Kommutativer Ring/Lemma von Nakayama/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein Ideal und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul. Es sei  ${}{\mathfrak {a}}V=V$  vorausgesetzt.

Dann gibt es ein ${}f\in {\mathfrak {a}}$ derart, dass  ${}(1-f)V=0$. 

Beweis

Wir wenden Fakt auf die Identität auf ${}M$ an. Mit dem dort gewonnenen Polynom  ${}P=X^{n}+a_{1}X^{n-1}+\cdots +a_{n-1}X+a_{n}$  (mit ${}a_{j}\in {\mathfrak {a}}^{j}$) ist dann

${}0=P(\operatorname {Id} )M={\left(\operatorname {Id} +{\left(a_{1}+\cdots +a_{n}\right)}\operatorname {Id} \right)}M={\left(1+a_{1}+\cdots +a_{n}\right)}M\,,$

wobei die Summe ohne die ${}1$ zum Ideal gehört.

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Als Spezialfall ergibt sich im lokalen Fall das Lemma von Nakayama. Wir geben noch einen zusätzlichen Beweis.

Lemma

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul. Es sei  ${}{\mathfrak {m}}V=V$  vorausgesetzt.

Dann ist  ${}V=0$. 

Beweis

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}V$. Nach Voraussetzung gibt es wegen  ${}v_{i}\in {\mathfrak {m}}V$  zu jedem ${}v_{i}$ eine Darstellung

${}v_{i}=a_{i1}v_{1}+\cdots +a_{in}v_{n}\,$

mit  ${}a_{ij}\in {\mathfrak {m}}$.  Daraus ergibt sich für jedes ${}i$ eine Darstellung

${}(1-a_{ii})v_{i}=a_{i1}v_{1}+\cdots +a_{i,i-1}v_{i-1}+a_{i,i+1}v_{i+1}+\cdots +a_{in}v_{n}\,.$

Da  ${}a_{ii}\in {\mathfrak {m}}$  ist, ist der Koeffizient ${}1-a_{ii}$ eine Einheit. Dies bedeutet aber, dass man nach ${}v_{i}$ auflösen kann, sodass also ${}v_{i}$ überflüssig ist. So kann man sukzessive auf alle Erzeuger verzichten, was bedeutet, dass der Nullmodul vorliegen muss.

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Korollar

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul und  ${}U\subseteq V$  ein Untermodul. Es gelte  ${}U+{\mathfrak {m}}V=V$. 

Dann ist  ${}U=V$. 

Beweis

Im Restklassenmodul ${}V/U$ gilt  ${}V/U={\mathfrak {m}}{\left(V/U\right)}$.  Aus Fakt folgt  ${}V/U=0$,  also  ${}U=V$. 

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Korollar

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei ${}W$ ein ${}R$-Modul und  ${}U,V\subseteq W$  endlich erzeugte Untermoduln. Es gelte  ${}U\subseteq V+{\mathfrak {m}}U$. 

Dann ist  ${}U\subseteq V$. 

Beweis

Wir betrachten den Untermodul

${}U'=U+V\,.$

Dabei gilt

${}U'=U+V=V+{\mathfrak {m}}U=V+{\mathfrak {m}}U'\,.$

Aus Fakt ergibt sich  ${}U+V=V$,  also  ${}U\subseteq V$. 

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Korollar

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring, seien ${}U,V$ endlich erzeugte ${}R$-Moduln und sei ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ ein Modulhomomorphismus. Wenn der induzierte ${}R/{\mathfrak {m}}$-Homomorphismus

$U/{\mathfrak {m}}U\longrightarrow V/{\mathfrak {m}}V$

surjektiv ist,

so ist bereits ${}\varphi$ surjektiv.

Beweis

Es sei  ${}W\subseteq V$  der Bildmodul, der Homomorphismus faktorisiert

$U\longrightarrow W\longrightarrow V.$

Dazu gehören die ${}R/{\mathfrak {m}}$-Modulhomomorphismen

$U/{\mathfrak {m}}U\longrightarrow W/{\mathfrak {m}}W\longrightarrow V/{\mathfrak {m}}V.$

Nach Voraussetzung ist die Gesamtabbildung surjektiv, also ist auch die hintere Abbildung surjektiv. Dies bedeutet

${}V={\mathfrak {m}}V+W\,,$

woraus mit Fakt  ${}W=V$  folgt. Dies bedeutet die Surjektivität der Ausgangsabbildung.

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Lemma

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein lokaler Ring und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul.

Dann stimmt die minimale Erzeugendenzahl ${}\mu (V)$ mit der Dimension des ${}K$-Vektorraums ${}V/{\mathfrak {m}}V$ überein.

Beweis

Wir zeigen etwas allgemeiner, dass Elemente  ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$  genau dann ein ${}R$-Erzeugendensystem für ${}V$ bilden, wenn deren Restklassen in ${}V/{\mathfrak {m}}V$ ein ${}R/{\mathfrak {m}}$-Erzeugendensystem von ${}V/{\mathfrak {m}}V$ bilden. Dabei ist die eine Richtung trivial, seien also Elemente  ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$  gegeben, die modulo ${}{\mathfrak {m}}$ ein Erzeugendensystem sind. Es sei  ${}U\subseteq V$  der von den ${}v_{i}$ erzeugte ${}R$-Untermodul von ${}V$. Die Voraussetzung übersetzt sich zu  ${}V=U+{\mathfrak {m}}V$.  Wir betrachten den Restklassenmodul ${}V/U$. Dort gilt dann  ${}(V/U){\mathfrak {m}}=V/U$,  woraus nach dem Lemma von Nakayama die Gleichheit  ${}V/U=0$  und  ${}V=U$  folgt.

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