K-Spektrum/Zariski-Filter/Kolimes und Halm/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Ein System ${}F$ aus offenen Teilmengen von ${}X$ heißt Filter, wenn folgende Eigenschaften gelten ($U,V$ seien offen).

1. ${}X\in F$.
2. Mit ${}U\in F$ und ${}U\subseteq V$ ist auch ${}V\in F$.
3. Mit ${}U\in F$ und ${}V\in F$ ist auch ${}U\cap V\in F$.

Schematische Darstellung eines Umgebungsfilters

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und sei ${}M\subseteq X$ eine Teilmenge. Dann nennt man das System

${}U(M)={\left\{U\subseteq X{\text{ offen }}\mid M\subseteq U\right\}}\,$

den Umgebungsfilter von ${}M$.

Es handelt sich dabei offensichtlich um einen topologischen Filter. Insbesondere gibt es zu einem einzelnen Punkt ${}P\in X$ den Umgebungsfilter ${}U(P)$. Der Umgebungsfilter fasst alle offenen Umgebungen des Punktes zusammen. Wenn zwei offene Umgebungen ${}U_{1},U_{2}$ von ${}P$ gegeben sind zusammen mit zwei algebraischen Funktionen

$f_{1}\in \Gamma (U_{1},{\mathcal {O}}){\text{ und }}f_{2}\in \Gamma (U_{2},{\mathcal {O}}),$

so ergibt die Summe ${}f_{1}+f_{2}$ (ebensowenig das Produkt) zunächst keinen Sinn, da die Definitionsbereiche verschieden sind. Im integren Fall kann man beide Funktionen als Elemente im Quotientenkörper auffassen und dort addieren. Man kann aber auch zum Durchschnitt ${}U_{1}\cap U_{2}$ (der ebenfalls eine offene Umgebung des Punktes ist) übergehen und dort die Einschränkungen der beiden Funktionen addieren. Wichtig ist hierbei die Eigenschaft eines Filters, dass man zu je zwei offenen Mengen auch den Durchschnitt im Filter hat mit den zugehörigen Inklusionen

${}U_{1}\cap U_{2}\subseteq U_{1},U_{2}\,$

und den zugehörigen Restriktionen

$\Gamma (U_{1},{\mathcal {O}}),\Gamma (U_{2},{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (U_{1}\cap U_{2},{\mathcal {O}}).$

Diese Beobachtung wird durch den Begriff der gerichteten Menge und des gerichteten Systems präzisiert.

Definition

Eine geordnete Menge ${}(I,\preccurlyeq )$ heißt gerichtet geordnet oder gerichtet, wenn es zu jedem ${}i,j\in I$ ein ${}k\in I$ gibt mit ${}i,j\preccurlyeq k$.

Wir fassen einen topologischen Filter als eine durch die Inklusion geordnete Menge auf. Aus der Durchschnittseigenschaft eines Filters ergibt sich, dass eine gerichtete Menge vorliegt (Es ist dabei „$\preccurlyeq =\supseteq$“).

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Indexmenge. Eine Familie

$M_{i},\,i\in I,$

von Mengen nennt man ein geordnetes System von Mengen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Zu ${}i\preccurlyeq j$ gibt es eine Abbildung ${}\varphi _{ij}\colon M_{i}\rightarrow M_{j}$.
2. Zu ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ ist ${}\varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}$.

Ist die Indexmenge zusätzlich gerichtet, so spricht man von einem gerichteten System von Mengen.

Wenn die beteiligten Mengen ${}M_{i}$ allesamt Gruppen (Ringe) sind und alle Abbildungen zwischen ihnen Gruppenhomorphismen (Ringhomomorphismen), so spricht man von einem geordneten bzw. gerichteten System von Gruppen (Ringen).

Definition

Es sei ${}M_{i}$, ${}i\in I$, ein gerichtetes System von Mengen. Dann nennt man

${}\operatorname {colim} \,_{i\in I}M_{i}=\biguplus _{i\in I}M_{i}/\sim \,$

den Kolimes (oder induktiven Limes) des Systems. Dabei bezeichnet ${}\sim$ die Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente ${}m\in M_{i}$ und ${}n\in M_{j}$ als äquivalent erklärt werden, wenn es ein ${}k\in I$ mit ${}i,j\preccurlyeq k$ und mit

${}\varphi _{ik}(m)=\varphi _{jk}(n)\,$

gibt.

Bei dieser Definition ist insbesondere ein Element ${}s_{i}\in M_{i}$ äquivalent zu seinem Bild ${}\varphi _{ik}(s_{i})\in M_{k}$ für alle ${}i\preccurlyeq k$. Wenn ein gerichtetes System von Gruppen (Ringen) vorliegt, so kann man auf dem soeben eingeführten Kolimes der Mengen auch eine Gruppenstruktur (Ringstruktur) definieren. Dies beruht darauf, dass zwei Elemente in diesem Kolimes, die durch ${}s_{i}\in M_{i}$ und ${}s_{j}\in M_{j}$ repräsentiert seien, mit ihren Bildern in ${}M_{k}$ ($i,j\preccurlyeq k$) identifiziert werden können. Dann kann man dort die Gruppenverknüpfung erklären, siehe Aufgabe. Unser Hauptbeispiel für ein gerichtetes System ist das durch einen topologischen Filter gerichtete System der Ringe

$\Gamma (U,{\mathcal {O}}),U\in F.$

Der zugehörige Kolimes über dieses System bekommt einen eigenen Namen.

Definition

Es sei ${}(V,{\mathcal {O}})$ eine quasiaffine Varietät und sei ${}F$ ein topologischer Filter in ${}V$. Dann nennt man

${}{\mathcal {O}}_{F}=\operatorname {colim} \,_{U\in F}\Gamma (U,{\mathcal {O}})\,$

den Halm von ${}{\mathcal {O}}$ in ${}F$.

Den Halm im Umgebungsfilter eines Punktes ${}P$ nennt man auch den Halm in ${}P$ und schreibt dafür ${}{\mathcal {O}}_{P}$.

Satz

Es sei ${}R$ eine reduzierte kommutative Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Es sei ${}P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ein Punkt im ${}K$-Spektrum mit zugehörigem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}\subseteq R$.

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie (von ${}R$-Algebren)

$R_{\mathfrak {m}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{P}.$

Beweis

Der Halm ${}{\mathcal {O}}_{P}$ hat eine eindeutige Struktur als ${}R$-Algebra, da ja die Gesamtmenge zum Filter gehört. Es sei ${}F\in R$, ${}F\not \in {\mathfrak {m}}$. Dann ist ${}1/F$ auf der offenen Umgebung ${}D(F)$ von ${}P$ definiert. Dabei gilt dort ${}F\cdot 1/F=1$, sodass ${}F$ in dieser Menge und damit auch im Kolimes eine Einheit ist. Nach der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme gibt es also einen ${}R$-Algebrahomomorphismus

$R_{\mathfrak {m}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{P},$

den wir als bijektiv nachweisen müssen. Es sei zuerst ${}f\in {\mathcal {O}}_{P}$. Dieses Element wird repräsentiert durch eine algebraische Funktion ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ mit ${}P\in U$. Insbesondere gibt es eine rationale Darstellung für ${}f$ in ${}P$, d.h. ${}f=G/H$ auf ${}D(H)$ und ${}P\in D(H)$. Daher ist ${}G/H$ ein Element in der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {m}}$, und dieses wird auf ${}f$ geschickt.

Zur Injektivität sei ${}G/H$ gegeben mit ${}H\notin {\mathfrak {m}}$ und vorausgesetzt, dass es als Element im Halm ${}0$ ist. Dies bedeutet, dass es eine offene Umgebung ${}U$ von ${}P$ gibt, auf der ${}G/H$ die Nullfunktion ist. Wir können annehmen, dass diese offene Menge die Form ${}P\in D(H')\subseteq D(H)$ hat. Wegen Fakt gibt es dann auch eine Beschreibung ${}G/H=G'/H'=0$. Das heisst nach Fakt, dass ${}HH'H'G=0$ in ${}R$ ist. Dann ist auch ${}G/H=0$ in der Lokalisierung.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R$ eine integre ${}K$-Algebra von endlichem Typ. Sei ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ eine offene Teilmenge.

Dann ist

${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})=\bigcap _{P\in U}{\mathcal {O}}_{P}\,$

(dabei wird der Durchschnitt im Quotientenkörper genommen).

Beweis

Zu jedem Punkt ${}P\in U$ gibt es Ringhomomorphismen ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})\rightarrow {\mathcal {O}}_{P}$ und ${}{\mathcal {O}}_{P}\rightarrow Q(R)$, die jeweils injektiv sind. Damit gibt es auch einen injektiven Ringhomomorphismus

$\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \bigcap _{P\in U}{\mathcal {O}}_{P}.$

Es sei ${}f\in Q(R)$ ein Element im Durchschnitt rechts. Dann gibt es zu jedem Punkt ${}P\in U$ eine Darstellung ${}f=G/H$ mit ${}P\in D(H)\subseteq U$. Dies bedeutet direkt, dass ${}f$ eine algebraische Funktion auf ${}U$ ist.

$\Box$

Definition

Es sei ${}V$ eine irreduzible quasiaffine Varietät. Dann ist der Halm von ${}{\mathcal {O}}_{V}$ über alle nichtleeren offenen Mengen von ${}V$ ein Körper, den man den Funktionenkörper von ${}V$ nennt.