Kurs:Analysis/Teil I/37/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 1 2 3 4 4 2 10 3 3 5 2 6 7 4 2 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Folge in einer Menge .
  2. Das Supremum einer nichtleeren Teilmenge in einem angeordneten Körper .
  3. Eine -te komplexe Einheitswurzel ().
  4. Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion
  5. Eine konvexe Funktion

    auf einem Intervall .

  6. Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.


Lösung

  1. Eine Folge in ist eine Abbildung
  2. Eine obere Schranke von heißt das Supremum von , wenn für alle oberen Schranken von gilt.
  3. Die komplexen Nullstellen des Polynoms

    heißen -te komplexe Einheitswurzeln.

  4. Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung

    die jedem Punkt die Ableitung von an der Stelle zuordnet.

  5. Man sagt, dass konvex ist, wenn der Epigraph konvex ist.
  6. Eine Differentialgleichung der Form

    mit Funktionen (dabei sind und reelle Intervalle)

    und

    heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
  2. Das Weierstraß-Kriterium für Funktionenfolgen.
  3. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Dann gibt es ein Polynom vom Grad derart, dass für alle ist.
  2. Es sei eine Menge und sei

    eine Funktionenfolge mit

    Dann konvergiert die Reihe gleichmäßig und punktweise absolut gegen eine Funktion

  3. Es sei und sei

    eine stetige, auf differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein mit


Aufgabe (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Kein Mensch ist illegal“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Lösung

Es gibt einen Menschen, der nicht legal ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien Mengen und und injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls injektiv ist.


Lösung

Es seien mit

gegeben. Aufgrund der Injektivität von folgt

und aufgrund der Injektivität von folgt

was die Injektivität von bedeutet.


Aufgabe (3 Punkte)

Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit (16 Stunden pro Tag) zu verteilen. Ihr täglicher Kalorienbedarf liegt bei kcal und Gramm Heidelbeeren enthalten kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt Gramm. In welchem Abstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen?


Lösung

Heidi muss pro Tag mal Gramm Heidelbeeren essen, also Kilogramm. Wegen sind das Heidelbeeren pro Tag. Die Stunden haben Sekunden. Es ist . Sie muss also alle Sekunden eine Heidelbeere essen.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungsintervalle für die Ungleichung

in einem angeordneten Körper. Skizziere die Graphen der Funktionen und .


Lösung

Entscheidend sind die beiden Grenzen und mit

Wenn

ist, so muss man für beide Beträge das Negative nehmen. Dies führt zur Bedingung

und damit zu

und zu

also

Das Intervall gehört also zur Lösungsmenge. Es sei nun

Dann ist der linke Betrag negativ und der rechte positiv zu nehmen. Dies führt zur Bedingung

und damit zu

und zu

also

Es ist

und somit gehört das Intervall zur Lösungsmenge. Es sei nun

Dann sind beide Beträge positiv zu nehmen. Die Bedingung

führt auf

was in diesem Fall nicht erfüllbar ist. Die gesamte Lösungsmenge ist also das Intervall


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper beschränkt ist.


Lösung

Es sei die konvergente Folge mit dem Limes und es sei ein gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein derart, dass

Dann ist insbesondere

Unterhalb von gibt es nur endlich viele Zahlen, so dass das Maximum

wohldefiniert ist. Daher ist eine obere Schranke und eine untere Schranke für .


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die reelle Zahl eine Nullstelle des Polynoms ist.


Lösung

Es ist

und

Somit ist


Aufgabe (10 (1+4+5) Punkte)

Wir betrachten die Quadratwurzelfunktion

auf .

  1. Erstelle eine Wertetabelle für für die Stellen .
  2. Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das mit an den Stellen übereinstimmt.
  3. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu und zu und die Intervalle, für die oberhalb bzw. unterhalb von verläuft.


Lösung

  1. Wie wenden Satz 11.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) an. Für das gesuchte Polynom soll , und gelten. Da drei Interpolationspunkte vorgegeben sind, gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom vom Grad , das durch diese drei Punkte verläuft. Wir machen den Ansatz

    wobei wegen der ersten Bedingung sofort folgt. Die beiden anderen Bedingungen führen auf

    und

    Daraus ergibt sich

    und somit

    und

    Das gesuchte Polynom ist also

  2. Wir vergleichen nun und . Für ist

    wir vergleichen daher nur noch die Werte auf , wo beide Funktionen nichtnegativ sind. In diesem Bereich können wir die Quadrate der beiden Funktionen vergleichen, also und

    Es geht also darum, wo die Differenzfunktion

    auf Nullstellen besitzt und wo sie positiv oder negativ ist. Bei liegt eine Nullstelle vor, wir klammern daher aus, was das Vorzeichenverhalten nicht ändert, und erhalten als anderen Faktor

    bzw.

    Nach Konstruktion von wissen wir, dass bei und bei weitere Nullstellen vorliegen, dies führt zur Faktorisierung

    Somit stimmen und genau an den Stellen überein und auf gilt

    auf gilt

    und auf gilt


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise, dass eine absolut konvergente Reihe komplexer Zahlen konvergiert.


Lösung

Es sei vorgegeben. Wir wenden das Cauchy-Kriterium an. Aufgrund der absoluten Konvergenz gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Daher ist

was die Konvergenz bedeutet.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die ersten vier Glieder des Cauchy-Produkts der beiden Reihen


Lösung

Nach der Definition des Cauchy-Produktes müssen in

zur Bestimmung von nur die Teilprodukte aufaddiert werden, für die

ist. Daher ist

und


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.


Lösung

Es seien Funktionen, die beide in differenzierbar seien. Der Differenzenquotient der Produktfunktion ist und es ist zu zeigen, dass davon der Limes für gegen existiert und gleich ist. Es ist

Der Limes der Brüche existiert nach Voraussetzung und ist gleich bzw. . Wegen der Stetigkeit von im Punkt ist der Limes von für gegen gleich . Daher folgt die Behauptung aus den Rechenregeln für Limiten.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihe (Satz 20.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))).


Lösung Komplexe Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei und seien

zwei -mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

gilt.


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Sie ist für trivial und für handelt es sich einfach um die Produktregel. Es sei die Aussage für die -te Ableitung bereits bewiesen. Es ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung, der Produktregel und Lemma 3.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))


Aufgabe (7 (1+1+3+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

  1. Berechne die erste Ableitung von .
  2. Berechne die zweite Ableitung von .
  3. Erstelle (und beweise) eine Formel für die -te Ableitung von ().
  4. Bestimme das Taylorpolynom zu im Punkt vom Grad .
  5. Bestimme die Taylorreihe zu im Punkt .


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Wir behaupten

    Dies beweisen wir durch Induktion nach . Der Induktionsanfang ist durch Aufgabenteil (1) gesichert. Der Induktionsschluss ergibt sich durch

  4. Das Taylorpolynom vom Grad mit Entwicklungspunkt ist
  5. Aus der Formel für die Ableitungen folgt, dass der -te Koeffizient der Taylorreihe gleich

    ist, also ist die Taylorreihe gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Parabelschar mit . Für welches schließt die zugehörige Parabel zusammen mit der -Achse ein Gebiet ein, dessen Flächeninhalt gleich ist?


Lösung

Damit es zu einem Einschluss kommt, muss negativ sein. Die Nullstellen von sind dann . Das bestimmte Integral ist

Damit dies gleich wird, muss die Gleichung

bzw.

erfüllen. Also ist

und


Aufgabe (2 Punkte)

Finde eine Lösung für die Differentialgleichung zweiter Ordnung


Lösung

Wir setzen

und lösen zuerst die lineare inhomogene Differentialgleichung

Eine Lösung davon ist direkt die konstante Funktion

Somit ist

eine Lösung der Ausgangsgleichung.