Es sei zuerst die Körpererweiterung
auflösbar, und zwar sei
eine Körpererweiterung derart, dass
eine Radikalerweiterung ist. Es sei dabei ein gemeinsamer „Radikalexponent“ der beteiligten einfachen Radikalerweiterungen. Da wir in Charakteristik sind, können wir zu eine -te
primitive Einheitswurzel
adjungieren
und erhalten eine -Radikalerweiterung
.
Wir ersetzen durch seine
normale Hülle
, die nach
Fakt
ebenfalls eine -Radikalerweiterung von ist. Da wir in Charakteristik sind, ist
eine
Galoiserweiterung.
Wir können also davon ausgehen, dass eine Kette
-
vorliegt, wobei
galoissch ist und wo die sukzessiven Körpererweiterungen
einfache Radikalerweiterungen
sind. Es sei
und wir setzen
-
Dabei gelten nach
Fakt (2)
die natürlichen Inklusionen
-
Da die Zwischenerweiterungen
für
einfache Radikalerweiterungen und in die benötigten Einheitswurzeln vorhanden sind, folgt aus
Fakt,
dass es sich um Galoiserweiterungen mit abelscher Galoisgruppe handelt. Aufgrund von
Fakt (2)
sind daher die Normalteiler in und die Restklassengruppen sind kommutativ. Die Erweiterung
besitzt nach
Aufgabe
ebenfalls eine abelsche Galoisgruppe. Daher liegt insgesamt eine Filtrierung vor, die als
auflösbar
erweist. Da
eine Galoiserweiterung ist, gilt wieder nach
Fakt
die Beziehung
-
sodass auch wegen
Fakt
eine auflösbare Gruppe ist.
Es sei nun vorausgesetzt, dass die
Galoisgruppe
auflösbar
ist, und sei
-
eine Filtrierung mit Untergruppen derart, dass jeweils
ein
Normalteiler
ist mit
abelscher
Restklassengruppe
. Wir setzen
,
sodass nach
Fakt (1)
und
Fakt
die Körperkette
-
vorliegt. Dabei sind nach
Fakt
die Körpererweiterungen
galoissch,
und ihre
Galoisgruppen
sind gemäß
Fakt.
Da die Normalteiler in sind, sind aufgrund von
Fakt
die Körpererweiterungen
galoissch mit Galoisgruppe
.
Diese sukzessiven Erweiterungen sind also
Galoiserweiterungen
mit
abelscher
Galoisgruppe. Es sei der
Exponent
von . Es sei
ein -ter
Kreisteilungskörper,
also ein
Zerfällungskörper
von über , und sei eine -te
primitive Einheitswurzel.
Es ist somit
.
Wir setzen
(innerhalb von )
und haben dann die Körperkette
-
Hierbei gilt
.
Nach
Fakt
ist
ebenfalls galoissch, und es gilt die Untergruppenbeziehung
-
sodass diese Galoisgruppen auch abelsch sind. Da die -te primitive Einheitswurzel zu gehört, sind die Erweiterungen
allesamt
Kummererweiterungen
und damit nach
Fakt
auch
Radikalerweiterungen.
Da auch
eine
(einfache)
Radikalerweiterung ist, ist insgesamt
eine Radikalerweiterung, die umfasst. Somit ist
auflösbar.