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Differenzierbarkeit/K/Ableitungsregeln/Textabschnitt

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Eine Veranschaulichung der Produktregel: Der Zuwachs eines Flächeninhalts entspricht der Summe der beiden Produkte aus Seitenlänge und Seitenlängezuwachs. Für den infinitesimalen Zuwachs ist das Produkt der beiden Seitenlängenzuwächse irrelevant.



Lemma  

Es sei offen, ein Punkt und

Funktionen, die in differenzierbar seien. Dann gelten folgende Differenzierbarkeitsregeln.

  1. Die Summe ist differenzierbar in mit
  2. Das Produkt ist differenzierbar in mit
  3. Für ist auch in differenzierbar mit
  4. Wenn keine Nullstelle in besitzt, so ist differenzierbar in mit
  5. Wenn keine Nullstelle in besitzt, so ist differenzierbar in mit

Beweis  

(1). Wir schreiben bzw. mit den in Fakt formulierten Objekten, also

und

Summieren ergibt

Dabei ist die Summe wieder stetig in mit dem Wert .
(2). Wir gehen wieder von

und

aus und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu

Aufgrund von Fakt für Limiten ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert für .
(3) folgt aus (2), da eine konstante Funktion differenzierbar mit Ableitung ist.
(4). Es ist

Da nach Fakt stetig in ist, konvergiert für der linke Faktor gegen und wegen der Differenzierbarkeit von in konvergiert der rechte Faktor gegen .
(5) folgt aus (2) und (4).


Diese Regeln heißen Summenregel (1), Produktregel (2) und Quotientenregel (5).



Korollar  

Eine Polynomfunktion

ist in jedem Punkt differenzierbar, und für die Ableitung gilt

Beweis  

Dies folgt für die Potenfunktionen durch Induktion über aus der Produktregel und daraus mit Fakt.


Die folgende Regel heißt Kettenregel.


Satz  

Es seien und offene Mengen in und seien

und

Funktionen mit . Es sei in differenzierbar und sei in

differenzierbar.

Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

in differenzierbar mit der Ableitung

Beweis  

Aufgrund von Fakt kann man

und

schreiben. Daher ergibt sich

(wenn man durch ersetzt)

Die hier ablesbare Restfunktion

ist stetig in mit dem Wert .


Eine Veranschaulichung für die Ableitung der Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion besitzt den an der Hauptdiagonalen gespiegelten Graphen und die Tangente wird mitgespiegelt.



Satz  

Es seien und offene Mengen in und sei

eine bijektive stetige Funktion mit einer stetigen Umkehrfunktion

Es sei in

differenzierbar mit .

Dann ist auch die Umkehrfunktion in differenzierbar mit

Beweis  

Wir betrachten den Differenzenquotienten

und müssen zeigen, dass der Limes für existiert und den behaupteten Wert annimmt. Es sei dazu eine Folge in , die gegen konvergiert. Aufgrund der vorausgesetzten Stetigkeit von konvergiert auch die Folge mit den Gliedern gegen . Wegen der Bijektivität ist für alle . Damit ist

wobei die rechte Seite nach Voraussetzung existiert.



Beispiel  

Die Funktion

ist die Umkehrfunktion der Funktion mit (eingeschränkt auf ). Deren Ableitung in einem Punkt ist . Nach Fakt gilt daher für die Beziehung

Im Nullpunkt ist nicht differenzierbar.

Die Funktion

ist die Umkehrfunktion der Funktion mit Deren Ableitung in ist , dies ist für von verschieden. Nach Fakt ist für somit

Im Nullpunkt ist nicht differenzierbar.