Differenzierbarkeit/K/Ableitungsregeln/Textabschnitt

Eine Veranschaulichung der Produktregel: Der Zuwachs eines Flächeninhalts entspricht der Summe der beiden Produkte aus Seitenlänge und Seitenlängezuwachs. Für den infinitesimalen Zuwachs ist das Produkt der beiden Seitenlängenzuwächse irrelevant.

Lemma

Es sei  $D\subseteq 𝕂$  offen,  $a\in D$  ein Punkt und

$f,g:D⟶𝕂$

Funktionen, die in $a$ differenzierbar seien. Dann gelten folgende Differenzierbarkeitsregeln.

1. Die Summe $f+g$ ist differenzierbar in $a$ mit

   $(f+g{)}^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)+g^{\prime }(a).$

2. Das Produkt $f\cdot g$ ist differenzierbar in $a$ mit

   $(f\cdot g{)}^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)g(a)+f(a)g^{\prime }(a).$

3. Für  $c\in 𝕂$  ist auch $cf$ in $a$ differenzierbar mit

   $(cf{)}^{\prime }(a)=c{f}^{\prime }(a).$

4. Wenn $g$ keine Nullstelle in $D$ besitzt, so ist $1/g$ differenzierbar in $a$ mit

   ${\left(\frac{1}{g}\right)}^{\prime }(a)=\frac{-g^{\prime }(a)}{(g(a){)}^2}.$

5. Wenn $g$ keine Nullstelle in $D$ besitzt, so ist $f/g$ differenzierbar in $a$ mit

   ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }(a)=\frac{f^{\prime }(a)g(a)-f(a)g^{\prime }(a)}{(g(a){)}^2}.$

Beweis

(1). Wir schreiben $f$ bzw. $g$ mit den in Fakt formulierten Objekten, also

$f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)$

und

$g(x)=g(a)+\tilde{s}(x-a)+\tilde{r}(x)(x-a).$

Summieren ergibt

$f(x)+g(x)=f(a)+g(a)+(s+\tilde{s})(x-a)+(r+\tilde{r})(x)(x-a).$

Dabei ist die Summe $r+\tilde{r}$ wieder stetig in $a$ mit dem Wert $0$.
(2). Wir gehen wieder von

$f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)$

und

$g(x)=g(a)+\tilde{s}(x-a)+\tilde{r}(x)(x-a)$

aus und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu

$\begin{array}{cc}f(x)g(x)& =(f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a))(g(a)+\tilde{s}(x-a)+\tilde{r}(x)(x-a))\\ & =f(a)g(a)+(sg(a)+\tilde{s}f(a))(x-a)\\ & +(f(a)\tilde{r}(x)+g(a)r(x)+s\tilde{s}(x-a)+s\tilde{r}(x)(x-a)+\tilde{s}r(x)(x-a)+r(x)\tilde{r}(x)(x-a))(x-a).\end{array}$

Aufgrund von Fakt für Limiten ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert $0$ für  $x=a$. 
(3) folgt aus (2), da eine konstante Funktion differenzierbar mit Ableitung $0$ ist.
(4). Es ist

$\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(a)}}{x-a}=\frac{-1}{g(a)g(x)}\cdot \frac{g(x)-g(a)}{x-a}.$

Da $g$ nach Fakt stetig in $a$ ist, konvergiert für $x\to a$ der linke Faktor gegen $-\frac{1}{g(a{)}^2}$ und wegen der Differenzierbarkeit von $g$ in $a$ konvergiert der rechte Faktor gegen $g^{\prime }(a)$.
(5) folgt aus (2) und (4).

$◻$

Diese Regeln heißen Summenregel (1), Produktregel (2) und Quotientenregel (5).

Korollar

Eine Polynomfunktion

$f=c_0+c_{1}z+c_2{z}^2+c_3{z}^3+\cdots +c_{n-1}{z}^{n-1}+c_n{z}^n$

ist in jedem Punkt differenzierbar, und für die Ableitung gilt

$f^{\prime }(z)=c_1+2c_{2}z+3c_3{z}^2+\cdots +(n-1)c_{n-1}{z}^{n-2}+n{c}_n{z}^{n-1}.$

Beweis

Dies folgt für die Potenfunktionen $z^n$ durch Induktion über $n$ aus der Produktregel und daraus mit Fakt.

$◻$

Die folgende Regel heißt Kettenregel.

Satz

Es seien $D$ und $E$ offene Mengen in $𝕂$ und seien

$f:D⟶𝕂$

und

$g:E⟶𝕂$

Funktionen mit  $f(D)\subseteq E$.  Es sei $f$ in $a$ differenzierbar und $g$ sei in

$b=f(a)$

differenzierbar.

Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

$g\circ f:D⟶𝕂$

in $a$ differenzierbar mit der Ableitung

$(g\circ f{)}^{\prime }(a)=g^{\prime }(f(a))\cdot f^{\prime }(a).$

Beweis

Aufgrund von Fakt kann man

$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+r(x)(x-a)$

und

$g(y)=g(f(a))+g^{\prime }(f(a))(y-f(a))+s(y)(y-f(a))$

schreiben. Daher ergibt sich

(wenn man $y$ durch $f(x)$ ersetzt)

$\begin{array}{cc}g(f(x))& =g(f(a))+g^{\prime }(f(a))(f(x)-f(a))+s(f(x))(f(x)-f(a))\\ & =g(f(a))+g^{\prime }(f(a))(f^{\prime }(a)(x-a)+r(x)(x-a))+s(f(x))(f^{\prime }(a)(x-a)+r(x)(x-a))\\ & =g(f(a))+g^{\prime }(f(a))f^{\prime }(a)(x-a)+(g^{\prime }(f(a))r(x)+s(f(x))(f^{\prime }(a)+r(x)))(x-a).\end{array}$

Die hier ablesbare Restfunktion

$t(x):=g^{\prime }(f(a))r(x)+s(f(x))(f^{\prime }(a)+r(x))$

ist stetig in $a$ mit dem Wert $0$.

$◻$

Eine Veranschaulichung für die Ableitung der Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion besitzt den an der Hauptdiagonalen gespiegelten Graphen und die Tangente wird mitgespiegelt.

Satz

Es seien $D$ und $E$ offene Mengen in $𝕂$ und sei

$f:D⟶E$

eine bijektive stetige Funktion mit einer stetigen Umkehrfunktion

$f^{-1}:E⟶D$

Es sei $f$ in

 $a\in D$  differenzierbar mit  $f^{\prime }(a)\ne 0$. 

Dann ist auch die Umkehrfunktion $f^{-1}$ in  $b=f(a)$  differenzierbar mit

$\left(f^{-1}\right)(b)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(b))}=\frac{1}{f^{\prime }(a)}.$

Beweis

Wir betrachten den Differenzenquotienten

$\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}=\frac{f^{-1}(y)-a}{y-b}$

und müssen zeigen, dass der Limes für $y\to b$ existiert und den behaupteten Wert annimmt. Es sei dazu ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $E\setminus \{b\}$, die gegen $b$ konvergiert. Aufgrund der vorausgesetzten Stetigkeit von $f^{-1}$ konvergiert auch die Folge mit den Gliedern  $x_n:=f^{-1}(y_n)$  gegen $a$. Wegen der Bijektivität ist  $x_n\ne a$  für alle $n$. Damit ist

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f^{-1}(y_n)-a}{y_n-b}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_n-a}{f(x_n)-f(a)}={\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x_n)-f(a)}{x_n-a}\right)}^{-1},$

wobei die rechte Seite nach Voraussetzung existiert.

$◻$

Beispiel

Die Funktion

$f^{-1}:{ℝ}_{+}⟶{ℝ}_{+},x⟼\sqrt{x},$

ist die Umkehrfunktion der Funktion $f$ mit  $f(x)=x^2$  (eingeschränkt auf ${ℝ}_{+}$). Deren Ableitung in einem Punkt $a$ ist  $f^{\prime }(a)=2a$.  Nach Fakt gilt daher für  $b\in {ℝ}_{+}$  die Beziehung

$\left(f^{-1}\right)(b)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(b))}=\frac{1}{2\sqrt{b}}=\frac{1}{2}{b}^{-\frac{1}{2}}.$

Im Nullpunkt ist $f^{-1}$ nicht differenzierbar.

Die Funktion

$f^{-1}:ℝ⟶ℝ,x⟼x^{\frac{1}{3}},$

ist die Umkehrfunktion der Funktion $f$ mit  $f(x)=x^3$  Deren Ableitung in $a$ ist  $f^{\prime }(a)=3a^2$,  dies ist für  $a\ne 0$  von $0$ verschieden. Nach Fakt ist für  $b\ne 0$  somit

${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(b)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(b))}=\frac{1}{3{\left(b^{\frac{1}{3}}\right)}^2}=\frac{1}{3}{b}^{-\frac{2}{3}}.$

Im Nullpunkt ist $f^{-1}$ nicht differenzierbar.