Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 17/kontrolle
- Übungsaufgaben
Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige für jedes die Gleichheit
Zeige, dass für die Exponentialfunktionen
zur Basis die folgenden Rechenregeln gelten (dabei seien und , bei (4) sei zusätzlich ).
- .
- .
- .
- .
Zeige, dass die Logarithmen zur Basis die folgenden Rechenregeln erfüllen.
- Es ist und , das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis .
- Es gilt
- Es gilt für .
- Es gilt
Es sei eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit dem Grenzwert und eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit dem positiven Grenzwert . Zeige, dass die durch definierte Folge gegen konvergiert.
Es sei eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit dem Grenzwert und eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit dem Grenzwert . Zeige durch ein Beispiel, dass die durch definierte Folge nicht konvergieren muss.
Es sei , , eine summierbare Familie komplexer Zahlen und eine Teilmenge. Zeige, dass auch die Teilfamilie , , summierbar ist.
Es sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Die Betragsfamilie , , sei summierbar. Zeige, dass , , summierbar ist.
Es sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Zeige, dass diese Familie genau dann summierbar ist, wenn die Familie
nach oben beschränkt ist.
Bestimme die Koeffizienten der geometrischen Reihe im Entwicklungspunkt .
(Für ist es hilfreich, eine Formel für aufzustellen. Für wird die Aufsummierung ziemlich kompliziert. Mit dem Ableitungskalkül haben wir bald eine einfache Möglichkeit, diese Koeffizienten auszurechnen. Dieser beruht für Potenzreihen allerdings auf dem Entwicklungssatz.)
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei , , eine Familie von komplexen Zahlen. Zeige, dass diese Familie genau dann summierbar ist, wenn die Reihe
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei diejenige Teilmenge der natürlichen Zahlen, die aus allen Zahlen besteht, in deren Dezimalentwicklung keine vorkommt. Zeige, dass
summierbar ist.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Indexmenge und , , eine summierbare Familie von nichtnegativen reellen Zahlen. Zeige, dass die Teilmenge
abzählbar ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Koeffizienten der Exponentialreihe im Entwicklungspunkt .
<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I | >> |
---|