Galoiskorrespondenz/Endliche Körpererweiterung/Textabschnitt

Der folgende Satz heißt auch Hauptsatz der Galoistheorie oder Satz über die Galoiskorrespondenz. Er stiftet eine unmittelbare Beziehung zwischen den Zwischenkörpern einer endlichen Galoiserweiterung und Untergruppen der Galoisgruppe. Er bildet die Grundlage dafür, gruppentheoretische Aussagen auf Körpererweiterungen anzuwenden.

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$.

Dann sind die Zuordnungen

$M\longmapsto \operatorname {Gal} \,(L{|}M){\text{ und }}H\longmapsto \operatorname {Fix} \,(H)$

zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der Zwischenkörper ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, und der Menge der Untergruppen von ${}G$.

Bei dieser Korrespondenz werden die Inklusionen umgekehrt.

Beweis

Diese Abbildungen sind wohldefiniert und kehren nach Fakt die Inklusion um. Es sei ${}M$ ein Zwischenkörper. Nach Fakt ist ${}M\subseteq L$ eine Galoiserweiterung, also ist ${}\operatorname {Fix} \,(\operatorname {Gal} \,(L{|}M))=M$ nach Fakt.
Es sei nun ${}H$ vorgegeben mit dem Fixkörper ${}M=\operatorname {Fix} \,(H)$. Nach dem Satz von Artin ist ${}M\subseteq L$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}H=\operatorname {Gal} \,(L{|}M)$.

$\Box$

Für einen Automorphismus ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ und einen Zwischenkörper ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ist ${}M'=\varphi (M)$ wieder ein Zwischenkörper, der zu ${}M$ ${}K$-isomorph ist. Zwischen den zugehörigen Galoisgruppen ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M)$ und ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M')$ gilt die folgende Beziehung.

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung und sei ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Es sei ${}\psi \in G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ und ${}M'=\psi (M)$.

Dann gilt in der Galoisgruppe ${}G$ die Beziehung

${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M')=\psi \operatorname {Gal} \,(L{|}M)\psi ^{-1}\,.$

Beweis

Es sei ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}M')$. Wir schreiben ${}\varphi =\psi {\left(\psi ^{-1}\varphi \psi \right)}\psi ^{-1}$ und müssen zeigen, dass ${}\psi ^{-1}\varphi \psi$ zu ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M)$ gehört. Es sei dazu ${}x\in M$. Dann ist ${}{\left(\psi ^{-1}\varphi \psi \right)}(x)=\psi ^{-1}(\varphi (\psi (x)))$. Dabei gehört ${}\psi (x)\in M'$ und somit ist ${}\varphi (\psi (x))=\psi (x)$. Also ist

${}\psi ^{-1}(\varphi (\psi (x)))=\psi ^{-1}(\psi (x))=x\,.$

Die umgekehrte Inklusion ergibt sich genauso bzw. folgt direkt daraus, dass beide Gruppen die gleiche Anzahl besitzen.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung und sei ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Für alle ${}\psi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ist ${}\psi (M)=M$.
2. Die Untergruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M)\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ist nur zu sich selbst konjugiert.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Wir wissen nach Fakt, dass bei einer Galoiserweiterung ${}K\subseteq L$ und einem Zwischenkörper ${}K\subseteq M\subseteq L$ auch die hintere Erweiterung ${}M\subseteq L$ galoissch ist. Die Erweiterung ${}K\subseteq M$ muss hingegen nicht galoisch sein, vielmehr liefert die folgende Aussage ein Kriterium.

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung und ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Körpererweiterung ${}K\subseteq M$ ist genau dann eine Galoiserweiterung, wenn die Untergruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M)\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ein Normalteiler ist.
2. Sei ${}K\subseteq M$ eine Galoiserweiterung. Dann besteht zwischen den Galoisgruppen die natürliche Restklassenbeziehung

   ${}\operatorname {Gal} \,(M{|}K)=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)/\operatorname {Gal} \,(L{|}M)\,.$

   Bei dieser Zuordnung wird ein Automorphismus ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auf ${}M$ eingeschränkt.

Beweis

(1). Da die Körpererweiterung ${}K\subseteq M$ separabel ist, muss aufgrund von Fakt nur die Normalität betrachtet werden. Nach Fakt  (4) ist die Körpererweiterung ${}K\subseteq M$ genau dann normal, wenn jeder ${}K$-Automorphismus von ${}L$ den Unterkörper ${}M$ in sich selbst überführt. Dies ist wegen Fakt genau dann der Fall, wenn ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M)$ unter jeder Konjugation auf sich selbst abgebildet wird, also nach Fakt ein Normalteiler ist.
(2). Es sei nun ${}K\subseteq M$ normal. Dann ist ${}\varphi (M)=M$ für jedes ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ und somit gibt es eine natürliche Abbildung

$\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(M{|}K),\,\varphi \longmapsto \varphi {|}_{M}.$

Diese ist offensichtlich ein Gruppenhomomorphismus. Aufgrund von Fakt gibt es für einen Automorphismus ${}\psi \in \operatorname {Gal} \,(M{|}K)$ eine Fortsetzung zu einem Automorphismus ${}{\tilde {\psi }}\in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Daher ist der Gruppenhomomorphismus surjektiv. Der Kern davon ist offenbar ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M)$, sodass sich die behauptete Isomorphie aus Fakt ergibt.

$\Box$