Integrierbare Funktionen/Auf Maßraum/Über Maß des Subgraphen/Ausschöpfungssätze/Textabschnitt

Die folgenden Rechenregeln für Integrale beruhen auf dem Ausschöpfungssatz für Maße. Man kann den Subgraphen sowohl dadurch ausschöpfen, dass man die Grundmenge ausschöpft, als auch dadurch, dass man die Funktion ausschöpft, also durch andere Funktionen approximiert.

Lemma

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und sei ${}M=\biguplus _{i\in I}M_{i}$ eine abzählbare Zerlegung in messbare Teilmengen.

Dann gilt für eine integrierbare messbare numerische Funktion die Beziehung

${}\int _{M}f\,d\mu =\sum _{i\in I}{\left(\int _{M_{i}}f\,d\mu \right)}\,.$

Beweis

Die beiden Subgraphen zum positiven und zum negativen Teil, also ${}S(f_{+})$ und ${}S(f_{-})$, haben endliches Maß, und es gilt

${}S(f_{+})=\biguplus _{i\in I}S(f_{+},M_{i})\,$

und

${}S(f_{-})=\biguplus _{i\in I}S(f_{-},M_{i})\,.$

Daher folgt die Aussage für die beiden Teile direkt aus der ${}\sigma$-Additivität des Maßes ${}\mu \otimes \lambda ^{1}$. Daraus folgt die Aussage für ${}f$ aus dem großen Umordnungssatz.

$\Box$

Satz

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und sei ${}M_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine messbare Ausschöpfung von ${}M$.

Dann gilt für eine integrierbare messbare numerische Funktion die Beziehung

${}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\int _{M_{n}}f\,d\mu \right)}\,.$

Beweis

Durch Betrachten von ${}f_{+}$ und ${}f_{-}$ kann man annehmen, dass ${}f$ nichtnegativ ist. Dann schöpfen die Subgraphen ${}S(f,M_{n})$ den Subgraphen ${}S(f,M)$ aus und die Aussage folgt aus Fakt.

$\Box$

Den folgenden Satz nennt man Satz von der monotonen Konvergenz oder Satz von Beppo Levi.

Satz

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und sei

$f_{n}\colon M\longrightarrow {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen mit der Grenzfunktion ${}f$.

Dann gilt

${}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$

Beweis

Zunächst ist die Grenzfunktion nach Fakt wieder messbar, sodass das Integral links wohldefiniert ist. Für die „halboffenen“ Subgraphen ${}S^{o}(f_{n})$ gilt die Beziehung ${}S^{o}(f_{n})\uparrow S^{o}(f)$. Daher ist nach Fakt

${}{\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left(S^{o}(f)\right)}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left(S^{o}(f_{n})\right)}\,$

Wegen Fakt ist dies die Behauptung.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und sei

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine messbare nichtnegative numerische Funktion.

Dann ist das Integral ${}\int _{M}f\,d\mu$ gleich dem Supremum der Integrale zu allen einfachen Funktionen ${}s\leq f$.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.

$\Box$

Hierbei ist wichtig, dass man beliebige einfache Funktionen und nicht nur, wie beim Riemann-Integral, die Treppenfunktionen zur Verfügung hat.