Kommutativer Ring/Lemma von Nakayama/Textabschnitt

Satz

Es sei $R$ ein kommutativer Ring,  $𝔞\subseteq R$  ein Ideal und sei $V$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Es sei  $𝔞V=V$  vorausgesetzt.

Dann gibt es ein $f\in 𝔞$ derart, dass  $(1-f)V=0$. 

Beweis

Wir wenden Fakt auf die Identität auf $M$ an. Mit dem dort gewonnenen Polynom  $P=X^n+a_1{X}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}X+a_n$  (mit $a_j\in {𝔞}^j$) ist dann

$0=P(\mathrm{Id})M=(\mathrm{Id}+(a_1+\cdots +a_n)\mathrm{Id})M=(1+a_1+\cdots +a_n)M,$

wobei die Summe ohne die $1$ zum Ideal gehört.

$◻$

Als Spezialfall ergibt sich im lokalen Fall das Lemma von Nakayama. Wir geben noch einen zusätzlichen Beweis.

Lemma

Es sei $(R,𝔪)$ ein lokaler Ring und sei $V$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Es sei  $𝔪V=V$  vorausgesetzt.

Dann ist  $V=0$. 

Beweis

Es sei $v_1,\dots ,v_n$ ein Erzeugendensystem von $V$. Nach Voraussetzung gibt es wegen  $v_i\in 𝔪V$  zu jedem $v_i$ eine Darstellung

$v_i=a_{i1}{v}_1+\cdots +a_{in}{v}_n$

mit  $a_{ij}\in 𝔪$.  Daraus ergibt sich für jedes $i$ eine Darstellung

$(1-a_{ii})v_i=a_{i1}{v}_1+\cdots +a_{i,i-1}{v}_{i-1}+a_{i,i+1}{v}_{i+1}+\cdots +a_{in}{v}_n.$

Da  $a_{ii}\in 𝔪$  ist, ist der Koeffizient $1-a_{ii}$ eine Einheit. Dies bedeutet aber, dass man nach $v_i$ auflösen kann, sodass also $v_i$ überflüssig ist. So kann man sukzessive auf alle Erzeuger verzichten, was bedeutet, dass der Nullmodul vorliegen muss.

$◻$

Korollar

Es sei $(R,𝔪)$ ein lokaler Ring und sei $V$ ein endlich erzeugter $R$-Modul und  $U\subseteq V$  ein Untermodul. Es gelte  $U+𝔪V=V$. 

Dann ist  $U=V$. 

Beweis

Im Restklassenmodul $V/U$ gilt  $V/U=𝔪(V/U)$.  Aus Fakt folgt  $V/U=0$,  also  $U=V$. 

$◻$

Korollar

Es sei $(R,𝔪)$ ein lokaler Ring und sei $W$ ein $R$-Modul und  $U,V\subseteq W$  endlich erzeugte Untermoduln. Es gelte  $U\subseteq V+𝔪U$. 

Dann ist  $U\subseteq V$. 

Beweis

Wir betrachten den Untermodul

$U^{\prime }=U+V.$

Dabei gilt

$U^{\prime }=U+V=V+𝔪U=V+𝔪U^{\prime }.$

Aus Fakt ergibt sich  $U+V=V$,  also  $U\subseteq V$. 

$◻$

Korollar

Es sei $(R,𝔪)$ ein lokaler Ring, seien $U,V$ endlich erzeugte $R$-Moduln und sei $\phi :U\to V$ ein Modulhomomorphismus. Wenn der induzierte $R/𝔪$-Homomorphismus

$U/𝔪U⟶V/𝔪V$

surjektiv ist,

so ist bereits $\phi$ surjektiv.

Beweis

Es sei  $W\subseteq V$  der Bildmodul, der Homomorphismus faktorisiert

$U⟶W⟶V.$

Dazu gehören die $R/𝔪$-Modulhomomorphismen

$U/𝔪U⟶W/𝔪W⟶V/𝔪V.$

Nach Voraussetzung ist die Gesamtabbildung surjektiv, also ist auch die hintere Abbildung surjektiv. Dies bedeutet

$V=𝔪V+W,$

woraus mit Fakt  $W=V$  folgt. Dies bedeutet die Surjektivität der Ausgangsabbildung.

$◻$

Lemma

Es sei $(R,𝔪,K)$ ein lokaler Ring und sei $V$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.

Dann stimmt die minimale Erzeugendenzahl $\mu (V)$ mit der Dimension des $K$-Vektorraums $V/𝔪V$ überein.

Beweis

Wir zeigen etwas allgemeiner, dass Elemente  $v_1,\dots ,v_n\in V$  genau dann ein $R$-Erzeugendensystem für $V$ bilden, wenn deren Restklassen in $V/𝔪V$ ein $R/𝔪$-Erzeugendensystem von $V/𝔪V$ bilden. Dabei ist die eine Richtung trivial, seien also Elemente  $v_1,\dots ,v_n\in V$  gegeben, die modulo $𝔪$ ein Erzeugendensystem sind. Es sei  $U\subseteq V$  der von den $v_i$ erzeugte $R$-Untermodul von $V$. Die Voraussetzung übersetzt sich zu  $V=U+𝔪V$.  Wir betrachten den Restklassenmodul $V/U$. Dort gilt dann  $(V/U)𝔪=V/U$,  woraus nach dem Lemma von Nakayama die Gleichheit  $V/U=0$  und  $V=U$  folgt.

$◻$