Endomorphismus/Diagonalisierbarkeit/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ diagonalisierbar, wenn ${}V$ eine Basis aus Eigenvektoren zu ${}\varphi$ besitzt.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist diagonalisierbar.
2. Es gibt eine Basis ${}{\mathfrak {v}}$ von ${}V$ derart, dass die beschreibende Matrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ eine Diagonalmatrix ist.
3. Für jede beschreibende Matrix ${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {w}}(\varphi )$ bezüglich einer Basis ${}{\mathfrak {w}}$ gibt es eine invertierbare Matrix ${}B$ derart, dass

   $BMB^{-1}$

   eine Diagonalmatrix ist.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt aus der Definition, aus Beispiel und der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen. Die Äquivalenz von (2) und (3) folgt aus Fakt.

$\Box$

Wenn ${}\varphi$ diagonalisierbar ist und die Eigenwerte mit ihren geometrischen Vielfachheiten bekannt sind, so kann man einfach eine zugehörige Diagonalmatrix aufstellen: Man erstellt die Diagonalmatrix, in deren Diagonalen die Eigenwerte so oft auftreten, wie die geometrischen Vielfachheiten angeben. Insbesondere ist die zugehörige Diagonalmatrix einer diagonalisierbaren Abbildung bis auf die Reihenfolge der Diagonalelemente eindeutig bestimmt.

Beispiel

Wir schließen an Beispiel an. Es gibt die beiden Eigenvektoren ${}{\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}\\1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}-{\sqrt {5}}\\1\end{pmatrix}}$ zu den verschiedenen Eigenwerten ${}{\sqrt {5}}$ und ${}-{\sqrt {5}}$, sodass die Abbildung nach Fakt diagonalisierbar ist. Bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {u}}$ aus diesen Eigenvektoren wird die lineare Abbildung durch die Diagonalmatrix

${\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&0\\0&-{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}.$

beschrieben.

Die Übergangsmatrix von der Basis ${}{\mathfrak {u}}$ zur durch ${}e_{1}$ und ${}e_{2}$ gegebenen Standardbasis ${}{\mathfrak {v}}$ ist einfach

${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&-{\sqrt {5}}\\1&1\end{pmatrix}}\,.$

Die inverse Matrix dazu ist

${}{\frac {1}{2{\sqrt {5}}}}{\begin{pmatrix}1&{\sqrt {5}}\\-1&{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2{\sqrt {5}}}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-1}{2{\sqrt {5}}}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\,.$

Gemäß Fakt besteht die Beziehung

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&0\\0&-{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {-{\sqrt {5}}}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&-{\sqrt {5}}\\1&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2{\sqrt {5}}}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-1}{2{\sqrt {5}}}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&-{\sqrt {5}}\\1&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung, die ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ verschiedene Eigenwerte besitze.

Dann ist ${}\varphi$ diagonalisierbar.

Beweis

Aufgrund von Fakt gibt es ${}n$ linear unabhängige Eigenvektoren. Diese bilden nach Fakt eine Basis.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn ${}V$ die direkte Summe der Eigenräume ist.

Beweis

Wenn ${}\varphi$ diagonalisierbar ist, so gibt es eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ aus Eigenvektoren. Es ist dann

${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\langle v_{i},\,{\text{der Eigenwert zu }}v_{i}{\text{ ist }}\lambda \rangle \,.$

Daher ist

${}V=\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{k}}{\left(\varphi \right)}\,,$

wobei die Direktheit sich aus Fakt ergibt. Wenn umgekehrt

${}V=\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{k}}{\left(\varphi \right)}\,$

vorliegt, so kann man in jedem der Eigenräume eine Basis wählen. Diese Basen bestehen aus Eigenvektoren und ergeben zusammen eine Basis von ${}V$.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten ${}2\times 2$-Scherungsmatrizen

${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}$

mit ${}a\in K$. Die Eigenwertbedingung für ein ${}\lambda \in K$ bedeutet

${}{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,,$

was zu den beiden Gleichungen

$x+ay=\lambda x{\text{ und }}y=\lambda y$

führt. Bei ${}\lambda \neq 1$ folgt ${}y=0$ und dann auch ${}x=0$, d.h. es kann nur ${}1$ ein Eigenwert sein. In diesem Fall ist die zweite Gleichung erfüllt und die erste Gleichung wird zu

$x+ay=x{\text{ bzw. }}ay=0.$

Bei ${}a\neq 0$ muss also ${}y=0$ sein und dann ist ${}{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}$ der Eigenraum zum Eigenwert ${}1$, und ${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ist ein Eigenvektor, der den Eigenraum aufspannt. Bei ${}a=0$ liegt die Einheitsmatrix vor, und der Eigenraum zum Eigenwert ${}1$ ist die gesamte Ebene. Bei ${}a\neq 0$ gibt es also nur einen eindimensionalen Eigenraum und die Abbildung ist nicht diagonalisierbar.

Das Produkt von zwei Diagonalmatrizen ist natürlich wieder eine Diagonalmatrix. Das folgende Beispiel zeigt, dass das Produkt von diagonalisierbaren Matrizen nicht diagonalisierbar sein muss.

Beispiel

Es seien ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$ zwei Geraden im ${}\mathbb {R} ^{2}$ durch den Nullpunkt und es seien ${}\varphi _{1}$ und ${}\varphi _{2}$ die Achsenspiegelungen an diesen Achsen. Eine Achsenspiegelung ist stets diagonalisierbar, und zwar sind die Spiegelungsachse und die dazu senkrechte Gerade Eigengeraden (zu den Eigenwerten ${}1$ und ${}-1$). Die Hintereinanderschaltung

${}\psi =\varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,$

dieser Spiegelungen ist eine Drehung, und zwar ist der Drehwinkel das Doppelte des Winkels zwischen den beiden Achsen. Eine Drehung ist aber nur dann diagonalisierbar, wenn der Drehwinkel ${}0$ oder ${}180$ Grad beträgt. Wenn der Winkel zwischen den Achsen von ${}0,90$ Grad verschieden ist, so besitzt ${}\psi$ keinen Eigenvektor.