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Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbar/Holomorphe und antiholomorphe Ableitung/Einführung/Textabschnitt

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Bei einer reell differenzierbaren Abbildung

ist das totale Differential in einem Punkt eine reell-lineare Abbildung

Diese wird zumeist durch eine Matrix bezüglich der reellen Standardbasis und beschrieben. Nach Fakt kann man jede reell-lineare Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen in eindeutiger Weise als eine Summe einer komplex-linearen und einer komplex-antilinearen Abbildung schreiben. Im Fall der reellen Differenzierbarkeit definiert man daher die folgenden Konzepte.


Definition  

Es sei offen und sei

eine reell total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man

die holomorphe Ableitung von .


Definition  

Es sei offen und sei

eine reell total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man

die antiholomorphe Ableitung von .

Es gilt dann

und

Es handelt bei der holomorphen und der antiholomorphen Ableitung um komplexe Linearkombinationen der reellen partiellen Ableitungen und . Man kann sie bereits dann definieren, wenn partiell differenzierbar ist.


Beispiel  

Es ist

und


Analoge Eigenschaften gelten für die antiholomorphe Ableitung von und , siehe Aufgabe.



Korollar  

Es sei offen und eine reell total differenzierbare Abbildung.

Genau dann ist auf komplex differenzierbar, wenn auf gilt.

In diesem Fall ist

Beweis  

Wir schreiben mit reellwertigen Funktionen . Es ist und . Somit ist

Die Bedingungen in Fakt für die komplexe Differenzierbarkeit besagen gerade, dass die beiden Komponentenfunktionen gleich sind. Es ist generell

Unter der Voraussetzung verschwindet der vordere zweite Summand. Daher ist gleich der ersten Spalte der Jacobi-Matrix, und diese ist .


Wenn man für eine reell-differenzierbare Funktion zerlegt, so ist (vergleiche Bemerkung)

die Zerlegung des totales Differentials bzw. der Jacobi-Matrix in -lineare und antilineare Matrizen. Dabei ist genau dann holomorph, wenn die zweite Matrix zur Nullmatrix wird.



Lemma  

Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Dann erfüllt die holomorphe Ableitung folgende Regeln.

  1. Es ist

    für eine Konstante .

  2. Es ist
  3. Es ist
  4. Es ist

    auf dem nullstellenfreien Ort zu .

Beweis  

(1) für reelles und (2) folgen aus den entsprechenden Regeln für die partiellen Ableitungen und gemäß Fakt. Für komplexes muss man zusätzlich die Zerlegung heranziehen. Zum Beweis von (3) verwenden wir die Produktregel für die beiden partielle Ableitungen, also

und

die in dieser Form auf Aufgabe beruht. Somit ist

Für die Quotientregel siehe Aufgabe.



Lemma  

Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Dann erfüllt die antiholomorphe Ableitung folgende Regeln.

  1. Es ist

    für eine Konstante .

  2. Es ist
  3. Es ist
  4. Es ist

    auf dem nullstellenfreien Ort zu .

Beweis  

  1. Siehe Aufgabe.
  2. Siehe Aufgabe.
  3. Siehe Aufgabe.
  4. Siehe Aufgabe.