der Quotientenregel, Fakt und der Kreisgleichung ergibt sich

${}{\begin{aligned}(\tan x)^{\prime }&={\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)}^{\prime }\\&={\frac {(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}.\end{aligned}}$

Das Argument für die Ableitung des Kotangens ist entsprechend.

$\Box$