Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimensionstheorie/Ohne Beweise/Einführung/Textabschnitt

Ein endlich erzeugter Vektorraum hat im Allgemeinen ganz unterschiedliche Basen. Allerdings ist die Anzahl der Elemente in einer Basis stets konstant und hängt nur vom Vektorraum ab. Diese wichtige Eigenschaft werden wir jetzt formulieren und als Ausgangspunkt für die Definition der Dimension eines Vektorraums nehmen.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem.

Dann besitzen je zwei Basen von ${}V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Es seien ${}{\mathfrak {b}}=b_{1},\ldots ,b_{n}$ und ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{k}$ zwei Basen von ${}V$. Aufgrund des Basisaustauschsatzes, angewandt auf die Basis ${}{\mathfrak {b}}$ und die linear unabhängige Familie ${}{\mathfrak {u}}$ ergibt sich ${}k\leq n$. Wendet man den Austauschsatz umgekehrt an, so folgt ${}n\leq k$, also insgesamt ${}n=k$.

$\Box$

 

Dieser Satz erlaubt die folgende Definition.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann nennt man die Anzahl der Vektoren in einer Basis von ${}V$ die Dimension von ${}V$, geschrieben

$\dim _{K}{\left(V\right)}.$

Man sagt auch, dass die Dimension aufgrund des vorstehenden Satzes wohldefiniert ist. Wenn ein Vektorraum nicht endlich erzeugt ist, so setzt man ${}\operatorname {dim} _{}\left(V\right)=\infty$. Der Nullraum ${}0$ hat die Dimension ${}0$. Einen eindimensionalen Vektorraum nennt man auch eine Gerade, einen zweidimensionalen Vektorraum eine Ebene, einen dreidimensionalen Vektorraum einen Raum (im engeren Sinn), wobei man andererseits auch jeden Vektorraum einen Raum nennt.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$.

Dann besitzt der Standardraum ${}K^{n}$ die Dimension ${}n$.

Beweis

Die Standardbasis ${}e_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, besteht aus ${}n$ Vektoren, also ist die Dimension ${}n$.

$\Box$

Beispiel

Die komplexen Zahlen bilden einen zweidimensionalen reellen Vektorraum, eine Basis ist z.B. ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$.

Beispiel

Der Polynomring ${}R=K[X]$ über einem Körper ${}K$ ist kein endlichdimensionaler Vektorraum. Es ist zu zeigen, dass es kein endliches Erzeugendensystem des Polynomringes gibt. Betrachten wir ${}n$ Polynome ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$. Es sei ${}d$ das Maximum der Grade dieser Polynome. Dann hat auch jede ${}K$-Linearkombination ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}$ maximal den Grad ${}d$. Insbesondere können Polynome von einem größeren Grad nicht durch ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ dargestellt werden, und diese endlich vielen Polynome sind kein Erzeugendensystem für alle Polynome.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum.

Dann ist ${}U$ ebenfalls endlichdimensional und es gilt

${}\dim _{K}{\left(U\right)}\leq \dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Es sei ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Jede linear unabhängige Familie in ${}U$ ist auch linear unabhängig in ${}V$. Daher kann es aufgrund des Basisaustauschsatzes in ${}U$ nur linear unabhängige Familien der Länge ${}\leq n$ geben. Es sei ${}k\leq n$ derart, dass es in ${}U$ eine linear unabhängige Familie mit ${}k$ Vektoren gibt, aber nicht mit ${}k+1$ Vektoren. Sei ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{k}$ eine solche Familie. Diese ist dann insbesondere eine maximal linear unabhängige Familie in ${}U$ und daher wegen Fakt eine Basis von ${}U$.

$\Box$

 

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit endlicher Dimension ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Es seien ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ gegeben.

Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$.
2. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$.
3. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper. Man kann sich einfach einen Überblick über die Untervektorräume des ${}K^{n}$ verschaffen, als Dimension von Untervektorräumen kommt nach Fakt nur ${}k$ mit ${}0\leq k\leq n$ in Frage. Bei ${}n=0$ gibt es nur den Nullraum selbst, bei ${}n=1$ gibt es den Nullraum und ${}K$ selbst. Bei ${}n=2$ gibt es den Nullraum, die gesamte Ebene ${}K^{2}$, und die eindimensionalen Geraden durch den Nullpunkt. Jede solche Gerade ${}G$ hat die Gestalt

${}G=Kv={\left\{sv\mid s\in K\right\}}\,$

mit einem von ${}0$ verschiedenen Vektor ${}v$. Zwei von ${}0$ verschiedene Vektoren definieren genau dann die gleiche Gerade, wenn sie linear abhängig sind. Bei ${}n=3$ gibt es den Nullraum, den Gesamtraum ${}K^{3}$, die eindimensionalen Geraden durch den Nullpunkt und die zweidimensionalen Ebenen durch den Nullpunkt.