Integrierbare Funktionen/Auf Maßraum/Über Maß des Subgraphen/Ausschöpfungssätze/Textabschnitt

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Die folgenden Rechenregeln für Integrale beruhen auf dem Ausschöpfungssatz für Maße. Man kann den Subgraphen sowohl dadurch ausschöpfen, dass man die Grundmenge ausschöpft, als auch dadurch, dass man die Funktion ausschöpft, also durch andere Funktionen approximiert.



Lemma  

Es sei ein -endlicher Maßraum und sei eine abzählbare Zerlegung in messbare Teilmengen.

Dann gilt für eine integrierbare messbare numerische Funktion die Beziehung

Beweis  

Die beiden Subgraphen zum positiven und zum negativen Teil, also und , haben endliches Maß, und es gilt und . Daher folgt die Aussage für die beiden Teile direkt aus der -Additivität des Maßes . Daraus folgt die Aussage für aus dem großen Umordnungssatz.




Satz  

Es sei ein -endlicher Maßraum und sei , , eine messbare Ausschöpfung von .

Dann gilt für eine integrierbare messbare numerische Funktion die Beziehung

Beweis  

Durch Betrachten von und kann man annehmen, dass nichtnegativ ist. Dann schöpfen die Subgraphen den Subgraphen aus und die Aussage folgt aus Fakt.


Den folgenden Satz nennt man Satz von der monotonen Konvergenz oder Satz von Beppo Levi.



Satz  

Es sei ein -endlicher Maßraum und sei

eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen mit der Grenzfunktion .

Dann gilt

Beweis  

Zunächst ist die Grenzfunktion nach Fakt wieder messbar, so dass das Integral links wohldefiniert ist. Für die „halboffenen“ Subgraphen gilt die Beziehung . Daher ist nach Fakt

Wegen Fakt ist dies die Behauptung.




Korollar  

Es sei ein -endlicher Maßraum und sei

eine messbare nichtnegative numerische Funktion.

Dann ist das Integral gleich dem Supremum der Integrale zu allen einfachen Funktionen .

Beweis  

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.

Hierbei ist wichtig, dass man beliebige einfache Funktionen und nicht nur, wie beim Riemann-Integral, die Treppenfunktionen zur Verfügung hat.