Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Vorlesung 14

Algebraische Funktionen auf Varietäten

Was ist ein Morphismus zwischen zwei affin-algebraischen Mengen $V$ und $W$ ? Wir betrachten zuerst die Situation, wo $W = 𝔸_{K}^{1}$ die affine Gerade ist. Sei $V = V (𝔞) \subseteq 𝔸_{K}^{n}$ als abgeschlossene Teilmenge eines affinen Raumes gegeben. Dann liefert jedes Polynom $F \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ eine Abbildung $F : 𝔸_{K}^{n} \to 𝔸_{K}^{1} = K$ und damit auch eine Abbildung auf $V$ . Das haben wir schon bei der Definition des Koordinatenrings betrachtet. Ebenso liefert ein Element $F \in R$ in einer endlich erzeugten $K$ -Algebra $R$ eine Funktion auf $K - Spek (R)$ , nämlich

K - Spek (R) ⟶ 𝔸_{K}^{1}, P ⟼ F (P) .

Dies ist auch die Spektrumsabbildung, die zu $K [T] \to R$ , $T \mapsto F$ , gehört.

Für die offenen Mengen $D (F) ≅ K - Spek (R_{F})$ ist $1 / F$ nach Satz 13.4 eine wohldefinierte Funktion. Wir werden allgemein für eine Zariski-offene Menge $U \subseteq V$ erklären, was eine algebraische Funktion auf $U$ ist. Die folgende Definition ist so strukturiert, dass die Bedingung „algebraisch“ eine lokale Eigenschaft ist.

Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine $K$ -Algebra von endlichem Typ und sei $V = K - Spek (R)$ das $K$ -Spektrum von $R$ . Es sei $P \in V$ ein Punkt, $U \subseteq V$ eine Zariski-offene Menge mit $P \in U$ und es sei $f : U \to 𝔸_{K}^{1} = K$ eine Funktion. Dann heißt $f$ algebraisch (oder regulär oder polynomial) im Punkt $P$ , wenn es Elemente $G, H \in R$ gibt mit $P \in D (H) \subseteq U$ und mit

f (Q) = \frac{G (Q)}{H (Q)} für alle Q \in D (H) .

Die Funktion $f$ heißt algebraisch (oder algebraisch auf $U$ ), wenn $f$ in jedem Punkt von $U$ algebraisch ist.

Natürlich definiert jedes Element $f \in R$ eine algebraische Funktion auf jeder offenen Teilmenge des $K$ -Spektrums. Es ist aber im Allgemeinen eher schwierig, die algebraischen Funktionen übersichtlich zu beschreiben.

Bemerkung

In der Definition 14.1 ist die Bedingung $D (H) \subseteq U$ nicht wichtig. Wenn es eine Beschreibung für $f$ mit $f = G / H$ auf $D (H)$ mit $P \in D (H)$ gibt, so betrachtet man ein $H^{'}$ mit $P \in D (H^{'})$ , $D (H^{'}) \subseteq U$ . Dann kann man zu $D (H) \cap D (H^{'}) = D (H H^{'})$ übergehen, und dort die Darstellung $f = (G H^{'}) / (H H^{'})$ betrachten.

Wenn es im Punkt $P$ eine Bruchdarstellung für $f$ als $f = G / H$ gibt, so kann man diese Darstellung für alle Punkte aus $D (H)$ verwenden. D.h. $f$ ist auf der ganzen offenen Menge $D (H)$ algebraisch. Insbesondere muss man nicht mit unendlich vielen verschiedenen Darstellungen arbeiten, sondern man kann sich auf die (endlich vielen) Darstellungen $G_{i} / H_{i}$ zu einer Überdeckung $U = ⋃_{i \in I} D (H_{i})$ beschränken.

Bei $K = ℂ$ ist eine algebraische Funktion auch stetig bezüglich der metrischen Topologie, und bei $R = ℂ [X_{1}, \dots, X_{n}]$ ist sie holomorph.

Beispiel

Es sei $V = V (W X - Z Y) \subseteq 𝔸_{K}^{4}$ und sei $U = D (X, Y) = D (X) \cup D (Y) \subset V$ die durch $X$ und $Y$ definierte Zariski-offene Menge. Auf $U$ ist die durch

f = \frac{Z}{X} = \frac{W}{Y}

definierte Funktion algebraisch. Die beiden rationalen Darstellungen liefern offenbar eine algebraische Funktion auf den beiden offenen Teilmengen $D (X)$ und $D (Y)$ . Damit es eine Funktion auf $U$ definiert, muss sichergestellt werden, dass die Brüche auf dem Durchschnitt, also auf $D (X) \cap D (Y) = D (X Y)$ , die gleichen Funktionswerte haben. Es sei also $Q = (w, x, y, z) \in D (X Y)$ , $Q \in V$ . D.h. $x, y \neq 0$ und $w x = z y$ . Dann ist aber sofort

\frac{Z}{X} (Q) = \frac{z}{x} = \frac{w}{y} = \frac{W}{Y} (Q) .

Lemma

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine $K$ -Algebra von endlichem Typ und sei $V = K - Spek (R)$ das $K$ -Spektrum von $R$ . Es sei $U \subseteq V$ eine Zariski-offene Menge.

Dann bildet die Menge der algebraischen Funktionen auf $U$ einen Unterring (und zwar eine $K$ -Unteralgebra) des Rings der Funktionen von $U$ nach $K$

(wobei die Operationen in $K$ ausgeführt werden).

Beweis

Wir müssen zeigen, dass die konstante Nullfunktion und die konstante Einsfunktion auf $U$ , das Negative einer algebraischen Funktion, und die Summe und das Produkt von zwei algebraischen Funktionen auf $U$ wieder algebraisch sind. Wir beschränken uns auf die Summe der algebraischen Funktionen $f_{1}$ und $f_{2}$ . Es sei $P \in U$ ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es Elemente $G_{1}, H_{1}, G_{2}, H_{2} \in R$ mit

f_{1} (Q) = \frac{G_{1} (Q)}{H_{1} (Q)} für alle Q \in D (H_{1}) \subseteq U, P \in D (H_{1}),

und

f_{2} (Q) = \frac{G_{2} (Q)}{H_{2} (Q)} für alle Q \in D (H_{2}) \subseteq U, P \in D (H_{2}) .

Es sei

H := H_{1} H_{2} .

Dann ist $P \in D (H) = D (H_{1}) \cap D (H_{2}) \subseteq U$ . Für einen beliebigen Punkt $Q \in D (H)$ ist dann

(f_{1} + f_{2}) (Q) = f_{1} (Q) + f_{2} (Q) = \frac{G_{1} (Q)}{H_{1} (Q)} + \frac{G_{2} (Q)}{H_{2} (Q)} = \frac{G_{1} (Q) H_{2} (Q) + G_{2} (Q) H_{1} (Q)}{H_{1} (Q) H_{2} (Q)} = \frac{(G_{1} H_{2} + G_{2} H_{1}) (Q)}{(H_{1} H_{2}) (Q)},

was eine polynomiale Darstellung der Summenfunktion in der Zariski-offenen Umgebung $D (H)$ des Punktes $P$ ergibt.

◻

Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine $K$ -Algebra von endlichem Typ und sei $V = K - Spek (R)$ das $K$ -Spektrum von $R$ . Es sei $U \subseteq V$ eine Zariski-offene Menge. Dann bezeichnet man mit

Γ (U, 𝒪) = {f : U ⟶ K ∣ f ist algebraisch}

den Ring der algebraischen Funktionen auf $U$ . Man bezeichnet ihn auch als Strukturring zu $U$ oder als Schnittring zu $U$ .

Aufgrund von Lemma 14.4 handelt es sich in der Tat um einen Ring. Das Symbol $𝒪$ (sprich „O“) bezeichnet die sogenannte Strukturgarbe.

Lemma

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine $K$ - Algebra von endlichem Typ und sei $V = K - Spek (R)$ das $K$ -Spektrum von $R$ . Es seien $U_{1} \subseteq U_{2}$ offene Teilmengen von $V$ .

Dann gibt es einen natürlichen $K$ -Algebrahomomorphismus

$Γ (U_{2}, 𝒪) ⟶ Γ (U_{1}, 𝒪) .$

Beweis

Die Funktion $f : U_{2} \to K$ liefert sofort durch Einschränkung eine auf $U_{1}$ definierte Funktion. Die lokal-algebraische Beschreibung, die für $f$ an jedem Punkt $P \in U_{2}$ vorliegt, kann direkt auf der kleineren Teilmenge $U_{1}$ interpretiert werden.

◻

Die im vorstehenden Lemma beschriebene Abbildung heißt Restriktionsabbildung oder Einschränkungsabbildung .

Lemma

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine $K$ -Algebra von endlichem Typ und sei $V = K - Spek (R)$ das $K$ -Spektrum von $R$ . Es sei $F \in R$ und $U \subseteq D (F) \subseteq V$ eine offene Menge.

Dann ist es egal, ob man $Γ (U, 𝒪)$ mit Bezug auf $V$ oder mit Bezug auf $D (F) = K - Spek (R_{F})$ definiert.

Beweis

Natürlich hängen die Funktionen auf $U$ nur von $U$ selbst ab, nicht von einem umgebenden Raum. Wir müssen zeigen, dass die lokal-algebraische Bedingung ebenfalls nur von $U$ abhängt. Es sei $P \in U$ . Eine Beschreibung

φ = \frac{G}{H} auf D (H) mit P \in D (H) und mit G, H \in R

liefert sofort eine Beschreibung als Bruch auf $D (H F)$ , da man ja $H, G$ sofort in $R_{F}$ auffassen kann.

Es liege nun umgekehrt eine Bruchdarstellung

φ = \frac{\tilde{G}}{\tilde{H}} auf D (\tilde{H}) mit P \in D (\tilde{H}) und mit \tilde{G}, \tilde{H} \in R_{F}

vor. Es sei $\tilde{G} = G / F^{r}$ und $\tilde{H} = H / F^{s}$ . Dann gilt für jeden Punkt $Q \in D (H F)$ die Gleichheit

φ (Q) = \frac{\tilde{G} (Q)}{\tilde{H} (Q)} = \frac{G (Q) / F^{r} (Q)}{H (Q) / F^{s} (Q)} = \frac{G (Q) F^{s} (Q)}{H (Q) F^{r} (Q)} .

Dabei haben wir im letzten Schritt mit $F^{r + s}$ erweitert. In der letzten Darstellung sind Zähler und Nenner aus $R$ , und es ist $H F^{r} (P) \neq 0$ , also ist $D (H F^{r})$ eine offene Umgebung von $P$ .

◻

Lemma

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine $K$ - Algebra von endlichem Typ und sei $V = K - Spek (R)$ das $K$ -Spektrum von $R$ . Es sei $U \subseteq V$ eine Zariski-offene Menge, $P \in U$ ein Punkt und es sei $f : U \to K$ eine algebraische Funktion, für die es die beiden rationalen Darstellungen

\frac{G_{1}}{H_{1}} und \frac{G_{2}}{H_{2}}

gebe mit $G_{1}, H_{1}, G_{2}, H_{2} \in R$ und mit $P \in D (H_{1}), D (H_{2}) \subseteq U$ .

Dann gibt es ein $r \in ℕ$ mit

$H_{1}^{r} H_{2}^{r} (G_{1} H_{2} - G_{2} H_{1})^{r} = 0 in R .$

Ist $R$ reduziert, so gilt sogar

H_{1} H_{2} (G_{1} H_{2} - G_{2} H_{1}) = 0 .

Beweis

Wir betrachten das Element $F = H_{1} H_{2} (G_{1} H_{2} - G_{2} H_{1})$ auf $V$ und behaupten, dass dies die Nullfunktion induziert. Es sei $Q \in V$ . Bei $H_{1} (Q) = 0$ oder $H_{2} (Q) = 0$ ist $F (Q) = 0$ , sei also $H_{1} (Q), H_{2} (Q) \neq 0$ vorausgesetzt. Dann ist $Q \in D (H_{1}) \cap D (H_{2})$ , und dort gelten die beiden rationalen Darstellungen für $f$ , nämlich

\frac{G_{1} (Q)}{H_{1} (Q)} = f (Q) = \frac{G_{2} (Q)}{H_{2} (Q)} .

Daraus folgt $G_{1} (Q) H_{2} (Q) = G_{2} (Q) H_{1} (Q)$ und somit ist die Differenz $0$ . Insgesamt ist also $F$ die Nullfunktion auf $V$ und daher gibt es nach dem Hilbertschen Nullstellensatz ein $r$ mit $F^{r} = 0$ in $R$ .

◻

Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine reduzierte $K$ -Algebra von endlichem Typ und sei $V = K - Spek (R)$ das $K$ -Spektrum von $R$ .

Dann ist

$Γ (V, 𝒪) = R .$

Beweis

Ein Element $F \in R$ liefert direkt eine algebraische Funktion auf ganz $V$ , was einen $K$ -Algebrahomomorphismus

R ⟶ Γ (V, 𝒪)

ergibt. Wenn dabei $F$ an jedem Punkt die Nullfunktion induziert, so ist nach Satz 11.1 und wegen der Reduziertheit auch $F = 0$ . D.h. die Abbildung ist injektiv.

Es sei nun $f : V \to K$ ein algebraische Funktion. Dann gibt es zu jedem Punkt $P \in V$ Elemente $G_{P}, H_{P} \in R$ mit $P \in D (H_{P})$ und mit $f = \frac{G_{P}}{H_{P}}$ auf $D (H_{P})$ . Die $D (H_{P})$ bilden eine offene Überdeckung von $V$ und das bedeutet nach Korollar 11.5, dass die $H_{P}$ in $R$ das Einheitsideal erzeugen. Dann gibt es aber auch eine endliche Auswahl davon, die das Einheitsideal erzeugen, sagen wir $H_{i} = H_{P_{i}}$ , $i = 1, \dots, m$ . Dann wiederum überdecken diese $D (H_{i})$ , $i = 1, \dots, m$ , ganz $V$ .

Auf den Durchschnitten $D (H_{i} H_{j}) = D (H_{i}) \cap D (H_{j})$ haben wir die Identitäten

f (Q) = \frac{G_{i} (Q)}{H_{i} (Q)} = \frac{G_{j} (Q)}{H_{j} (Q)} für alle Q \in D (H_{i} H_{j}) .

Daraus folgt nach Lemma 14.8 und der Reduziertheit, dass

H_{i} H_{j} G_{i} H_{j} = H_{i} H_{j} G_{j} H_{i}

in $R$ gilt. Wir ersetzen $H_{i}$ durch $H_{i}^{2}$ und $G_{i}$ durch $G_{i} H_{i}$ . Dann ist nach wie vor $G_{i} / H_{i}$ eine lokale Beschreibung für $f$ , und die letzte Bedingung vereinfacht sich zu

H_{i} G_{j} = H_{j} G_{i} .

Da die $H_{i}$ das Einheitsideal erzeugen, gibt es Elemente $A_{i} \in R$ mit

\sum_{i = 1}^{m} A_{i} H_{i} = 1

in $R$ . Wir behaupten, dass das Element

F = \sum_{i = 1}^{m} A_{i} G_{i}

auf ganz $V$ die Funktion $f$ induziert. Dazu sei $Q \in V$ ein beliebiger Punkt, und zwar sei ohne Einschränkung $Q \in D (H_{1})$ . Dann ist

\begin{matrix} f (Q) & = \frac{G_{1} (Q)}{H_{1} (Q)} \\ = \frac{G_{1} (Q)}{H_{1} (Q)} (\sum_{i = 1}^{m} A_{i} H_{i}) (Q) \\ = \sum_{i = 1}^{m} A_{i} (Q) \frac{G_{1} (Q) H_{i} (Q)}{H_{1} (Q)} \\ = \sum_{i = 1}^{m} A_{i} (Q) G_{i} (Q) \\ = F (Q) . \end{matrix}

◻

Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine reduzierte $K$ - Algebra von endlichem Typ und sei $V = K - Spek (R)$ das $K$ -Spektrum von $R$ . Es sei $F \in R$ mit zugehöriger offener Menge $D (F) \subseteq V$ .