Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbar/Holomorphe und antiholomorphe Ableitung/Einführung/Textabschnitt
Bei einer reell differenzierbaren Abbildung
ist das totale Differential in einem Punkt eine reell-lineare Abbildung
Diese wird zumeist durch eine Matrix bezüglich der reellen Standardbasis und beschrieben. Nach Fakt kann man jede reell-lineare Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen in eindeutiger Weise als eine Summe einer komplex-linearen und einer komplex-antilinearen Abbildung schreiben. Im Fall der reellen Differenzierbarkeit definiert man daher die folgenden Konzepte.
Es sei offen und sei
eine reell total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man
die holomorphe Ableitung von .
Es sei offen und sei
eine reell total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man
die antiholomorphe Ableitung von .
Es gilt dann
und
Es handelt bei der holomorphen und der antiholomorphen Ableitung um komplexe Linearkombinationen der reellen partiellen Ableitungen und . Man kann sie bereits dann definieren, wenn partiell differenzierbar ist.
Es ist
und
Analoge Eigenschaften gelten für die antiholomorphe Ableitung von und , siehe Aufgabe.
Es sei offen und eine reell total differenzierbare Abbildung.
Genau dann ist auf komplex differenzierbar, wenn auf gilt.
In diesem Fall ist
Wir schreiben mit reellwertigen Funktionen . Es ist und . Somit ist
Die Bedingungen in Fakt für die komplexe Differenzierbarkeit besagen gerade, dass die beiden Komponentenfunktionen gleich sind. Es ist generell
Unter der Voraussetzung verschwindet der vordere zweite Summand. Daher ist gleich der ersten Spalte der Jacobi-Matrix, und diese ist .
Wenn man für eine reell-differenzierbare Funktion
zerlegt, so ist
(vergleiche
Bemerkung)
die Zerlegung des totales Differentials bzw. der Jacobi-Matrix in -lineare und antilineare Matrizen. Dabei ist genau dann holomorph, wenn die zweite Matrix zur Nullmatrix wird.
Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Dann erfüllt die holomorphe Ableitung folgende Regeln.
- Es ist
für eine Konstante .
- Es ist
- Es ist
- Es ist
auf dem nullstellenfreien Ort zu .
(1) für reelles und (2) folgen aus den entsprechenden Regeln für die partiellen Ableitungen und gemäß Fakt. Für komplexes muss man zusätzlich die Zerlegung heranziehen. Zum Beweis von (3) verwenden wir die Produktregel für die beiden partielle Ableitungen, also
und
die in dieser Form auf Aufgabe beruht. Somit ist
Für die Quotientregel siehe Aufgabe.
Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Dann erfüllt die antiholomorphe Ableitung folgende Regeln.
- Es ist
für eine Konstante .
- Es ist
- Es ist
- Es ist
auf dem nullstellenfreien Ort zu .