Reelle Mannigfaltigkeit/Differentialform/Wegintegral/Integralüberlagerung/Garbe/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega \in {{\mathcal {E}}^{(1)}}{\left(M\right)}$ eine ${}1$-Differentialform. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M$

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

${}\int _{\gamma }\omega :=\int _{[a,b]}\gamma ^{*}\omega =\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\,dt\,$

das Wegintegral von ${}\omega$ längs ${}\gamma$.

Zu einer holomorphen Differentialform ${}\omega =fdz$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ und einem stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ist das Wegintegral gleich

${}\int _{\gamma }\omega =\int _{\gamma }fdz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)dt\,.$

Beispiel

Ein wichtiges Standardbeispiel ist die holomorphe Differentialform ${}{\frac {dz}{z}}$ auf ${}U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Längs des Einheitskreises mit der trigonometrischen Parametrisierung

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,t\longmapsto \cos t+{\mathrm {i} }\sin t,$

ist

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z}}&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\cos t+{\mathrm {i} }\sin t}}{\left(-\sin t+{\mathrm {i} }\cos t\right)}dt\\&={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }{\left(\cos t-{\mathrm {i} }\sin t\right)}{\left(\cos t+{\mathrm {i} }\sin t\right)}dt\\&={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}t+\sin ^{2}tdt\\&={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }1dt\\&=2\pi {\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Lemma

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ eine geschlossene Differentialform auf ${}M$ mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$.

Dann ist die Zuordnung

$U\mapsto {\mathcal {S}}{\left(U\right)}:={\left\{f:U\rightarrow {\mathbb {K} }{\text{ differenzierbar }}\mid df=\omega {|}_{U}\right\}}$

eine Garbe auf ${}M$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Diese Garbe beschreibt also die lokalen Stammfunktionen zur ${}1$-Form ${}\omega$. Wir betrachten den zugehörigen Ausbreitungsraum.

Lemma

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ eine geschlossene Differentialform auf ${}M$ mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$. Es sei ${}{\mathcal {S}}$ die zugehörige Garbe der lokalen Stammfunktionen aus Fakt und sei ${}A_{\omega }$ der zugehörige Ausbreitungsraum. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die natürliche Projektion

   $p\colon A_{\omega }\longrightarrow M$

   ist eine surjektive Überlagerung.

2. Durch

   ${}F(P,f):=f(P)\,$

   ist eine differenzierbare Funktion auf ${}A_{\omega }$ gegeben.

3. Auf ${}A_{\omega }$ ist

   ${}dF=p^{*}\omega \,.$

   Insbesondere ist ${}p^{*}\omega$ exakt.

4. Zu einem stetigen differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$ ist

   ${}\int _{\gamma }\omega =\int _{\tilde {\gamma }}p^{*}\omega =F({\tilde {\gamma }}(b))-F({\tilde {\gamma }}(a))\,,$

   wobei ${}{\tilde {\gamma }}$ eine Liftung von ${}\gamma$ nach ${}A_{\omega }$ ist.

Beweis

1. Nach Fakt liegt ein lokaler Homöomorphismus vor. Die Surjektivität ergibt sich daraus, dass ${}\omega$ lokal eine Stammfunktion besitzt. Daraus ergibt sich auch die Überlagerungseigenschaft.
2. Lokal stimmt ${}F$ auf einer offenen Menge von ${}A_{\omega }$ der Form ${}(U,f)$ mit ${}f$ überein.
3. Dies folgt aus (2).
4. Die erste Gleichung folgt aus Fakt. Die zweite Gleichung folgt daraus, dass ${}F\circ {\tilde {\gamma }}$ nach Aufgabe eine Stammfunktion von

   ${}\gamma ^{*}\omega ={\tilde {\gamma }}^{*}{\left(p^{*}\omega \right)}\,$

   ist.

$\Box$

Die folgende Aussage nennt man auch Monodromiesatz, wobei Monodromie eher ein Prinzip ist, das aufgerufen wird, wenn analytische Objekte bereits durch topologische Daten festgelegt sind.

Satz

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ eine geschlossene Differentialform auf ${}M$ mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$. Es seien

$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon [a,b]\longrightarrow M$

stetige differenzierbare homotope Wege.

Dann ist

${}\int _{\gamma _{1}}\omega =\int _{\gamma _{2}}\omega \,.$

Beweis

Es seien ${}{\tilde {\gamma _{1}}}$ bzw. ${}{\tilde {\gamma _{2}}}$ Liftungen von ${}\gamma _{1}$ bzw. ${}\gamma _{2}$ nach ${}A_{\omega }$ (siehe Fakt) mit dem gleichen Startpunkt

${}{\tilde {\gamma _{1}}}(a)={\tilde {\gamma _{2}}}(a)\,.$

Die Liftungen sind nach Fakt wieder zueinander homotop und besitzen daher auch den gleichen Endpunkt. Somit folgt die Aussage aus Fakt  (4).

$\Box$

Korollar

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ eine geschlossene Differentialform auf ${}M$ mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M$

ein stetig differenzierbarer nullhomotoper Weg.

Dann ist

${}\int _{\gamma }\omega =0\,.$

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

$\Box$