Potenzreihen/Ableitung/Textabschnitt

Satz

Es sei

${}g=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}\,$

eine

konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ${}R>0$.

Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

${}{\tilde {g}}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(z-a)^{n-1}\,$

konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe ${}g$ dargestellte Funktion ${}f$ ist in jedem Punkt ${}z\in U{\left(a,R\right)}$ differenzierbar mit

${}f'(z)={\tilde {g}}(z)\,.$

Beweis

Es sei ${}s\in \mathbb {R} _{+}$, ${}s<R$, vorgegeben und sei ${}r$ mit ${}s<r<R$. Dann konvergiert ${}\sum _{n=0}^{\infty }\vert {a_{n}}\vert r^{n}$ gemäß der Definition von Konvergenzradius. Wegen ${}n\leq {\left({\frac {r}{s}}\right)}^{n}$ für ${}n$ hinreichend groß ist

${}{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}&=\sum _{n=1}^{N}n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}+\sum _{n=N+1}^{\infty }n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}\\&\leq \sum _{n=1}^{N}n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}+{\frac {1}{s}}\sum _{n=N+1}^{\infty }\vert {a_{n}}\vert r^{n},\end{aligned}}$

sodass die Potenzreihe ${}{\tilde {g}}$ in ${}B\left(a,s\right)$ und somit in ${}U{\left(a,R\right)}$ konvergiert (dafür, dass der Konvergenzradius von ${}{\tilde {g}}$ nicht größer als ${}R$ ist, siehe Aufgabe).
Die Potenzreihe

${}\rho (z)=\sum _{n=2}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n-1}\,$

ist ebenfalls in dieser Kreisscheibe konvergent, stellt eine nach Fakt stetige Funktion dar und besitzt in ${}a$ den Wert ${}0$. Daher zeigt die Gleichung (von Potenzreihen und dargestellten Funktionen)

${}f(z)=f(a)+a_{1}(z-a)+\rho (z)(z-a)\,,$

dass ${}f$ in ${}a$ linear approximierbar, also nach Fakt differenzierbar ist mit der Ableitung

${}f'(a)=a_{1}={\tilde {g}}(a)\,.$

Es sei nun ${}b\in U{\left(a,R\right)}$. Nach dem Entwicklungssatz gibt es eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}b$,

${}h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(z-b)^{n}\,,$

deren dargestellte Funktion mit der durch ${}g$ dargestellten Funktion in einer offenen Umgebung von ${}b$ übereinstimmt, und wobei ${}b_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(b-a)^{n-1}$ gilt. Daher gilt nach dem schon Bewiesenen (angewendet auf ${}h$ und die formale Potenzreihenableitung ${}{\tilde {h}}$)

${}f'(b)={\tilde {h}}(b)=b_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(b-a)^{n-1}={\tilde {g}}(b)\,.$

$\Box$

Satz

Die Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$

ist differenzierbar mit

${}\exp \!'(z)=\exp z\,.$

Beweis

Aufgrund von Fakt ist

${}{\begin{aligned}\exp \!'(z)&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {z^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n!}}z^{n-1}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-1)!}}z^{n-1}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\\&=\exp z.\end{aligned}}$

$\Box$

Korollar

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

ist

$\ln \!'\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}}.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}\alpha \in \mathbb {R}$.

Dann ist die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto x^{\alpha },$

differenzierbar und ihre Ableitung ist

${}f'(x)=\alpha x^{\alpha -1}\,.$

Beweis

Nach Aufgabe ist

${}x^{\alpha }=\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\,.$

Die Ableitung nach ${}x$ ist aufgrund von Fakt, Fakt und der Kettenregel gleich

${}(x^{\alpha })'=(\exp \left(\alpha \,\ln x\right))'={\frac {\alpha }{x}}\cdot \exp \left(\alpha \,\ln x\right)={\frac {\alpha }{x}}x^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}\,.$

$\Box$

Korollar

Für die eulersche Zahl gilt die Gleichheit

${}e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}=\exp 1\,.$

Beweis

Die äußeren Gleichheiten sind Definitionen. Aufgrund von Fakt ist ${}\ln \!'(1)=1$. Dies bedeutet aufgrund der Definition des Differentialquotienten insbesondere

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\ln(1+{\frac {1}{n}})}{\frac {1}{n}}}=1\,.$

Wir schreiben die Folgenglieder der linken Seite als ${}n\cdot \ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}$ und wenden darauf die Exponentialfunktion an. Daraus ergibt sich unter Verwendung der Stetigkeit und der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion die Gleichungskette

${}{\begin{aligned}\exp 1&=\exp \left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(n\cdot \ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}\right)}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\exp \left(n\cdot \ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\\&=e.\end{aligned}}$

$\Box$

Satz

Die Sinusfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$

ist differenzierbar mit

${}\sin \!'(z)=\cos z\,$

und die

Kosinusfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,$

ist differenzierbar mit

${}\cos \!'(z)=-\sin z\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$