Kurs:Algebraische Kurven/8/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 2 3 4 6 6 4 3 4 5 6 4 4 4 61



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum .
  2. Eine irreduzible affin-algebraische Menge .
  3. Ein noetherscher Ring.
  4. Der Monoidring zu einem kommutativen Monoid und einem Körper .
  5. Der ganze Abschluss zu einer Erweiterung kommutativer Ringe.
  6. Ein transversaler Schnitt von zwei ebenen Kurven und in einem Punkt .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen .
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Aufgabe * (2 Punkte)

Finde eine Gerade , die die Kurve

in genau einem Punkt schneidet.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

ein Ideal in ist.


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis bei der Durchführung eines Experiments eintritt, und entsprechend sei die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt. Das Experiment werde zweimal unabhängig voneinander durchgeführt. Die möglichen Gesamtereignisse haben dann eine von abhängige Wahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit fassen wir als die polynomiale Abbildung

auf.

  1. Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.
  2. Beschreibe das Bild der Abbildung vollständig durch polynomiale Gleichungen.


Aufgabe * (6 (1+3+1+1) Punkte)

Wir betrachten das Polynom

  1. Finde eine reelle Nullstelle von .
  2. Bestätige die Gleichung
  3. Folgere, dass man als eine Summe von Quadraten aus rationalen Funktionen in zwei Variablen schreiben kann.
  4. Sei . Folgere, dass

    ist für alle Punkte .


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Parametrisierung von Quadriken.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass der Körper der rationalen Zahlen überabzählbar viele Unterringe besitzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die geometrische Form des Hilbertschen Nullstellensatzes.


Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die beiden Polynome und und die zugehörigen algebraischen Kurven über den Körpern und .

  1. Gilt in ?
  2. Gilt in ?
  3. Gehört zum Radikal von in ?
  4. Gehört zum Radikal von in ?


Aufgabe * (5 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring mit Reduktion . Zeige, dass die Abbildung, die den idempotenten Elementen aus ihre Restklasse in zuordnet, injektiv ist.


Aufgabe * (6 Punkte)

Sei ein Körper und seien und integre, endlich erzeugte -Algebren. Es sei

ein -Algebrahomomorphismus und ein maximales Ideal in mit . Die Abbildung induziere einen Isomorphismus . Zeige, dass es dann auch ein , , gibt derart, dass ein Isomorphismus ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Seien und Integritätsbereiche und sei eine ganze Ringerweiterung. Es sei ein Element, das in eine Einheit ist. Zeige, dass dann schon in eine Einheit ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Ein Geldfälscher stellt und Euro-Scheine her. Wie viele volle Eurobeträge kann er mit seinen Scheinen nicht bezahlen, und was ist der größte Betrag, den er nicht begleichen kann? Bestimme die Multiplizität und die Einbettungsdimension des zugehörigen numerischen Monoids.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei und betrachte die beiden affinen ebenen algebraischen Kurven

Bestimme den Durchschnitt . Bestimme ferner die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven ( (also die zusätzlichen Punkte auf dem projektiven Abschluss bzw. ). Wenn man durch einen algebraisch abgeschlossenen Körper ersetzt, wie viele Punkte besitzt dann der Durchschnitt und wie viele davon liegen auf der unendlich fernen Geraden?